2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编 幂函数、指数函数与对数函数含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一塞函数、指数函数与对数函数

一、单选题

1.（2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）设“eR,若幕函数y=x"'J2,用定义域为R,且其图像关

于y轴成轴对称，则机的值可以为（）

A.1B.4C.7D.10

2.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）已知。,6为实数，则"2">2〃”是“log?。>log?的（）

条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要

3.（2023春•上海黄浦•高三格致中学校考阶段练习）如图所示是函数>（机，〃均为正整数且以〃互质）的图象，

则（）

n

B.也是偶数，〃是奇数，且‘<1

n

C.旭是偶数，”是奇数，且竺>1

n

D.W是奇数，且%>1

n

4.（2023春•上海闵行•高三上海市某中学校考开学考试）若2"-2,<3一1-3一、，则（）

A.ln（y-x+l）>0B.ln（y-x+l）<0C.In|x-^|>0D.ln|%-y|<0

5.（2023春・上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知函数/（x）=」J,设为0=1,2,3）为实数，

1+3

3

且玉+%+£=0.给出下列结论：（l»（x）关于（0,1）中心对称；（2）存在七子2”3>0,使得+

则（）

A.（1）与（2）均正确B.（1）与（2）均错误

C.（1）正确（2）错误D.（1）错误（2）正确

6.(2023・上海•高三专题练习)已知函数/(x)=2021i+(x-l)3-202Tr+2x,则不等式/(/-4)+/(2-3X)W4的解

集为（）.

A.[-1,4]B.[-4,1]

C.（^»,-l]u[4,+oo）D.（^»,-4J[1,+oo）

7.（2023秋・上海静安•高三校考阶段练习）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，

降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度

为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为'%,且y随

时间/（单位：分钟）的变化规律可以用函数>=（）,（）5+加丁（71€1<）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准

需要的时间f（单位：分钟）的最小整数值为（）

（参考数据ln2=0.693,ln3al.098）

A.5B.7C.9D.10

8.（2023・上海杨浦・同济大学第一附属中学校考三模）已知函数了（乃二为，设为=1,2,3）为实数，且

%1+x2+x3=0.给出下列结论：

3

①若-x2-x3>0,则/（占）+/（尤2）+/（三）<-；

3

②若再•马•尤3<°，则/（再）+/（^2）+/（无3）>•

其中正确的是（）

A.①与②均正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①与②均不正确

二、填空题

X<1

9.（2023秋・上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试）已知函数/（©='若/（a）=2,则

log2X,X>1

10.（2023秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考开学考试）函数y=lg（l+x）-lg（x-l）的定义域是.

11.（2023秋・上海松江•高三校考阶段练习）已知幕函数〃》）=（%-1）2——+2在（0,+向上单调递增，则的解

析式是—.

12.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）若幕函数=/的图象过点t，、，则"9）=.

13.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）函数y=2、+2x-l,xe[2,+e）的值域为.

14.（2023秋•上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考开学考试）函数f（x）=log2（-尤?+6x-5）的单调递减区间

是_______

15.（2023春・上海杨浦・高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时,

/（x）=log2x,则F（x）2-2的解集是.

16.（2023・上海嘉定・上海市嘉定区第一中学校考三模）函数y=/（x）,xeR满足/（x+2）=/（x）,当0<x42,

/（x）=log2（x+l）,则/（-2023）=.

17.（2023秋・上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知募函数用一在（0,+8）单调递

减，则实数根=.

18.（2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）设函数>=2"<，田在区间（0,1）上是严格减函数，则实数

a的取值范围是.

-I

19.（2023春•上海浦东新•高三上海市建平中学校考开学考试）已知函数x2',

log2（2x+6）,x>-1

g｛x）=cvC+2x+a+\,若对任意的玉eR,总存在实数无2e［。,+»）,使得/（石）=g（x?）成立，则实数a的取值范围

为.

20.（2023・上海浦东新•上海市建平中学校考三模）函数、=2108“（23-1）+1（4>0且。"）的图像恒过定点？，则点p

的坐标为.

21.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考三模）已知函数外力是R上的奇函数，当尤<0时，/（x）=4-2、若关

于x的方程〃/（力）=加有且仅有两个不相等的实数解，则实数机的取值范围是.

22.（2023秋•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试）函数〃犬）=log“（加一4%+9）在区间［1,3］上严格递增,

则实数。的取值范围是.

