河北省保定市易县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题及解析

河北省保定市易县2022-2023学年八年级上学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（）

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.348B.4410C.5610D.5611

3.2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对

接”，对接过程的控制信息通过微波传递.微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距

约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应为（）

A.30xlCf3B.3'10-6C.3x105D.0.3x10"1

B,B

6.如图是一个平分角的仪器，其中=BC=DC.将点A放在一个角的顶点,

AB和AZ）沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的

平分线，这里判定ABC和.ADC是全等三角形的依据是（）

A.SSSB.ASAC.SASD.AAS

7.下列变形中是因式分解的是（）

A.x（x+l）=x2+xB.x2+2x+l=(x+l)2

C.x2+xy-3=xCx+y)-3D.%2+6x+4=(x+3)2-5

8.下列计算正确的是（）

A.(3/y=9/B.a3+a:'—2asC.a3xa2=a6D.a*4-a?=Q，

9.如果广6、+机是完全平方式，则m的值为（）

A.-36B.-9C.9D.36

10.计算1那J的正确结果是（

)

33

A6a「8aD.1

A.--B.——c

b3b-瓦b3

11.如图，ABC是等边三角形，D是BC边上一点,DEJ.AC于点、E.若EC=3,则

。。的长为（）

B.5C.6D.7

12.下列变形正确的是（)

试卷第2页，共6页

A.2==B,工Hc.2=4D.2=±

xx+3x-xxxxy

13.如图，AABC/△DEC,点E在线段AB上，Zfi=75°,则/AC。的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

14.某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到

某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品.目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买

同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元.已知王老师花费24元比花费20

元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记

本，根据题意可列方程（）

人24201「24201

A.-------------=lB.-------------=l

xx-2x-2x

「20241-20241

C.-------------=lD.-------------=l

x—2xx+2x

15.点尸在/AOB的平分线上（不与点。重合），PCLOA于点C,。是边上任意

一点，连接PD若PC=3,则下列关于线段的说法一定正确的是（）

A.PD=POB.PD<3C.存在无数个点。使得PD=PC

D.PD>3

16.在平面直角坐标系xOy中，点A（0,2）,B（a,0）,C（m,〃）（”>0）.^AABC

是等腰直角三角形，S.AB=BC,当0<a<l时，点C的横坐标机的取值范围是（）

A.0</?i<2B.2<加<3C.机<3D.机>3

二、填空题

17.若分式」不有意义，则x的取值范围是.

18.如图，在一/4BC中，AC^BC,以点A为圆心，AB长为半径作弧交8C于点。，

交AC于点E,再分别以点C,D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于尸，G

两点，作直线PG.若直线PG经过点E,则NC的度数为°,NA£G的度数为

19.如图1,将一个长为2%宽为助的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小

长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2）,设图2中的大

正方形面积为S],小正方形面积为S2,则S[=,$2=,5]-邑=（用

含a,b的式子表示）.

图1

三、解答题

20.计算：（一万）°+[[）-2g+26.

21.化简：（*-2）2+（%+3）（尤+1）.

22.解分式方程：-=

xx+3

23.如图，已知线段AB及线段A8外一点C,过点C作直线C。，使得CDLAB.

小欣的作法如下:

・C

AB

①以点B为圆心，8C长为半径作弧；

②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点。

③作直线CD.

则直线CZ）即为所求.

（1）根据小欣的作图过程补全图形；

试卷第4页，共6页

（2）完成下面的证明.

证明：连接AC,AD,BC,BD.

"：BC=BD,

.•.点2在线段CD的垂直平分线上.（）（填推理的依据）

•/AC=,

.:点A在线段CD的垂直平分线上.

...直线AB为线段CD的垂直平分线.

：.CD±AB.

24.已知〃+2“一1=0,求代数式1的值•

（a—24+11-a）a-a

25.如图1,在平面直角坐标系中，点A（T,0）,3（4,0）,C（0,4）,给出如下定义:

若P为，ABC内（不含边界）一点，且AP与3cp的一条边相等，则称P为:ABC的

(1)在耳(0,3),8(-1,1),6(-2,1)中,ABC的友爱点是.

