山东省青岛市西海岸新区2022-2023学年高一年级下册期中数学 含解析

2022—2023学年度高一第二学期期中学业水平检测

数学试题

本试卷共6页，22题，全卷满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码

粘贴在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂层.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=0+1),则z的虚部是()

A.2B.-2C.-2iD.2i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数运算求得z,根据虚部定义求得结果.

【详解】z=(l+i『=2i,，z的虚部为：2

故选：A

2.已知向量；z=(l,2),b=(2,t),若q与q—b垂直，则实数/的值为()

33

A.0B.—1C.----D.一

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值.

【详解】且。=(1,2),

由题意可知，a-(a—Z?)=-lxl+(2—t)x2=0,得/="|.

故选：D

3.如图所示，在三棱台A‘B'C'-ABC中，沿平面截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是()

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱台

【答案】B

【解析】

【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论.

【详解】三棱台A'B'C'_ABC中，沿平面A8C截去三棱锥犬—ABC，剩余的部分是以A为顶点，四边

形BCC'B'为底面的四棱锥A—BCCB.

故选：B.

4.在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=币,3=60。，贝(jc=()

A.1B.73C.3D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，即7=4+。2一2。，(c-3)(c+l)=0,解得c=3.

故选：C

5.已知。>0,6>0,复数Z1=1-2i,z2=«-i,Z3=-8在复平面内对应的点为Z1,Z2,Z3,若Z1，

12

Z,,Z,三点共线，则—+的最小值为()

ab

A.9B.8C.6D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数对应的点共线可得2a+b=l,利用均值不等式求解即可.

详解】由题意，Z«,—2),Z2(a,-1),Z3(-^,0),

由三点共线可得，,化简可得2a+匕=1,

—1—(-2)U—(—2)

2

A.OB.C.D

3-i

【答案】C

【解析】

AC4

【分析1由8为角。的平分线，3AD=4BD,可得,——二—,设AC=4x,BC=3x,然后在

BC3

4x3x

/■1AD「C中1利，「」田川J正」匚荔必■止方汪理F田俎付—[，伊简|HJrIl1-舁笛币HJ俎1寸较口空耒：

2sinAcosAsin/

AI~\AC

【详解】因为co为角。的平分线，所以——=

BD~BC

AT4

因为3A£>=48£>,所以一=—

BC3

所以不妨设AC=4x,BC=3x

因为在cABC中，任二=-^,B=2A

smBsinA

命「ACBC4x3x

r）\tA——**—

sin2AsinA2sinAcosAsinA

因为在"48C中，sinAwO，x/0

ll-4x3x4.

fbyf]rtPJA————s<—Ds

2sinAcosAsinA2cosA

2

所以cosA=—.

3

故选：c

则2的取值范围为（）

8.在_A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且BC2=2ACAB,

9c

A.（2->/^,+co）B.（2+G,+8）

C.（0,2+x/3）D.（2-73,2+73）

【答案】D

【解析】

.AB可得卜百，

【分析】设BC=2,BC中点为。，化简8c2=--2AC再根据余弦定理结合余弦函

数的范围可得与e（7-4j5,7+4若），进而可得，的取值范围.

【详解】不妨设3c=2,8c中点为。，则3c2=2AC.A8即4=2（AO+OCj-（AO+OB）,故

AD~+AD（DC+DB）+DC-DB=2,即而_】=2,网=6.

A

故JW+必—s/血

c2AD2+DB1-2AD-DBcosZADB

2-V3cosZADC

——-------------1,因为NADCe(O,7i),故

2+V3cosZADC2+V3cosZADC

2+>/3cosZADCef2-\/3,2+\/3j,则4e(8-4V3,8+473),故

2+GcosZADC

与W（7-46,7+46）,故/的取值范围为（2-6,2+百）.

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z满足z•。一2i）=10,则（）

A.z=2-4i

B.z+2是纯虚数

C.|Z|=|Z|=2A/5

D.若z是关于x的实系数方程/一41+。=0的一个复数根，则〃=20

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,根据复数的除法运算求解z,再求共舸复数即可；对B,求得z=2+4i判断即可；对

C,根据模长公式求解即可；对D,根据复数域中二次方程两根共拆与韦达定理求解即可.

,、1010(l+2i)_

【详解】对A,z.(l-2i)=10,则z=q^=0_2i)(]+方)=2+41,故z=2—4i，A正确;

对B,z+2=4+4i不为纯虚数，故B错误；

2222

对C,|z|=|2+4i|=72+4=275，|z|=|2-4i|=V2+4=275，故C正确;