23.（2023・上海青浦・统考一模）不等式2-2>3<g的解集为.

24.（2023・上海黄浦・格致中学校考三模）已知〃力=1+1隰武16<9）,设g（x）"2（x）+f（f）,则函数y=g（x）

的值域为.

25.（2023秋•上海黄浦•高三上海市敬业中学校考开学考试）若函数/（力=|2"-4-1的值域为［-1,+^）,则实数。的

取值范围为.

26.（2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习）设函数/（x）=|log2x+G+4（a>0）在区间％+2］«>0）

上的最大值为M（a，b），若｛臼/（。,6）.」+。｝=R，则实数，的最大值为.

三、解答题

27.（2023秋.上海徐汇.高三位育中学校考开学考试）已知函数〃x）=log2（x+a）（a>0）,设g（无）=g〃4无）.

(1)当4=1时，解关于X的不等式〃x)<T；

⑵对任意的x«0,2),函数y=〃尤)的图象总在函数〉=8(动的图象的下方，求正数。的范围.

28.(2023秋・上海黄浦・高三上海市敬业中学校考阶段练习)已知定义域为R的函数/。)=匚*是奇函数.

2+1

(1)求实数。的值；

(2)判断Ax)的单调性并用定义证明；

3

(3)已知不等式/(log吗)+/(-1)>0恒成立，求实数机的取值范围.

V+h

29.(2023・上海•高三专题练习)已知函数/(x)=17t是定义域为R的奇函数.

⑴求实数b的值，并证明了(x)在R上单调递增；

(2)已知。＞0且若对于任意的不、x2e［l,3］,都有“xJ+'N/T恒成立，求实数。的取值范围.

30.(2023秋•上海杨浦・高三上海市控江中学校考阶段练习)若函数f(x)与g(元)满足：对任意的尤底，总存在唯

一的马e。，使〃占)g(%)=m成立，则称“尤)是g(x)在区间。上的“m阶伴随函数”;当/(x)=g(x)时,则称f(x)

为区间。上的“〃邛介自伴函数”.

⑴判断〃尤)=log?(V+1)是否为区间口，近］上的“2阶自伴函数”？并说明理由；

⑵若函数〃x)=4'T为区间^,b上的“1阶自伴函数”，求b的值；

⑶若〃尤)=号是8(%)=丁-2水+〃-1在区间［0,2］上的“2阶伴随函数”，求实数。的取值范围.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一塞函数、指数函数与对数函数

一、单选题

1.（2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）设“eR,若幕函数y=x"'J2,用定义域为R,且其图像关

于y轴成轴对称，则机的值可以为（）

A.1B.4C.7D.10

【答案】C

【分析】根据幕函数的定义域和幕函数的奇偶性可以确定m的值.

【详解】解：由题意知m2—2根+l>O=>〃zwl,

因为其图像关于y轴成轴对称，则加=7.

故选：C.

2.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）已知。,6为实数，贝1!"2“>2"”是“1。82。>1。826’的（）

条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要

【答案】B

【分析】利用充分条件与必要条件的定义结合指对数函数的单调性即可求解.

【详解】充分性：由题知，a、beR,由2">2J可得a、人可以取负实数，不满足对数函数的定义域，因

此不能推出log2a>log?6，故不充分；

必要性：log?log?。时，可以得出进而2">2",故必要；

所以"2">2"'是"log?a>log2b”的必要非充分条件.

故选：B.

3.（2023春•上海黄浦・高三格致中学校考阶段练习）如图所示是函数/=/（7"，〃均为正整数且7"，"互质）的图象，

n

B.加是偶数,“是奇数，且‘<1

n

IT1

C.加是偶数，〃是奇数，且竺>1

n

D.根》是奇数，且2>1

n

【答案】B

m_m

【分析】由幕函数性质及0<x<l时两图象的位置关系可知‘<1；由图象可知丫=”为偶函数，进而确定犯〃的特

征.

【详解】由幕函数性质可知：>=/与'=》恒过点(1,1),即在第一象限的交点为(L1),

当0<x<l时，7>,则'<1；

又y=J图象关于，轴对称，；.y=/为偶函数，...(f).=0㈠丫=X：=而，

又私"互质，，加为偶数，”为奇数.

故选：B.

