2024届河北省遵化市九年级上册数学期末考试试题含解析

2024届河北省遵化市九上数学期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（）

4931

A.—B・—C.—D・—

25251010

2.已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆Ec的高为1.6m,并测得8C=2∙2m,C4=0.8m,

那么树DB的高度是（）

A.6mB.5.6mC.5.4mD.4.4m

3.如图，用尺规作图作々AC的平分线AD,第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A8,AC于点E,F；

第二步是分别以瓦尸为圆心，以大于LEF长为半径画弧，两圆弧交于。点，连接A。，那么Ao为所作，则说明

2

NC4D=NB4。的依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

4.一个扇形半径30cm,圆心角120。，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）

A.5cmB.IOcmC.20cmD.30Cm

6k

5.如图，平行四边形ABCo的顶点8在双曲线y=一上，顶点C在双曲线y=一上，BC中点尸恰好落在》轴上,

XX

已知S..c=10,贝必的值为（）

Ii

A.-8B.-6C.-4D.-2

6.小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是()

A.方差B.平均数C.众数D.中位数

7.将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为()

A.y=5(x+2)2+3B.y=5(χ-2)2+3

C.y=5(x+2)2-3D.y=5(X-2)2-3

8.如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊

A在草地上的最大活动区域面积是()

A.9πm2B.一πm2C.15πm2D.一πm2

33

9.已知圆锥的母线长为4,底面圆的半径为3,则此圆锥的侧面积是()

A.6πB.9πC.12πD.16π

10.如图是抛物线yι=aχ2+bx+c(aH0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(l,3),与X轴的一个交点B(4,0),直线

y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点，下列结论：①2a+b=0;②abc>O;③方程ax?+bx+c=3有两个相等的实

数根；④抛物线与X轴的另一个交点是(一1,0)；⑤当l<x<4时，有y2<yι,其中正确的是()

A.①④⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①②③

二、填空题(每小题3分,共24分)

3

ιι.如图，将函数v=2(χ>0)的图象沿y轴向下平移3个单位后交X轴于点c,若点。是平移后函数图象上一点,

X

12.如图，已知AB,CD是OO的直径，弧AE=弧AC,ZAOE=32o,那么NCoE的度数为________度.

3X—3

13.已知：ɪ;，且y≠4,那么-----=______

y4y-4

旦

14.在RtZkAbC中，Ne=90。，如果tanNA=那么cosZB=

3

15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且AE：ED=I:2,若EF=4,则CE的长为.

2百

16.如图，ΔABC为等边三角形，点。在ΔABC外，连接8。、CD.若=2NAeD,tanZACD

~T~

BD=后，则8=

17.将直角边长为5cm的等腰直角aABC绕点A逆时针旋转15°后,得到aAB'O,则图中阴影部分的面积是cm'.

A

8

B

18.三角形的三条边分别为5,5,6,则该三角形的内切圆半径为

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，在AABC中，BA=BC20cm,AC30cm,点尸从点A出发，沿AB以每秒4cτn的速度向

点8运动，同时点。从C点出发，沿C4以3o"/s的速度向点A运动，设运动时间为X秒

(1)当X为何值时，BP=CQ.

(2)当X为何值时，PQ//BC.

(3)AAPQ能否与ACQ8相似？若能，求出X的值；若不能，请说明理由.

20.(6分)已知，反比例函数的图象经过点M(2,0-1)和可(-2,7+20),求这个反比例函数解析式.

21.(6分)如图，一次函数yι=x+4的图象与反比例函数》="的图象交于4(-1,«)»8两点，与X轴交于点C.

X

(1)求我.

(2)根据图象直接写出“＞以时，X的取值范围.

(3)若反比例函数及=&与一次函数y∣=x+4的图象总有交点，求A的取值.

X

22.（8分）已知：如图，在A6C中，D是AC上一点，联结BD,且NABD=NACB.

（1）求证：AABDS2!∖ACB;

（2）若AD=5,AB=7,求AC的长.

