2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟检测试题（含解析）

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟检测试题

一、填空题

1.函数/(x)=sim的导数/'(》)=.

【正确答案】COSX

【分析】利用导数运算求得正确答案.

【详解】由于/(x)=sinx,

所以/'(x)=cosx.

故COSX

2.已知一个等比数列的第5项是4,公比是2,它的第1项是.

【正确答案】J##0.25

4

【分析】设数列为{4},首项为《，化简知=4即得解.

【详解】设数列为{4},首项为《，则%=4,

所以“Ix2'=4,q=:.

所以第一项是

故：

3.在［6-gj的展开式中，常数项为.(用数字作答)

【正确答案】15

【分析】利用二项展开式的通项公式计算可得.

(2、*3.33

【详解】解：如=Cx(-%')=(—l)<x2,令3_1=0,解得k=2,所以常数

\/

(1Y2

项为4=C；x2=15

\/

故15.

4.已知48是独立事件，尸(⑷=0.3,尸(8)=0.6,则尸(/c8)=.

【正确答案】0.18

【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，即可得到结果.

【详解】因为48是独立事件，且尸（⑷=0.3,尸（8）=0.6,

则尸（4c8）=尸（/）P（8）=0.3x0.6=0.18

故答案为:0.18

5.为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数

据如下（按从小到大的顺序排列,单位：kg）：56、56、57、58、59、59、61、63、64、65、66、68、70

、71、73、74、83.据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为.

【正确答案】70

【分析】根据百分位数的求法求解即可.

【详解】17x0.75=12.75,

数据从小到大第13个数是70,

所以第75百分位数为70kg

故70

6.电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现

要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种.

【正确答案】72

【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可.

【详解】先将3个商业广告排好，有A；种，

再将2个公益广告插入4个空中，有A；种，

所以不同的播放方式共有A；A：=72种.

故答案为.72

7.若一个圆锥的母线与底面所成的角为自，体积为64兀，则此圆锥的高为____.

6

【正确答案】4

【分析】设圆锥的高和底面圆的半径，利用体积和线面角建立方程求解即可.

【详解】设圆锥的高为〃，底面圆的半径为，•，因为圆锥的母线与底面所成的角为二JT，体积

r=y/ih

为64兀，所以"1,,解得〃=4.

64K

1—3itr'h=

故4

8.已知(l-2x)"关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为

【正确答案】1

【分析】试题分析：因为只有第4项的二项式系数最大，所以〃=3,

因此展开式的系数之和为(1-2)6=1.

二项式系数性质

9.某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一

个容量为50的样本，已知男生比女生少抽了10人，则该年级的女生人数是.

【正确答案】360

【分析】先求分层抽样比例，然后设元，根据题意列方程求解.

【详解】抽取比例为焉=4，

设该年级的女生人数是x，则男生人数为600-x,

因为男生比女生少抽了10人，

所以,X=T(600-X)+10,

解得x—3601

故360.

10.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验

活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概

率等于(用数字作答).

【正确答案】自4

【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排，，和“2名女生相邻且农场

主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可.

【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A；=5040种不同的站法,

2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成:

第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；

第二步：相邻女生排在一起有A；种；

第三步：4名男生排在剩下的位置有A：种.

因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4A；A：=192种站法，

则2名女生相邻且农场主站在中间的概率尸19=2丹=24，

5040105

故£•.

105

11.已知P为椭圆]+[=1上的一点，若分别是圆(x+3)2+/=3和(X-3)2+/=I上

2516

的点，则|PM|+|PN|的最大值为.

【正确答案】11+万##百+11

【分析】设圆(x+3)2+/=2和圆(X-3)2+/=I的圆心分别为48,则根据椭圆的性质可

知IP/+P8为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知|PM|+|PN|的最大值为P/+P8

与两圆半径的和可得答案.