(2)如图2,若P为.ABC内一点，且NR4B=NPCB=15。，求证：尸为..ABC的友爱

点;

（3）直线/为过点且与x轴平行的直线，若直线/上存在ABC的三个友爱

点，直接写出加的取值范围.

26.在二帅C中，2B90?,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,CO的垂直平分

线的交点，连接胡，EC,ED.

⑴如图1,当/B4c=40。时，则NAED=°；

(2)当NBAC=60。时，

①如图2,连接AD,判断△血＞的形状，并证明；

②如图3,直线CP与即交于点尸，满足NCED=NC4E.P为直线CF上一动点.当

PE-PD的值最大时，用等式表示PE,与A2之间的数量关系为，并证明.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，据此可得结论.

【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D.是轴对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊

性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合.

2.C

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可.

【详解】解:A.V3+4<8,

.♦•不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B.V4+4<10,

.♦•不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C.V5+6>10,

.••能组成三角形，故本选项符合题意；

D.V5+6=11,

.♦•不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题

的关键.

3.B

【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlOz,其中1<|«|<10,

与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

【详解】0.000003uBxKT6

故选：B.

答案第1页，共14页

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法一般形式为0X10”，其中仁时＜10,确定a和

n的值是解题关键.

4.B

【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于360。求解即可；

【详解】解：多边形的外角和等于360。不变；

A、三角形的内角和为：180°,不符合题意；

B、四边形的内角和为：360°,符合题意；

C、五边形的内角和为：540°,不符合题意；

D、六边形的内角和为：720°,不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了多边形的内角和、多边形的外角和；熟练掌握多边形的内角和公式是解

题的关键.

5.D

【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的

高，据此解答.

【详解】解：A.此图形中3。不是AC边上的高，不符合题意；

B.此图形中4)不是AC边上的高，不符合题意；

C.此图形中助不是AC边上的高，不符合题意；

D.此图形中8D是AC边上的高，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键.钝角三角形有两条高在三角形

外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点

6.A

【分析】原来已经有两条边相等,垂下的射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等.

【详解】在AAOC和中

AD=AB

■：\DC^BC

AC=AC

所以(SSS)

故选A.

答案第2页，共14页

【点睛】本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键.

7.B

【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式，直接判断即可得到

答案.

【详解】解：由因式分解的定义可得，

A选项等式右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意；

B选项是因式分解，符合题意；

C选项等式右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意；

D选项等式右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解.

8.A

【分析】根据积的乘方，幕的乘方，合并同类项，同底数基运算，直接运算判断即可得到答

案.

【详解】解：由题意可得，

(303)2=9°6,故A正确，符合题意；

a3+a2=a3+a2,故B错误，不符合题意；

o3xo2=a5,故C错误，不符合题意；

°8千4=/,故D错误，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查积的乘方，幕的乘方，合并同类项，同底数累运算，解题的关键是熟练掌

握几种运算法则.

9.C

【分析】根据完全平方公式((。±6)2=/士2。6+62)即可得.

【详解】解：由题意得：y2-6y+77i=(y-3)2,

即y2-6y+m=y1-6y+9,

所以机=9,

故选：C.

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键.

答案第3页，共14页

10.D

【分析】直接利用分式的性质结合乘方运算法则化简得出答案.

【详解】解：（出=萼.

bb

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是正确掌握相关运算法则.

11.C

【分析】先求解？c60靶即C=30?,可得CD=2CE,从而可得答案.

【详解】解：ASC是等边三角形，

ZC=60°,

DE1AC,

\?DEC90靶EDC=90?60?30?,

CE=3,

\CD=2CE=6.

故选C

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含30。的直角三角

形的性质，掌握“直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.

12.B

【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数（或整式），

分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析判断即可.

【详解】解：工不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故A不符合题

xx+3

忌;

2=1,变形符合分式的基本性质，故B符合题意；

X-X

2

2,当不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故c不符合题意；

XX

VX

一，一不一定相等，变形不符合分式的基本性质，变形错误，故D不符合题意；

xy

故选B

【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握“利用分式的基本性质判断分式变形是否正确”

是解本题的关键.