4.(2023春•上海闵行・高三上海某宝中学校考开学考试)若2*-2，<3-工-3一,,贝I()

A.ln(y-%+l)>0B.ln(y-%+l)<0C.ln|.r-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【分析】将不等式变为2-3T<2>-3-根据/(/)=，-3T的单调性知》<兀以此去判断各个选项中真数与1的

大小关系，进而得到结果.

【详解】由2、-2，<3一工-3->得：2*-3一*<2»-3->,

令/⑺=2T,

「丁=2，为尺上的增函数，、=3-，为R上的减函数，.•"(。为R上的增函数，

r.xvy,

Qy-x>0,.\y-x+l>l,.-.ln(y-x+l)>0,则A正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的

大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

V

5.(2023春•上海杨浦•高三同济大学第一附属中学校考阶段练习)已知函数/(x)==J,设x,«=l,2,3)为实数，

1+3

3

且%%+退=0.给出下列结论：(l)/(x)关于(0,1)中心对称；(2)存在网”253>0,使得〃%)+/优)+〃尤3)25,

则()

A.（1）与（2）均正确B.（1）与（2）均错误

C.（1）正确（2）错误D.（1）错误（2）正确

【答案】B

【分析】利用函数对称中心的性质，通过判断，（力+/（-力是否为常数，可判断（1）的正误；构造函数，根据函

数单调性研究函数值对应不等式的大小，化简可得结果，进而判断（2）.

【详解】对于⑴，由小）工+三r三+九

/（x）+/（-x）=l，

二函数/（x）图像关于点对称，故（1）错误；

在⑵中，设g（x）=/（x）-由函数/（X）图像关于点（0,£|对称可知，g（x）关于原点对称，即g（x）为奇函数,

3*12-3v-3X-111

g（x）=--可得g（x）为增函数，图像如图所示，

3+122（3+1）23、+1

「为+%+W=°，且玉％毛＞。，则电=一（百+N），不妨设玉＜0,x2＜0,x3＞0,设点A@+x2,g（^+x2））,^（占名⑶）），

C（x2,g（x2））,

此时直线0A方程为y=g（%+"）龙,由图可得直线在函数g（x）的上方，

玉+%

即gU）＜£h±^l和8伍）＜115±^%,

玉+x2石+x2

则g（占）+g（%）＜g（%+"）x]+g（/+"）x2=g（%+%）=g（占+Xl）

玉+/Xi+X2%+X2

（玉）+g（无2）-g（石+赴）＜0，

又由g（尤3）=g（-（A+龙2））=-g（石+龙2），8（%）+8（尤2）+8（尤3）＜。，

由g（x）=/（x）-g,即/（芭）-3+/（々）-3+/（%）-3＜0，二/（工1）+/（苫2）+/（三）＜：，故（2）不正确，

故选：B.

6.(2023・上海•高三专题练习)已知函数，(x)=202产+。-1)3-202T-，+2X,则不等式/(/一4)+/(2-3x)44的解

集为(),

A.[-1,4]B.[-4,1]

C.(^»,-1JU[4,-H»)D.(-oo,-4J[1,+oo)

【答案】A

【分析】设函数g(x)=202F+x3-2021T+2x,判断其单调性与奇偶性；从而得出〃无)单调性与对称性，将所求不

等式化为-4)V/(3x),根据函数单调性，即可求出结果.

【详解】设函数8(彳)=202-+/-202rx+2x,则函数g(x)是定义域为R,

根据指数函数与幕函数的单调性可得，y=202F是增函数，y=202L是减函数，y=d是增函数，

所以g(x)=202F+_?_202L+2元在R上单调递增；

又g(-x)=2025x-/一2。2--2元=-8(尤)，所以g(x)是奇函数，其图象关于原点对称；

又/(尤)=202F-1+(尤一Ip—202fr+2(尤一l)+2=g(x-l)+2,

即Ax)的图象可由g(x)向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，

所以/(x)=202F1+(x-1)3-2021〜+久x-1)+2是定义域为R的增函数，

且其图像关于点(1,2)对称，即有f(x)+/(2-x)=4,即/(2-x)=4-/(x).

由f()—4)+>(2-3x)V4得f(x2-4)<4-f(2-3x),

gp/(x2-4)</(2-(2-3x)),

BPf(x2-4)<f(3x),所以X2-4<3X,解得-l<x<4.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数Ax)的单调性与对称性，进而即可求解不等式.