【详解】由题设圆(x+3>+y2=3和圆(x-3)2+/=1的圆心分别为4,8,

半径分别为1向4=1，则椭圆(+5=1的焦点为/(-3,0),8(3,0),

|Py4|+|P5|=2x5=10,

XlP^I+r,>\PM\,\PB\+r2>|PAT|,故便M|+|PN|«|PH|+|PB|+4+,

当且仅当分别在P4P8的延长线上时取等号，

此时最大值为陷|+|「用+0+々=11+6.

故答案为.11+0

12.如图，画一个正三角形，不画第三边：接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接

着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，…，这样无限画下去，形成

一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第〃条线段与第”+1条线段所夹的角为

9”(«€e(0,7t),则2O2O=.

【正确答案】174.46。

【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出"多边形n-1个角的度

数表达式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.

【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角4=60',由此类推，%=90：4=90。，

4=108",4=108",4=108°，2=120",4=120',4=120”，6»(,=120°,……

观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，

正方形有2个900，正五边形有3个108°,正六边形有4个120。，……

〃多边形有〃-2个18°(”2),

n

又观察图形得：正三角形画2条线段，正方形画2条线段，正五边形画3条线段，正六边形

画4条线段，……，正〃边形画"-2条线段；

二画到正"多边形时，画线段的条数为机=2+2+3+4+…-2)=2J(7),

当〃=65时，/n=2017：当〃=66时，机=2081,

...第2022条线段应在正65边形中，.•.名期*:63M74.46

65

故答案为.174.46°

二、单选题

13.若C；=C；,贝ljx=()

A.2B.5C.2或5D.7

【正确答案】C

【分析】由组合数的性质，即可求解.

【详解】由组合数性质C：=C：f,可知x=2或x=5.

故选：C

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安

排1名同学，则不同的安排方法种数为（）

A.36B.64C.72D.81

【正确答案】A

【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.

C；C；C；=6

【详解】名同学分成三组:

41,1,2A；"

三组去三个不同的小区：A；=6

所以全部的种类数：6x6=36；

故选：A.

15.已知某射击爱好者打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小

数部分为“叶”，则这组数据的标准差为（精确到0.01）（）

579

61277

725

A.0.35B.0.59C.0.40D.0.63

【正确答案】B

【分析】根据茎叶图求平均值3再由标准差与均值的关系求s

5.7+5.9+6.1+6.2+6.7+6.7+7.2+7.5

【详解】由茎叶图可得数据的平均数为'==6.5,

8

则数据的标准差为

](-0.8)2+(-0.6f+"4j+卜03；+0.2?+0.2?+0.7714?

S~\820

因为叵=竺=0.6,所以®很接近0.6,且小于0.6,故只有B选项满足,

202020

故选：B

16.已知直线/：工+弃=1与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满

ab

足4456+5川引蜀的/有（）

A.40条B.46条C.52条D.54条

【正确答案】A

【分析】通过分析得出圆f+V=100上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关

于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含x=0）,

关于y轴对称的两点所连直线（不含y=0),再结合4J5a2+5/)2>|al\变形为j1[2-，加，

利用几何意义得到原点到直线/：£+?=1的距离小于等于4君，

ab

利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此

类直线的距离，与4石比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出

原点到每类直线的距离，与4右比较得到结论，利用组合知识求出答案.