23.（8分）如图1,以8C。中，AABC.NAoC的平分线分别交AO、BC于点E、F.

（1）求证：四边形E5尸。是平行四边形；

（2）如图2,小明在完成（1）的证明后继续进行了探索.连接4尸、CE,分别交BE、尸。于点G、H,得到四边形

EGFH.此时，他猜想四边形EG/”是平行四边形，请在框图（图3）中补全他的证明思路，再在答题纸上写出规范

的证明过程.

小明的证明思鬲

由C）可知，四边形印。是平行四

边形，湾DH要证四边形EGm

是平行四边形，只要证.

由⑴可证£D=BF,则.4£~FC,又

由，故四边形∙r。是平行四

边形.从而可证图EGm是平行四边形•

_______________________________Γ

图3

24∙(8分)某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，

2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.

(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；

(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？

25.(10分)如图，在ΔABC中，AB=AC,Bo是AC边上的中线，AE平分N½4C交BC于点E、交BO于点F,

cosNABC—,AE=12.

13

(1)求AB的长；

(2)证明：ZDAE=ZAED；

(3)求tanNOBC的值.

26.(10分)如图1,抛物线W:y=αf-2的顶点为点A,与X轴的负半轴交于点£),直线AB交抛物线W于另一

点C,点8的坐标为。,0).

(Si图：

(1)求直线AB的解析式；

(2)过点C作CE,X轴，交X轴于点E,若AC平分NDCE,求抛物线W的解析式；

(3)若α=g,将抛物线W向下平移加(〃?>0)个单位得到抛物线”,如图2,记抛物线叱的顶点为A，与X轴负

半轴的交点为R,与射线BC的交点为G•问:在平移的过程中，是否恒为定值？若是,请求出S“N°GB

的值；若不是，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、C

【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出

从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）,

开始

BCabACabgABcbA'BCa

共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6,

所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=*京.

故选：C.

【点睛】

本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数切除以所有等

可能发生的情况数〃即可,即P=-.

n

2、A

【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt∆ACE-Rt∆ABD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的

长.

【详解】解：VEC/7AB,BD±AB,

ΛEC∕7BD,NACE=NABD=90。，

在RtAACESRt△ABD中，ZA=ZA,NACE=NABD=90°,

ΛRt∆ACEsRtAABD,

ECCA1.60.8

■∙---=---------,即-an---------------

BDCA+BCBD0.8+2.2

，解得BD=6m.

故选A.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例.

3、A

【分析】根据作图步骤进行分析即可解答；

【详解】解：•・•第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点民产

ΛAE=AF

•••二步是分别以昆尸为圆心，以大于IE尸长为半径画弧，两圆弧交于。点，连接AO,

2

ΛCE=DE5AD=AD

二根据SSS可以判定aAFD注AAED

：.ACAD=ABAD（全等三角形，对应角相等）

故答案为A.

【点睛】

本题考查的是用尺规作图做角平分线，明确作图步骤的依据是解答本题的关键.

4、B

【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r,

120^×30

2πr=---------,

180

r=10cm

故选B.

考点：弧长的计算.

5、C

【分析】连接OB,过点B作BOJ,），轴于点D,过点C作CEl∙y于点E,证CPE.BPD,再利用三角形的面积

求解即可.

【详解】解：连接OB,过点B作8。_Ly轴于点D,过点C作CE_Ly于点E,

∙.∙点P是BC的中点

ΛPC=PB

•：ZBDP=NCEP=90,NBPD=NCPE

"CPE=BPD

'CE=BD

YS.O4BC=1。

∙,∙SOPB-Sp0c=7

∙.∙点8在双曲线y=9上

X

••OOBD-J

•V=S_w-L

•∙*jBPDu,BDP°OBP-2

・S-1

••口CPE―2

•sj_q_qj-?

•∙*OCE-UOPC*CPE-乙

k

∙.∙点C在双曲线y=一上

X

二网=2Soce-4,k<0

k=-4.