7.(2023秋・上海静安•高三校考阶段练习)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，

降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度

为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为>%,且y随

时间f(单位：分钟)的变化规律可以用函数>=0,05+加磊QeR)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准

需要的时间，(单位：分钟)的最小整数值为()

(参考数据比220.693,1113句.098)

A.5B.7C.9D.10

【答案】B

【分析】根据已知条件求得彳，然后列不等式来求得I的取值范围，进而求得》的最小整数值.

、、__9_

【详解】当7=°时，y=0.05+=0.05+2=0.25,A=0,2;

_t_-±1

所以、=。.05+0.2屋内，由ynO.OS+OZe-10<0.15得e10

(二)1t

ln[e10J<ln-,-—<-In2j>10xIn2®10x0.693=6.93,

所以，的最小整数值为7.

故选：B

8.(2023・上海杨浦・同济大学第一附属中学校考三模)已知函数设匹(1=1,2,3)为实数，且

项+/+%3=0.给出下列结论：

_3

①若xl-x2-x3>0,则/(%,)+/(x2)+/(x3)<-;

_3

②若Xl-X2-X3<0,则/(%1)+/(x2)+/(x,)>-.

其中正确的是()

A.①与②均正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①与②均不正确

【答案】A

【分析】令g(x)="x)-g,得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设为<0,々<0,9>0,结合

A(xl+x2,f(xl+x2)),利用直线。4的方程得到g(jq)+g(无2)<g(%+X2)，进而得到g&)+g®)+g(W)<。，可判

断①正确；②中，不妨设％<0,%>。，工3>。，得到点以赴+斗/小+为))，利用直线。8的方程得到

g®)+g(W)>g(%+W)，进而得到g(占)+g(x2)+g(W)>。，可判定②正确.

【详解】令函数g(x)=〃x)一丁.一二3)=二,，

可得函数g(x)为单调递增函数，

3X-13T-]

又由g(%)+g(f)=+=0,即g(-x)=-g(x),

乙(JLIJ)乙IJJ

所以函数g(x)为奇函数，图象关于点(。,0)对称，如图(1)所示，

①中，因为再+入2+%=。，且西•尤2，冗3>。，贝！J%=-(%+%2)，

不妨设％<0,冗2<°，X3>°，

f（X+X）

A（X[V=----

则点+x2,f（xl+x2））,此时直线OA的方程为^-^-x,

Xj

+x2

可得g（占）＜ga+X2）X],g（x2）＜:（为+马晨,

$+x2玉+x2

则g（xj+g（x?）＜+/）尤|+g（%+%）%=g（X]+%）,

2

X1+%玉+工

可得g（玉）+gG）-g。+々）＜。

又由g（w）=gHx+＜）]=-ga+/）,所以ga）+g（/）+g（w）＜o,

iii3

即/（王）一5+/（%2）-,+/（%3）-5＜。，即/（』）+/（%2）+/（%3）＜/，所以①正确;

②中，若％if/V。，不妨设王.与〉。，则％1=-（%2+兀3），

不妨设玉＜0,%＞°，工3＞°，

则点2（%+&"（无2+%）），此时直线0B的方程为y=1（%+-3）.,

«^2I*^3

可得g㈤＞g4"优）＞公工3,

+%3X

X2%+3

则g（%）+g伍）＞双々+与晨+々区+斗）尤3=g（%+思）,

+%32+X

X2工3

可得g（尤2）+g（W）-g（W+W）＞。，

又由g（A1）=g[-（^+X?）]=-g（A：,+X,）,所以8（%）+85）+8（尤3）＞0,

1113

即/（芭）_5+/（々）_3+/（尤3）_/＞0，即f（x1）+/（x2）+/（x5）＞-,

所以②正确.

故选：A.

2~2

图（1）图（2）

【点睛】方法点拨：令函数g（x）=/（尤）-），得到函数g（x）为递增函数，且为奇函数，求得点A（%+%"（占+%））和

8。2+W]（%+三）），结合直线。4和。8的方程，得出不等式关系式是解答的关键.

二、填空题

9.(2023秋・上海静安•高三上海市市西中学校考开学考试)已知函数/(尤)=：'"<1,若〃。)=2,则

log2X,X>1

Cl—.