【详解】圆f+f=ioo上的整数点共有12个，分别为

（6,±8）,（-6,±8）,（8,±6）,（-8,±6）,（±10,0）,（0,±10）,

如图所示，

由题意可知：直线的横、纵截距都不为0,即与坐标轴不垂直，不过坐标原点,

所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，

关于x轴对称的两点所连直线（不含x=0）不合题意，有4条，舍去，

关于y轴对称的两点所连直线（不含，=0）不合题意，有4条，舍去

其中4,5a?+5%2.叫变形为<4^5,

yja2+b2

几何意义为原点到直线/：-+^=1的距离小于等于475，

ab

这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类,

以下为具体情况：①J(8一可2+(6-8)2=2五,弦长为2&的直线有4条，

此时原点到此类直线的距离为标彳可=76>4际，不合要求，舍去

②^(O-6)2+(lO-8)2=2M,弦长为2J证的直线有8条，

此时原点到此直线的距离为历了=3/10>4/5,不合要求，舍去

③J(O-8/+(lO-6)2=4有，弦长为4遥的直线有8条，

此时原点到此直线的距离为J102T2有J=4卡,满足要去，

④其他情况弦长均大于4后，故均满足要求，

由组合知识可知：满足要求的直线条数为：Cf2-6-4-4-4-8=40

故选：A

对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再

减去不合要求的个数，得到答案.

三、解答题

17.已知函数/(x)=；l-4x+2.

⑴求函数/(x)在x=3处的切线方程；

(2)求函数〃x)在［0,3］上的最大值与最小值.

【正确答案】(l»=5x-16

(2)最大值为2,最小值为

【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可：

(2)求导分析函数在xe［0,3］的单调性与极值再求最值即可

【详解】(1)因为〃X)=$3_4X+2,所以/'(x)=W-4.则所求切线的斜率为

,r(3)=32-4=5,且/(3)=9-12+2=-1,

故所求切线方程为V-(-l)=5(x-3),即尸5x-16；

(2)因为/(X)=$3-4X+2,X€[0,3],所以八X)=X2-4=0.

令/'(X)=X2_4=0,得X=2(x=-2舍去)，

当xe[0,2],f'(x)<0,函数/(x)单调递减，

当xe[2,3],Z(x)>0,函数/(x)单调递增，

Q1n

所以/(X)的极小值为/(2)=|-8+2=-y.X/(0)=2,/(3)=-1,

所以/(x)的最大值为2,最小值为

18.如图，在四棱锥P-Z8CZ)中，尸4，平面力8CD,正方形/8CD的边长为2,4=3,设

E为侧棱PC的中点.

(1)求正四棱锥E-ABCD的体积产；

(2)求直线BE与平面PCD所成角e的大小.

【正确答案】(1)2

力.127221

(2)arcsin-----

221

【分析】(1)根据锥体体积公式求得正四棱锥E-/8co的体积九

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线8E与平面PCD所成角。的大小.

【详解】(1)设ZCn8O=O,则。是NC,8。的中点，

]3

连接。£,由于E是PC的中点，所以0E//P4,0E=-PA=-,

22

由于尸Z1平面/8C。，所以OEL平面Z8CD,

i3

所以产=§x(2x2)x]=2.

(2)依题意可知/反/。,口两两相互垂直，

以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

8(2,0,0)/(0,0,3),C(2,2,0)E(1,|)。0,2,0),

麻=(一1,用,皮=(2,0,0),而=圾2,-3),

设平面PCD的法向量为】=(x,y,z),

[n-DC=2x=0-/、

则一,故可设〃=0,3,2),

[n-PD=2y-3z=0

设直线BE与平面PCD所成角为0,

19.某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级600名学生中随

机抽取了40名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统

计，这些时间全部介于10至60(单位:分钟)之间.现将数据分组，并制成如图所示的频率分

布直方图.为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于50分钟的

学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于20分钟的学生称为“泛生涯生”.

(1)求图中。的值；

(2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？

(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选2名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》

读本学习时间的差不超过10分钟的概率.

【正确答案】⑴0.020

(2)60人；30人

【分析】(1)利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1求解即可：

(2)先求解“精生涯生”和“泛生涯生”的频率，在通过总数*频率=频数进行计算；

(3)根据古典概型和组合知识进行求解.

【详解】(1)由题意，得(0.005+0.035+0.030+a+0.010)xl0=1,解得a=0.020.

(2)“精生涯生”的频率是10x0.010=0.1,“泛生涯生”的频率是10x0.005=0.05,

故该年级600名学生中“精生涯生”约有600x0.1=60人，

“泛生涯生”约有600x0.05=30人.