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等,

掌握以上知识点是解此题的关键.

6、A

【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定.要比较两位同学在

五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差.

【详解】平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据

稳定程度的数据是方差

故选A

考点：方差

7、D

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】由“左加右减”的原则可知,将二次函数y=5χ2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为:y=5(x-2)2,3

由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5(x-2)2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：

y=5(x-2)2-3,

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象的平移变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键.

8、B

【解析】小羊的最大活动区域是一个半径为6、圆心角为90。和一个半径为2、圆心角为60。的小扇形的面积和.所以

根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围.

【详解】大扇形的圆心角是90度，半径是6,如图，

小扇形的圆心角是180o-120o=60o,半径是2m,

360τrχ42,八

则面积=-------=—π(m2),

3603

则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+2-π=29'π(m2).

33

故选B.

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可.

9、C

【分析】圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半.依此公式计算即可.

【详解】解：底面圆的半径为3,则底面周长=6π,侧面面积=gx6πx4=12π,

2

故选C.

考点：圆锥的计算.

10、C

【分析】①根据对称轴X=L确定a,b的关系，然后判定即可；

②根据图象确定a、b、C的符号，即可判定；

③方程aχ2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可；

④根据对称性判断即可；

⑤由图象可得，当lvχ<4时，抛物线总在直线的上面，则y2<yι.

【详解】解：①Y对称轴为：x=L

b

------=1则a=-2b,即2a+b=0,故①正确；

2a

V抛物线开口向下

Λa<0

：对称轴在y轴右侧，

Λb>O

T抛物线与y轴交于正半轴

Λc>O

.*•abc<O,故②不正确；

：抛物线的顶点坐标A(1,3)

.∙.方程aχ2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=l,故③正确；

：抛物线对称轴是：x=LB(4,0),

.∙.抛物线与X轴的另一个交点是(-2,0)故④错误；

由图象得：当l<x<4时，有y2<yι;故⑤正确.

故答案为C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像,考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、∣∣,2∣或(3,-2)

【分析】根据函数图象的变化规律可得变换后得到的图象对应的函数解析式为y=士-3,求出C点的坐标为(1,0),

X

那么BC=3,设ΔB8的边BC上高为〃，根据MCD的面积是3可求得=2,从而求得。的坐标.

33

【详解】解：将函数V=二(x>0)的图象沿)'轴向下平移3个单位后得到y=±-3,

3

令y=O,得0=±一3,解得工二1,

X

・•・点C的坐标为(1,0),

点8(-2,0),

BC=3.

设ABCD的边BC上高为力，

ΔB8的面积是3,

.*.-∙3h=3,

2

h=2)

将y=2代入>=3±-3,解得X=3=:

ɪ5

3

将y=-2代入y=±-3,解得x=3.

X

3

点。的坐标是(；，2)或(3,-2).

故答案为：(；，2)或(3,-2).

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，函数图像上点的特征，由平移后函数解析式求出C点的坐标是解题

的关键.

12、64

【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得NAOE=NCoA=32°,所以NCOE=NAOE+NCOA=64%

【详解】解：TMAE=MAC,(已知)

ΛZAOE=ZCOA(等弧所对的圆心角相等)；

又NAe)E=32°,

：.ZCOA=32o,

.∙.ZCOE=ZAOE+ZCOA=64o.

故答案是：64°.

【点睛】

本题考查圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，

那么，它们所对应的其它量也相等.

【分析】由分式的性质和等比性质，即可得到答案.

【详解】解：∙.∙£=[,

y4

%3-3

A-=-=—,

y4-4

由等比性质，得：

x-3_3

y-44，

3

故答案为：

4

【点睛】

本题考查了比例的性质，以及分式的性质，解题的关键是熟练掌握等比性质.

1

14、-

2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出NA=30。，进而得出N5的度数，进而得出答案.