【答案】4

【分析】利用给定的分段函数，借助单调性分析取值范围，再列式计算作答.

【详解】依题意，当x<l时，函数/(x)=2,单调递增，f(x)<2；当时，/(x)=log?无单调递增，/(x)>0,

因此由/(a)=2,^flog2«=2,解得a=4,

所以a=4.

故答案为：4

10.(2023秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考开学考试)函数>=坨(1+*)-坨(左-1)的定义域是.

【答案】3+8)

【分析】先求出坨(*+1)和Ig(x-l)定义域，再求交集.

fx+l>0

【详解】由题意，、八,：.x>l；

[无一1>0

故答案为：xe(l,4w).

11.(2023秋・上海松江•高三校考阶段练习)已知累函数〃月=(利-1)2--3，”+2在(0,+8)上单调递增，则“X)的解

析式是—.

【答案】f(x)=x2

【分析】根据幕函数的定义和性质求解.

【详解】解：“X)是幕函数，

m-12=1,解得加=2或机=0,

若根=2,则〃x)=x°,在(0,+s)上不单调递减，不满足条件；

若小=。则〃6=公,在(0,+8)上单调递增,满足条件；

gp/(x)=x2.

故答案为：/(x)=x2

12.(2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习)若寻函数=/的图象过点5],则"9)=.

【答案】士

【分析】首先求累函数的解析式，再求函数值.

【详解】由题意可知，=8,即2^=23,得左=一之

3.21

所以〃尤）=f5，/（9）=92=3-3=—.

故答案为：《

13.（2023秋•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）函数y=2'+2x-l,xe［2,+e）的值域为.

【答案】［7,内）

【分析】根据函数的单调性求得正确答案.

【详解】函数y=2'+2x-1在区间［2,y）上单调递增，

所以y"+2x2-1=7,

所以值域为［7,内）.

故答案为：［7,内）

14.（2023秋•上海杨浦・高三同济大学第一附属中学校考开学考试）函数/'（力=142（-》2+6》-5）的单调递减区间

是.

【答案】［3,5）

【分析】先求定义域，然后根据复合函数单调性可得.

【详解】由一/+6X一5＞0,即（x—2）（x-3）＜0解得1（尤＜5,

令t=-%2+6x—5，

由二次函数性质可知，/=-/+6彳一5在［3,5）上单调递减，在（1,3）上单调递增，

又因为y=log2f为增函数，

所以，由复合函数单调性可知，/（X）的单调递减区间是［3,5）.

故答案为：［3,5）

15.（2023春・上海杨浦・高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数/'（X）是定义在R上的奇函数，当x＞0时,

=log2x,贝U/（x）＞-2的解集是.

【答案】-4,0］u［1,+^^

-log2(-x),x<0

【分析】利用奇偶性求出函数人尤)的解析式/(%)=0，%=0，分类讨论即可求解.

log2>0

【详解】当IV。时，一%>0,所以/(T)=k)g2(T),

因为函数了⑴是定义在R上的奇函数，所以/(九)=-f(-x)=-log2(-x),

所以当XV。时，/(x)=-log2(-x),

-log2(-x),x<0

所以/(x)=0,x=0,

log2>0

fx>0fx<0fx=O

要解不等式”x)N-2,只需、。或1/^或八

[log2x>-2[-log2(-x)>-2[0>-2

解得或W<0或％=0,

4

综上，不等式的解集为-4,0]3：,+8),

故答案为：-4,0]31+(»].

16.(2023・上海嘉定・上海市嘉定区第一中学校考三模)函数y=〃x),xeR满足/(x+2)=/(尤)，当0<x42,

/(x)=log2(x+l),则〃-2023)=.

【答案】1

【分析】根据〃x+2)=〃x)可得周期为2,由〃-2023)=〃1)可得答案.

【详解】因为xeR满足/'(x+2)=/(x),所以y=〃x)的周期为2,

/(-2023)=/(l)=log2(l+l)=l.

故答案为：1.

17.(2023秋・上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习)已知幕函数疗-3)/+%3在(0,+动单调递

减，则实数根=.

【答案】-2

【分析】根据幕函数的定义与性质列式求解即可.

f2-3=1

【详解】由题意可得：(m“八，解得加=-2.

[m+m-3<0

故答案为：-2.

18.(2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习)设函数>在区间(0,1)上是严格减函数，则实数

。的取值范围是.