(3)样本中“精生涯生”有40x0.1=4人，“泛生涯生”有40x0.05=2人，

从6人中选2人时间的差不超过10分钟，即2人同在一个时间组内，

则时间的差不超过10分钟的概率尸

就C：15

20.已知等差数列｛叫和正项等比数列也｝,%=仄=1,%=々=4.

⑴求与，a；

⑵设q,=log也+对-5,记数列｛%｝的前〃项和为S“，求S„的最小值：

(3)设也｝的前"项和为7；,是否存在常数P、%使为=。+1。82(北+。)恒成立？若存在，求

出P、c的值；若不存在，说明理由.

［正确答案］(1)。“=a”+5；t>“=；

(2)-10；

(3)存在，其中p=log?(2-C=72+1.

【分析】（1）由题干条件可求出等差数列公差与等比数列公比，后可得通项公式：

（2）由（1）可得g=〃-5,后由数列单调性结合项的正负性可得S“的最小值；

（3）可求得T“=（亚）（亚+1）-（亚'+1），后由=P+bg2（Z,+。）可得

四•兴=（M（^2+1）-（72+1）+c,后比较相关系数可得答案.

【详解】（1）设等差数列公差为d,等比数列公比为式夕>0）.

则由题有：d=—...—=—,4=bq，=4=>[=拒.

7-1251

故。“=%+（"T）,=；〃+g；b„=M"'=a）;

（2）由⑴nJWcn=log2/>„+a„-5=^M-i+^n+i-5=H-5,

则｛%｝是以-4为首项，公差为1的递增等差数列，注意到o4=-1，=°，。6=1，

则S.2S4=Ss=-4-3-2-1=-10,即求，的最小值为-10；

.硕亚+1卜（应+1卜

因/=；(〃+1),则若aa=p+log2(7；+c),可得

(〃+1)=P

2

；(〃+1)-P

；("+1)-P

则（可•q=网（亚+1）-（亚+1）+c恒成立，从而可得

2-8np=log（2-72）；

与=6+\=2〃2

-（Vi+l）+c=0=c=4+l.

则存在常数P=log?Q-亚），c=M+l，使=P+bg2（1+c）恒成立.

关键点点睛：本题涉及求数列通项，前〃项和，及数列中的恒成立问题.

本题难点在于第三问，关键需整理出关于。，c,的等式，后通过比较系数可得关于P,c的

方程.

21.在平面直角坐标系xQy中，己知椭圆过右焦点尸作两条互相垂直的弦

（1）写出椭圆右焦点尸的坐标及该椭圆的离心率；

（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；

（3）若弦CD的斜率均存在，求用"N面积的最大值.

【正确答案】（1）答案见解析.

⑵加.

【分析】（1）由题意的方程可得的值，进而求出c的值，求出右焦点厂的坐标及该椭圆

的离心率；（2）分直线48,8的斜率存在和不存在两种情况，设月8直线的方程，与椭圆

的方程联立，求出两根之和，可得的中点由题意可得N的坐标，分加，N的横

坐标相等和不相等两种情况，分别求出直线的方程，进而可得直线WN必过的定点的坐

标.（3）由（2）可得直线必过的定点的坐标及M,N的纵坐标，代入三角形的面积公

式，换元，由函数的单调性，求出三角形面积的最大值.

2，

【详解】(1)由椭圆的方程「:工+匕=1，可得"=3,〃=2,可得a1—b2=3—2=1，

32

所以c=l,即右焦点尸的坐标为(LO),离心率6=?=专=夸

，所以椭圆右焦点下的坐标为

(1,0),离心率坐

(2)证明：当直线43,8的斜率存在且不为0时,

设直线的方程为工=〃沙+1,

x=my+l

设A(xt,yt),B(X2,y2)联立-

-----1------=1

32

整理可得：函+3犷+㈣—4=0,

—rm，、c6

可得%+%=一而育/+X2=M(»+乃)+2=彳行

32m

所以48的中点M(

2/+3'2加？+3

32m

同理可得N的坐标(•