【详解】VtanZA=^,

3

：・NA=30。，

VZC=90o,

ΛNS=I800-30°-90o=60o,

・ZP1

2

故答案为：—.

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键.

15、1

DEEF

【分析】根据AE：ED=I:2,得至IJBC=3AE,证明ADEFS∕∖BCF,得到一=一，求出FC,即可求出CE.

BCFC

【详解】解：TAE：ED=I:2,

ΛDE=2AE,

,：四边形ABCD是平行四边形，

.∙.BC=AD=AE+DE=3AE,AD〃BC,

Λ∆DEF<^∆BCF,

DEEF

•*∙-9

BCFC

•2AE_4

",3AE-RC

ΛFC=6,

ΛCE=EF+CF=1,

故答案为：L

【知识点】

本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的判定与性质定理是解题关键.

16、1

（分析】作NABD的角平分线交DC于E,连接AE,作AP，QC于F,延长BE交AD于R,先证明ABEDmABEA，

可得AB=BD=后,再通过等腰三角形的中线定理得BRL4）,利用三角函数求出DF,FC的值，即可求出CD

的值.

【详解】作NABD的角平分线交DC于E,连接AE,作AF,L>C于F,延长BE交AD于R

VZABD=IZACD

；.NABE=NACE

.∙.A,E,C,D四点共圆

：.NAEC=NABC=60°

：./BEC=/BAC=60。

：.NBED=NBEA=T20。

•：NEBD=NEBA,BE=BE

二∕∖BED^∕∖BEA

∙∙∙AB=BD=后

VAB^AD,AABR=ZDBR

：.BRVAD

：.AC=屈，tanNACO=辿

5

：.AF=26,FC=5

VΛB=√37,tanZABR=ɪ

ʌAR=2√3

：.AD=4√3

ʌAF=2√3

DF=G

：.CD=DE+/C=Il

故答案为：L

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、锐角三

角函数是解题的关键.

1725√3

6

【解析】:等腰直角AABC绕点A逆时针旋转15。后得到AABCO

VZCACr=ISo,

ΛZCAB=ZCAB-NCAC'=45。-15o=30o,AC,=AC=5,

：.阴影部分的面积=,x5xtan30°x5=竺①.

26

18、1.5

【分析】由等腰三角形的性质和勾股定理，求出CE的长度，然后利用面积相等列出等式，即可求出内切圆的半径.

【详解】解：如图，点O为AABC的内心，设OD=OE=OF=r,

£6

VAC=BC=5,CE平分NACB,

ΛCE±AB,AE=BE=LAB=LX6=3,

22

在RtaACE中，由勾股定理，得

CE=E-W=4,

由三角形的面积相等，则

SMBC~SΔAoC+S(MoB+SABOC»

.∙.-AB∙CE=-AC∙OD+-AB∙OE+-BC∙OF=-∙(AC+AB+BC)∙r,

22222

二—×6×4=-×(5+6+5)r,

22

：./*=1.5；

故答案为：1.5；

【点睛】

本题考查的是三角形的内切圆与内心，三线合一定理，勾股定理，掌握三角形的面积公式进行计算是解题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)卫秒；⑵W秒；⑶能，2秒或5秒

739

【分析】(1)分别用X表示出线段BP和CQ的长，根据其相等求得X的值即可；

(2)当PQ〃BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP,PQ,AB,AC的比例关系式，我们可根据P,

Q的速度，用时间X表示出AP,AQ,然后根据得出的关系式求出X的值.

(3)本题要分两种情况进行讨论.已知了NA和NC对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC

对应成比例两种情况来求X的值.

【详解】(1)依题意可得：BP=20-4x,CQ=3x

当BP=CQ时，20-4x=3x

,20

∙*∙X——(秒)

7

20

答：当X=一秒时，BP=CQ

7

(2)AP=4x,AB=20,AQ=30-3x,AC=30

所以∞时,有条笔

4x3O-3x

即nπ：——=-------

2030

解得：X=5(秒)

答：当X="秒时，PQ//BCi

3

(3)能.

