小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第6讲 组合问题（教师版）

第6讲组合问题

【知识梳理】

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学

中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里,

我们将着重研究有多少种分组方法的问题.

一般地，从“个不同元素中取出“个（〃,<"）元素组成一组不计较组内各元素的次序，

叫做从,个不同元素中取出旭个元素的一个组合.

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个

组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的

元素不完全相同时，才是不同的组合.

从〃个不同元素中取出m个元素（〃E加的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取

出机个不同元素的组合数.记作C：.

一般地，求从，个不同元素中取出的m个元素的排列数琮可分成以下两步:

第一步：从“个不同元素中取出机个元素组成一组，共有C；种方法；

第二步：将每一个组合中的机个元素进行全排列，共有琛种排法.

根据乘法原理，得到P：=C：­P；；.

组合数。：=圣="•(〃-D・(〃-2)・•(n-m+D

因此,

1mm-(m-D•(m—2)••3•2•1

这个公式就是组合数公式.

二、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：C：=C：-m（m<n）

这个公式的直观意义是：C：表示从〃个元素中取出机个元素组成一组的所有分组方

法.CT"表示从〃个元素中取出（〃—〃）个元素组成一组的所有分组方法.显然，从〃个元

素中选出加个元素的分组方法恰是从〃个元素中选加个元素剩下的（〃-相）个元素的分组

方法.

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即

C；=C.

规定=c°=l.

三、插板法

插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有

三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物

体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现.

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件

进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法.

使用插板法一般有如下三种类型：

(1)机个人分〃个东西，要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东

西排成一排，在其中的(〃-1)个空隙中放上(优-1)个插板，所以分法的数目为

Cn-1•

(2)m个人分"个东西，要求每个人至少有。个.这个时候，我们先发给每个人

(a-1)个，还剩下团-砥a-1)］个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴

来处理就可以了.所以分法的数目为C；\(n.

(3)机个人分〃个东西，允许有人没有分到.这个时候，我们不妨先借来加个东

西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了(〃+〃?)

个，因此分法的数目为Ct".

四、排除法

对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中

排除掉那些不符合要求的情况.

【典例精讲】

fWSi)

计算：(1)Cl；(2)C：

【答案】(1)15；(2)15

【解析】⑴窗=聂言5

练习1）

计算：（1）C；.（2）C；.

【答案】(1)C；=21.(2)2=21

【解析】⑴C”导然回⑵有小

某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛?

【答案】C[=66

【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比

赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队中

取2个队的组合问题.

由组合数公式知，共需进行6；=丝£=66（场）比赛.

2x1

顺2

芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加.问：共需要进行多少场比赛?

【答案】C=276

24x23

【解析】由组合数公式知，共需进行。或==276（场）比赛。

2x1

”,

从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：

⑴有多少个不同的乘积？

（2）有多少个不同的乘法算式？

【答案】⑴C；=10⑵耳=20

【解析】⑴要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘

积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组

合问题.

由组合数公式，共有C；=^=丘=10（个）不同的乘积.

82x1

⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡

片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

由排列数公式，共有写=5x4=20（种）不同的乘法算式.

熔习3

9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？

【答案】120

【解析】相当于在10个数字选出7个划去，与划去数的顺序无关，一共有

*。=品=詈誓=120种。

3x2x1

[.1

有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【答案】36

【解析】计数之插板法：如图：OO|OOOO|OOOO,将10粒糖如下图所示排成一排，

这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条

竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有

9x8+2=36种方法.

母习4」

小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【答案】84

【解析】分三种情况来考虑：

⑴当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的

任何一天，有7种吃法；

⑵当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块

的那天，有7种选择，再选吃2块的那天，有6种选择，由乘法原理，有7x6=42

种吃法；

⑶当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从7天中

选3天，有一=7x6x2=35（种）吃法.

73x2x1

根据加法原理，小红一共有7+42+35=84（种）不同的吃法.

另外还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有

C$=C；=84（种）不同的吃法。

【能力提升】

三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这

三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？

【答案】21

【解析】由于每校至少演出3个节目，所以可以由每所学校先分别出2个节目，剩下的8

个节目再由3所学校分，也就是在8个物体间插入2个挡板，8个物体一共有7个间隔，这

样的话一共有7x6+（2xl）=21种方法.

【课后巩固】

1.计算：（1）"⑵々

【答案】⑴19900(2)56

【解析】⑴嚼=c~=C"率=理”=19900

，X1

⑵U=cy=q4耳=56

2.计算：⑴Cl；（2）C湍

【答案】⑴Ci；=220.⑵C温=499500

【解析】⑴%=掾*=22。

⑵

3.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的直线段?

【答案】45

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点

中取2个点，就可以画出一条线段：由组合数公式可画出Gj=与=果^=45（条）直

线段.

4.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的三角形？

【答案】120

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，在10个点中取3

个点，就可以画出一个三角形，由组合数公式可画出£3。=羹=3咨=120（个）三角

jPi3x2x1

形.

5.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的四边形?

【答案】210

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取4个

点，就可以画出一个四边形，由组合数公式可画出£力=210（个）四边形.

6.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数

的加法题，有多少种不同的和？

【答案】28

【解析】武=冬=科=28

7.如图，问：图中，共有多少条线段?

Agc2c3c4d5B

【答案】21

【解析】在线段4?上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两

个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而C；表示从7个点

中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有C；条线段.

由组合数公式知，共有。，=军=土3=21（条）不同的线段。

8.有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法。

【答案】462

【解析】将12块糖排成一排，中间共有11个空，从11个空中挑出5个空插挡板，把12

块糖分成6堆，则这样的每一种分法即对应一种吃法，所以共有65]=些小史3=462

Ix2x3x4x5

种.

9.6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次?

【答案】15次

【解析】因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人

的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题.

由组合数公式知，窃="=15（次）.所以一共握手15次.

62x1

10.把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不

同方法一共有多少种？

【答案】6

【解析】把5件相同的礼物排成一列，中间有4个间隔，现在用两个板去隔，每个间隔最多

放一个板.这2个板的每一种放法都把5件礼物分成3份，所以这两个板的每一种放法都对

应一种分礼物的方法.而板的放法有C：=6种，所以分礼物的不同方法有6种.

【小测验】

1.计算：琛-C；

【答案】成-2=28.

【解析】MY=8X7-----=56—28=28

2x1

2.在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？

【答案】C；=35

【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是

求从7个点中选出3个点的选法，等于C：=卫口=35（种）.