13.C

答案第4页，共14页

【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE,/ACB=/QCE即NACO=N8CE,根据等

腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解/8=入8乩和/BCE即可.

【详解】解：：AABC^ADEC,

：.BC=CE,ZACB=ZDCE,

：.ZB=ZBEC,ZACD=ZBCE,

VZB=75°,

/ACr>=/8CE=180°—2x75°=30°,

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握

全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键.

14.C

【分析】先求出花费20元买了(尤-2)本笔记本，再根据“当花费超过20元时，每本便宜1

元”建立方程即可得.

【详解】解：由题意得：王老师花费20元买了(x-2)本笔记本，

则可列方程为上20，-兰24=1,

x-2x

故选：C.

【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键.

15.D

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到的距离为3,再根据垂线

段最短解答即可.

【详解】解：：点P在NAO8的平分线上，PCLOA于点C,PC=3,

二点P到08的距离为3,

:点。是08边上的任意一点，根据垂线段最短，

：.PD^3.

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记

性质是解题的关键.

16.B

【分析】过点C作CO_Lx轴于由“A4S'可证"02四△BOC,可得AO=BD=2,BO=CD="=a,

答案第5页，共14页

即可求解.

【详解】解：如图，过点。作C。，工轴于

：.A0=2f

・・・△ABC是等腰直角三角形，且

・•・ZABC=90°=ZAOB=ZBDC,

：.AABO+ZCBD=90°=ZABO+ZBAO,

：.ZBAO=ZCBD,

在△A08和△BQC中，

ZAOB=ZBDC

<ZBAO=ZCBD,

AB=BC

：.AAOB^ABDC(AAS),

A0=BD=2,B0=CD=n=a,

：.0<a<lf

*.*OD=OB+BD=2+a=m,

a=m—2

.\2<m<3,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构

造全等三角形是本题的关键.

17.g

【分析】根据分式有意义的条件建立不等式，求解即可.

答案第6页，共14页

【详解】解：由题意，得尤-2力0.解得6：2,

故答案为：在2.

18.36126

【分析】连接AD,DE,设/C=x,根据题意可由NAD3+NAr>E+N£DC=18O。得出关

于尤的方程，进而求出尤的值，即可得至U/GEC=54°,即可求解.

【详解】解：如图，连接AO,DE,

设/C=x,

*.•AC=BC,

1QQO_丫1

AZABC=ZBAC=---------=90。——％,

22

•・,以点A为圆心，A5长为半径作弧交BC于点。，交AC于点

AAB=AD=AE,

・・・ZABC=ZADB=90°--x,ZADE=/AED,

2

・・•分别以点C,。为圆心，大于《8的长为半径作弧，两弧相交于尸，G两点,

2

:.DE=CE,FG1CD,

：.ZEDC=ZC=x,

：.ZADE=ZAED=2x,

ZADB+ZADE+ZEDC=90°--x+2x+x=180°,

2

解得：％=36。，

・・・NG£C=90。—NC=54。,

：.ZAEG=1800-ZGEC=126°,

故答案为：36,126.

【点睛】本题考查了作垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形

答案第7页，共14页

的外角的性质，掌握基本作图，以及等腰三角形的性质是解题的关键.

19.a1+2ab+b2a2-2ab+b14ab

【分析】观察图形，根据长方形的面积公式与正方形的面积公式，列出代数式，进而即可求

解.

221

【详解】解：sx=(a+b)=a+lab+b

s?—(Q—b)2—Q2—2ab+Z?2,

S]—S?—Q?+2ab+Z?2—(a?—2clb+b?)-4ab；

故答案为：a2+lab+b1,a2—lab+b1,4ab.

【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键.

20.0

【分析】分别计算零次幕，负整数指数累，同底数累的除法运算，再合并即可.

【详解】解：M°+Q]'-28^26

=1+3-22

=4-4=0

【点睛】本题考查的零次幕的运算，负整数指数塞的含义，同底数幕的除法，掌握以上基础

运算是解本题的关键.

21.2X2+7

【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可.