APAQ

①当AAPQSACQB时，有----=----

CQCB

4x30-3x

即ππ：一=-------

3x20

解得：X=y(秒)

AP

②当aAPQsaCBQ时，有有=*

CnC(7

4x30-3%

C即JrI：—=-------

203%

解得：x=5(秒)或X=-IO(秒)(舍去)

答：当X=2秒或x=5秒时，AAPQ与aCQB相似.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比是解题的关键.

6

20、y=----.

X

【分析】根据了反比例函数图象上点的坐标特征得到23-1)=-2(7+24),解得。=一2,则可确定M点的坐标为

k

(2,-3),然后设反比例函数解析式为)，=一，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到左=-6.

X

【详解】解：根据题意得2(。-1)=-2(7+2α),

解得。=一2,

所以M点的坐标为(2,—3),

设反比例函数解析式为y=&,

X

贝Ijk=2X(-3)=-6,

所以反比例函数解析式为V=--.

X

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=^(k为常数，左≠0)的图象是双曲线，图象上的点(χ,y)

X

的横纵坐标的积是定值k,即孙=机

21、(1)-3；(2)-3<x<-1；(3)*≥-4⅛λ≠l.

【分析】(1)把点A坐标代入一次函数关系式可求出”的值，确定点A的坐标，再代入反比例函数关系式可求出A的

值，

(2)一次函数与反比例函数联立，可求出交点3的坐标，再根据图象可得出当山>以时，X的取值范围.

(3)若反比例函数％=&与一次函数y∣=x+4的图象总有交点，就是3+4X-«=1有实数根，根据根的判别式求出A

X

的取值范围.

【详解】(1)一次函数yι=x+4的图象过A(-1,a),

：・a=-1÷4=3,

.∙.A(-1,3)代入反比例函数也=&得，

X

k=-3；

3

(2)由(D得反比例函数M=-巳，由题意得，

X

X=X+4

-V二一

X=T23

3，解得,

J

>2=一一X=32=1'

X

点B(-3,1)

当yi>y2,即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时，

自变量的取值范围为：-3Vx<-l;

(3)若反比例函数)2=&与一次函数A=X+4的图象总有交点，

X

k

即，方程-=x+4有实数根，也就是χ2+4x-k=l有实数根，

X

.,.16+4k≥l,

解得，k≥-4,

Vk≠l,

•••«的取值范围为：k2-4且k≠l.

【点睛】

此题考查待定系数法求函数解析式，函数图象与二元一次方程组的关系，一次函数与反比例函数交点的确定，正确理

解题意是解题的关键.

22、（1）见详解；（2）y

【详解】(1)证明：VZA=ZA5ZABD=ZACB,

Λ∆ABD<^∆ACB.

(2)M：V∆ABD^∆ACB,

.ABAD

■.----=----9

ACAB

.75

•・----=-9

AC7

49

ΛACɪ-

5

23、(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD〃BC,ZABC=ZADC.AD=BC,由角平分线得出

NABE=NEBC=NADF=NCDF.证出EB/7DF,即可得出结论；

(2)由平行四边形的性质得出BE〃DF,DE=BF,得出AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形，得出GF〃EH,

即可证出四边形EGFH是平行四边形.

【详解】证明：在ABCD中，AD∕∕BC,ΛABC=Z.ADC.AD=BC.

VBE平分NA8C,：.NABE=NEBC=-NABC.

2

VDF平分ZADC,，ZADF=ZCDF=-ZADC.

2

VΛABC=ΛADC.

：.NABE=NEBC=NADF=NCDF.

'JAD∕∕BC,

：.NAEB=NEBC.

：.ΛAEB=AADF.

:,EB//DF.

`:ED//BF,

.∙.四边形EBFD是平行四边形.