【答案】a>2

【分析】利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性即可得解.

【详解】因为>=2小田在区间（0,1）上是严格减函数，而y=2,在R上单调递增,

令t=…）=/一办=（无一?号，贝卜十一段一（在（0,1）上单调递减,

又一[开口向上，对称轴为Xu1,

所以二21,则422.

2

故答案为：fl>2.

醒+x+l91

19.（2023春•上海浦东新•高三上海市建平中学校考开学考试）已知函数〃x）=x2',

log2（2x+6）,x>-1

g（x）=ax2+2x+a+l,若对任意的为eR,总存在实数々e[。,内），使得/（%）=g（%）成立，则实数a的取值范围

为.

'3'

【答案】0,-

【分析】求出函数/（x）的值域，结合对任意的％eR,总存在实数/e[0,+8），使得/（%）=g（%）成立，转化为了（元）

的值域是函数g（尤）值域的子集即可.

【详解】设函数〃x）、g（x）的值域分别为集合A、B,

当x<T时，：«-1，°）"（同=已+£|+：e[,2]

当港-1时，/（X）>2,所以A=：,+、，

因为对任意的总存在实数々£[。，+8），使得/（%l）=g（%2）成立，

所以应有B,

故当。<0显然不合要求.

当a=0时,在[0,+8）上8（%）=2%+1£[1,y）符合要求.

当〃>0时，g（x}=a[x+^-\+a+l—L在[。,+8）上递增，

Va）a

73（3_

所以g（x）e[a+l,yo）,^a+l<-^a<~,所以有ae[0q.

3

综上，ae0,—.

「31

故答案为：0q

20.(2023・上海浦东新•上海市建平中学校考三模)函数y=21og“(2尤-1)+1(。>0且awl)的图像恒过定点尸，则点尸

的坐标为.

【答案】(14)

【分析】设2x-l=l求出定点的横坐标，代入函数求出定点的纵坐标，即得解.

【详解】解：设2尤-1=1,.”=1.

当x=l时，j=21og„l+l=l,

所以函数的图象经过定点尸(L1).

故答案为：(ID

21.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考三模)已知函数〃力是R上的奇函数，当尤<0时，/(x)=4-2-\若关

于X的方程/•(”x))=〃z有且仅有两个不相等的实数解，则实数机的取值范围是.

【答案】(-4,-3]u[3,4)

【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的

函数值对应自变量的个数，再由f=/(x)有两个解，对应/«)=加的解的个数确定f范围，进而求机的范围.

【详解】由题设〃0)=0,若x>0,则/(尤)=-/(-》)=-(4-2，)=2-4,

4-2-\x<0

所以/(尤)=<0,彳=0,值域为R,函数图象如下：

2*-4,尤>0

当/(x)e(一》,-3]时，只有一个Xe(-00,-10g27]与之对应;

当/(x)e(-3,0)时，有两个对应自变量，

记为石<工2)，则—log27<w<-2<0<%2<2；

当/(x)=0时，有三个对应自变量且｛-2,0,2｝；

当f(x)e(0,3)时，有两个对应自变量,

记为芍,/（毛<x4）,则一2<%3<0<2<兀4V1°§27；

当f(x)G[3,+00)时，有一个XG[log27,+00)与之对应;

令t=f(x),则/⑺=〃7,要使/(f(x))=〃z有且仅有两个不相等的实数解,

若/⑺="有三个解，则t=f(x)w{—2,0,2},此时x有7个解，不满足;

若f(t)=根有两个解「心且4<马，此时。=f{x)和」=f(.x)各有一个解,

结合图象知，不存在这样的心故不存在对应的电

若/«)=%有一个解务，则Zo=/(x)有两个解，此时代(-3,-log27Mlog?7,3),

所以对应的加e(-4,-3］l［3,4),

综上，me(T,-3］［3,4).

故答案为：(-4,-3］u［3,4).

22.(2023秋•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试)函数〃x)=log“(办2-4x+9)在区间［1,3］上严格递增,

则实数。的取值范围是.

【答案】Q,|M2,+^^

【分析】运用复合函数的单调性分别研究当与0<。<1时g(x)=o?-4x+9在口,3］上的单调性，且g(x)>0在

口,3］恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果.

【详解】由题意知，〃>0且awl,

4?