【详解】解：(x-2)2+(x+3)(x+l)

=x2-4x+4+x2+x+3x+3

=2x?+7

【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，掌握“利用完全平方公式进

行简便运算”是解本题的关键.

22.x——

4

【分析】方程两边同乘以武龙+3),得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分

母检验即可.

【详解】解：方程两边同乘以Mx+3),

答案第8页，共14页

得，x+3=5x,

整理得，4X=3,

3

解得，尤=?

4

3

检验：当尤=一时，x(x+3)#0,

4

3

则x是原方程的根.

【点睛】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的

解；③检验；④得出结论.

23.(1)见解析；(2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD；

【分析】(1)根据作图的作法作出图形即可求解；

(2)完连接AC,AD,BC,BD,根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线

上即可求解.

【详解】解：⑴作图如图所示：

(2)证明：连接AC,AD,BC,BD.

BC=BD,

...点8在线段CD的垂直平分线上.(到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线

上)(填推理的依据)

*.•AC=AD,

点A在线段CD的垂直平分线上.

直线AB为线段CD的垂直平分线.

CDLAB.

故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD.

【点睛】本题考查作图，垂直平分线的判定，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等

的点在线段的垂直平分线上.

答案第9页，共14页

24.1

【分析】先化简分式得到原式=储+2々，再将6+2々_1=。代入即可得到结果.

【详解】解:

_3-1)(1+1)__1_1

(a—I)21—aa(a—1)

/Q+11./

二(—7+--ya(a-I)

a—1a—1

a+2

=------・Q(Q-1)

Cl-\

—/+2。，

*.*〃+2a—1=0,

,,a2+2a=1,

「・原式=1.

【点睛】本题考查了分式的化简求值：先进行分式的乘除运算(把分子或分母因式分解，约

分)，再进行分式的加减运算(即通分)，然后把字母的值代入(或整体代入)进行计算.

25.(1)Pi、尸2；(2)见解析；(3)0<m<2

【分析】(1)根据A(%/,”)、和B(X2,J2)之间的距离公式AB=J®-X])2+(%-%)2以

及友爱点定义解答即可；

(2)由题意易知NOA2=NOCA=/OCB=45。，进而可求得NB4c=/OCP=30。，则可得出

ZACP=ZAPC=75°,根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；

(3)由题意，△ABC在友爱点P满足或AP=PC或AP=8C=AC三种情况，分别讨

论求解即可.

【详解】解：⑴:点A(Y,0),3(4,0)关于y轴对称，点月(0,3)在y轴上,

:.AP尸BPj,故B是,ABC的友爱点；

22

'：AP2=J(T+1)2+(0-1)2=如，CP2=7(0+l)+(4-l)=y/10,

：.AP2=CP2,故P/是ABC的友爱点；

AP3=7(-4+2)2+(0-l)2=y/5,CP3=7(0+2)2+(4-l)2=而，

BP3=7(4+2)2+(0-l)2=技，BC=7(4-0)2+(0-4)2=40,

答案第10页，共14页

••.故尸3不是iABC的友爱点，

综上，ABC的友爱点是尸八P2,

故答案为：P1、尸2；

(2)•.•点A(-4,0),3(4,0),C(0,4),

：.OA=OB=OC,AC=BC,ZBOC=90°,

：.ZOAB=ZOCA=Z0cB=45°,

*.•NPAB=NPCB=15°,

：.ZB\C=ZOCP=30°,

：.ZACP=45°+30°=75°,

ZAPC=1800-ZPAC-NACP=180°—30°—75°=75°,

ZACP=ZAPC,

：.AP=AC=BC,

:.P为ABC的友爱点；

(3)由题意，AABC的友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC三种情况，

若AP=BP,则点P在线段48的垂直平分线上，即点尸在y轴线段OC上，

若AP=PC,则点P在线段AC的垂直平分线上；

AP=BC,则点尸在以点A为圆心，BC即AC长为半径的圆上，

如图，设AC的中点为G,则G的坐标为(一2,2),

由图可知，当直线/为过点G和过点且与x轴平行的直线在x轴之间时，直线/上

存在ABC的三个友爱点，

【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定

答案第11页，共14页

与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相

关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键.

26.(1)100