(2)①补全思路：GF//EH,AE//CFi

②理由如下：

V四边形EBFD是平行四边形；

:,BE//DF,DE=BF,

：.AE=CF,

y.'：AE//CF,

.∙.四边形AFCE是平行四边形，

J.GF//EH,

.∙.四边形EGFH是平行四边形.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明EB〃DF和四边形AFCE是平行四边形,

是解决问题的关键.

24、(1)20%;(2)8640万元.

【分析】(1)设平均增长率为X,根据题意可得2018年投入的资金是5000(l+x)万元,2019年投入的资金是5000(l+x)(l+x)

万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.

(2)相当于数字7200增长了20%,列式计算.

【详解】解：(1)设两年间每年投入资金的平均增长率为X,根据题意得，

5000(l+x)2=7200

解得，xι=0.2=20%,X2=-2.2(不符合题意，舍去)

答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；

(2)根据题意得，7200(1+20%)=8640万元.

答:在2020年预计需投入8640万元.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(l+x)2=b(a、b、x、n分别表示增长前量、增长后量、增长

率和增长次数)列方程是解答增长率问题的关键.

4

25、(1)13(2)证明见解析(3)y

【分析】⑴根据等腰三角形三线合一的性质可得AE_LBC,BE=CM结合CoSNABC=2，可得5E=*A8,

1313

根据勾股定理列式求解即可；

(2)根据直角三角形的斜边中线定理和等边对等角即可证明；

(3)通过证明F是aABC的重心，即可得='AE=4,根据勾股定理求出BE的长度，即可在RtaBEF中求出

3

tanNOBC的值.

【详解】(1)VAB=AC,AE平分NBAC交BC于点£、交BD于点F

：.AElBC,BE=CE

VcosZABC=ɪ

13

BE5

.∙.在RtAABE中，CoSzABC=—=—

AB13

.∙.BE=-AB

13

VAE=∖2

.∙.在Rt∆ABE中，AE?=AB2-SE2=I22

.,•AB?—佶回=12?

132AB2-52AB2=122×132

144AB2=122×132

AB2=132

VAB>O

.∙.AB=13i

(2)VAE∙L8C,BO是AC边上的中线

：.AD=DE=CD

ZDAE=ZAED;

(3)'：AB=AC,AE平分的C交BC于点E、交BD于点F

.∙.AE是BC边上的中线

YBD是AC边上的中线

.,.F是aABC的重心

VAB=12

：.EF=-AE=A

3

:∙BE=√AB2-AE2=√132-122=5

，在RtABEF中，BE=5,EF=4

4

tanZDBC=—.

5

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形重心的性质是解

题的关键.

251

26、(1)y=2x—2；(2)y=X2—2；(3)相”/。。田恒为定值§.

【分析】(1)由抛物线解析式可得顶点A坐标为(0,-2),利用待定系数法即可得直线AB解析式；

(2)如图，过点B作BNLCD于N,根据角平分线的性质可得BE=BN,由NBND=NCED=90。，ZBND=ZCDE

可证明VBNE>：NCED,设BE=x,BD=y,根据相似三角形的性质可得CE=2x,CD=2y,根据勾股定理由得y与X

的关系式，即可用含X的代数式表示出C、D坐标，代入y=aχZ2可得关于x、a的方程组，解方程组求出a值即可得

答案；

(3)过点8作_LCD于点口，根据平移规律可得抛物线Wl的解析式为y=gχ2-2-m,设点％的坐标为(t,0)(t

<0),代入y=gχ2-2-m可得2+m=；t2,即可的Wl的解析式为y=；xZ；t2,联立直线BC解析式可用含t的代数式

表示出点Cl的坐标，即可得G"=2"，可得NG2”=45°,根据抛物线W的解析式可得点D坐标，联立直线

BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG,ZCDG=ZC1D1H=45°,即

可证明GA//C。，可得NDcB=NDCB,tcmNDICIB=tan/DCB,由NCDG=45。可得BF=DF,根据等腰三角

形的性质可求出DF的长，利用