令g(x)="2—4%+9,则其对称轴为1=丁=一，

2aa

①当，>1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在工3］上单调递增，且g(x)〉0在工3］恒成立，

a>\

2

则(一(1，解得〃>2,

a

g⑴=〃+5>0

②当0<avl时，由复合函数的单调性可知，g(x)在口,3］上单调递减，且g(x)>。在［1,3］恒成立,

0<a<l

21?

则->3,

g(3)=9〃_3>0

12

综述：a>2^-<a<—.

故答案为：M2,+8；

23.(2023•上海青浦・统考一模)不等式2、<a<：的解集为.

【答案】(-3,2)

【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答.

【详解】函数y=2,在R上单调递增，则2,小-3严T)02fl<2-3-o--2x-3<—3(x—l),

即/+了-6<0,解得-3<x<2,

所以原不等式的解集为(-3,2).

故答案为：(-3,2)

24.(2023・上海黄浦・格致中学校考三模)已知〃x)=l+log3X(lVxW9),设g(x)=r(x)+y(f),则函数y=g(x)

的值域为.

【答案】[2,7]

【分析】确定函数y=g(x)的定义域,化简可得y=g(x)的表达式，换元令1幅尤=/,(re[0,i]),可得丫=产+今+2,

结合二次函数的性质即得答案.

【详解】由题意得，;则14XW3,即g(x)=r(x)+f(x2)的定义域为[1,3],

22222

ftg(^)=/(^)+/(^)=(1+log3X)+1+log3%=(log3x)+41og3x+2,

4-log3x=Z,(re[0,l]),则y=〃+4f+2=Q+2)2-2,

函数y=0+2)2-2在[0,1]上单调递增，故”[2,7],

故函数,=8(力的值域为[2,7],

故答案为：⑵刀

25.(2023秋•上海黄浦•高三上海市敬业中学校考开学考试)若函数/(力=|2工-4-1的值域为[-1,田)，则实数。的

取值范围为.

【答案】(。,+8)

【分析】由指数函数性质求解

【详解】令g(x)=|2-a|,由题意得g(“的值域为[0,+巧，

又y=2"的值域为(0,+动，所以-a<0,解得a>0

所以“的取值范围为(。，+8).

故答案为：(。，入)

26.(2023秋・上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习)设函数/(x)=|log2X+G+4(a>0)在区间呼+2]«>0)

上的最大值为M("，b)，若色M(a,6).4+a}=R,则实数f的最大值为.

2

【答案】j

【分析】由题意：/(%)=|。2%+6+“(。>0)在区间上，/+2]。为正数)上的最大值为此(〃))，转化为

，(尤)2="(%),/(，+2)},当/(，=/«+2)时,则有：-(log2t+at+b)=log2。+2)+a。+2)+。,可得:

人隰0+2)+1。y+2a(r+1),.>/⑺或/⑺.>加+2)因此只需要加)..l+。，即可得出.

【详解】解：由题意：F(x)=|log2x+ax+"(a>0)在区间上，，+2]«为正数)上的最大值为M(a,b),转化为

/(x)s="(f)"Q+2)},

当/⑺=/«+2)时,

贝!J有:-(log21+at-\-b)=log2(r+2)+a(t+2)+Z;

那么.b=晦0+2)+1。821+2〃(++1)①

-2

当/〉/或^t<x。时，

/(XU>/(0或于>f(t+2)

只需要/(才)..1+〃，

即：-(log2t+at+b).A+a

；Z?,,一log21——-ci...(2)

把①式代入②，

得：log«+2)+logJ+2"Q+D,_]og2-「0

—2

化为：log21^..2,

f_i_o2

.••—■.4,解得q.

I3

7

.「的最大值为

2

故答案为：f.

三、解答题

27.(2023秋•上海徐汇•高三位育中学校考开学考试)已知函数〃x)=log2(x+a)(a>0),设g(龙)=g〃4x).

⑴当a=l时，解关于x的不等式〃x)<T；

⑵对任意的x«0,2),函数y=〃x)的图象总在函数^=8(%)的图象的下方，求正数。的范围.

【答案】(1)[-1，

⑵(。/

【分析】(1)利用对数函数的单调性求解即可；

(2)由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可.

【详解】(1)由〃x)<T,a=l,得log2(元+1)<-I=log2；,

则0<x+l<(,得即不等式的