对D,由题意，/一4%+8=0的复数根分别为z=2+4i与三=2—4i，故

Z?=z-5=（2+4i）（2-4i）=20,故D正确；

故选：ACD

10.下列说法正确的是（）

A.向量弓=（2,-3）,02=（；，一智能作为平面内所有向量的一组基底

B.已知OA3中，点尸为边AB的中点，则必有0尸=；（。4+。6）

C.若PA-PB=PB-PC=PC-PA，则P是一ABC的垂心

D.若G是-ABC的重心，则点G满足条件G4+GB+CG=0

【答案】BC

【解析】

【分析】对A,根据基底向量不共线判断即可：对B,根据基底向量的运用判断即可；对C,化简

PA-PB=PB•P（j可得CA-PB=O，进而根据垂心的性质判断即可；对D,由重心可得GA+GB=CG，

即可判断

【详解】对A,e，=4q,故q,e?共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；

对B,根据平面向量基本定理可得.QAB中，点P为边AB的中点，则必有OP=g（Qi+OB）,故B正

确；

对C,由可得（P4-PC〉PB=O,即C4.p8=0，故C4_L~B,同理CB_LPA,

AB1PC,故尸是的垂心，故C正确；

对D,若G是一ABC的重心，则点G满足条件GA+GB=CG，则G4+GB+CG=2CG，故D错

误；

故选：BC

11.已知内角A,B,C的对边分别为a,h,c,则下列说法正确的是（）

A.若sin2A=sin23,则ABC为等腰三角形

B.若，一=必一，则一45。为等腰或直角三角形

cosAcosB

C.若一ABC为锐角三角形，若力>B,则sinA>cosB

D.若A=30°，b=4,a=3,则有两解

【答案】CD

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质可得2A=23或2A+23=兀判断A,由正弦定理及正切函数性质判断B,

根据正弦函数单调性判断C,由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D.

【详解】•,•_ABC,sin2A=sin28,2A,2Be（0,2兀），.•.2A=25或24+28=兀，即A=3或

兀

A+3=一,故A错误；

2

‘一=—^―,.•.丝旦=丝0,即tanA=tan3,由A3e（0,兀）知A=3，故A8C为等腰三

cosAcosBcosAcos3

角形，故B错误；

71

ABC为锐角三角形，，一>A>8〉0,由正弦函数的单调性知sinA>cos3，故C正确；

2

A=30°,b=4,a=3,:.b>a>bsm30°=2,故有两解，故D正确.

故选：CD

12.已知函数/（x）=cos（8+g］（（y>0）在一兀,/上单调，且y=/（x）的图象关于点（一1,。卜寸

称，贝I（）

A./（x）的周期为2兀

B.若|/（七）一/（々）|=2,则,一々L=2兀

C.将/（x）的图象向右平移。个单位长度后对应的函数为奇函数

D,函数y=〃x）+［在［0,可上有1个零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,根据题意确定周期范围，再根据图象关于点［一?,。］对称，结合正弦函数的对称中心

求解即可；对于B,由A/（x）=cos（；x+1）,结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C,

根据三角函数平移性质判断即可；对于D,根据余弦函数值直接求解即可.

'2兀、71

【详解】对于A,因为函数/（x）=C0S；0%+1-卜啰>0）在一兀,不上单调，所以/（X）的最小正周期T

3Jiir37r2

满足一T2一，即,2小，所以0〈刃《一，

22co23

(TL\TT27r7C

因为/(x)的图象关于点一式,0对称，所以一一。+——=—+E/eZ,得。=一一3k,kwZ,

I3J3322

1T=生=4兀

所以当A=0时，/=—,所以1,故A错误；

2I

对于B,7(x)=cosf|x+y\|/(x,)-/(x2)|=2,

则/（石），/（々）分别为1，一1，则打一wL为半周期,即2兀，故B正确;

将/"）的图象向右平移g个单位长度后得g（X）=COsl1^-^J+y=—sin'x的图象,

对于C,

2

g（x）为奇函数，故C正确;

C.L+空〕+变=0,即

对于D,

<23J2(2312

令，=-1%+生，当xe[0,7t]时，fe，故仅有f=包，故D正确.

23L36J4

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图所示，等腰直角三角形OW8'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'B'=2,则原图形的

周长为.

【答案】8+4&##4夜+8

【解析】

【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.

【详解】由题意，O'B'=2,则O'A=2近，故原图形中。4=40，OB=2,

AB=J(4&『+22=6,周长为8+4应.

故答案为：8+472

14.已知向量q,0满足忖=4,忖=1,卜+2@=26,则向量的夹角为.

【答案】—##—71

33

【解析】

【分析】设a与匕的夹角为6，（a+26『=/+4。m+4匕2=12,得到cos，=—；,解得答案.

【详解】设a与。的夹角为。，,+2耳=26

2

则（。+2力）=a2+4Q,〃+4/?2=16+4x4xlxcos^+4=12,解得cos8二,

O-TT

同0,可，故。=臼.

2兀

故答案为：—

3

15化简：5zn40°0°-75j=.

【答案】-1

【解析】

【详解】原式=sin?°轴1g(sin?(f-V3cos?(F)=2s-40°

coslO°cosl0°\'cosl0°

iA

(-sinTO。一或一°

22

-sin80°.工…

--------才一.故答案为一1

coslO°cosl0°

【点睛】本题的关键点有:

先切化弦，再通分；

利用辅助角公式化简；

同角互化.

16.某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离，现在人工湖岸边取

C、。两点，测得CD=40m,ZAD3=135°,ABDC=ZDCA=150,NACB=120°,则A、B两点的

【答案】4075

【解析】

【分析】，.ACD中根据角度关系易得">=8=40,再在△BCD中，由正弦定理得到8力，然后在

△A3。中，利用余弦定理求解.

【详解】在AC。中，因为NBDC=NOC4=15°,NAOB=135°,故NA£>C=150°,

ZC4D=15°,

所以NAC£>=NCW,则AD=CD=40.

在ABCD中，因为NBDC=15°,NBCD=135。,NCBD=30°,CD=40,

CDBD

所以由正弦定理

sin30°sin135°

得^喙联=4。技

在△A3。中，因为ZADB=ZADC-ZBDC=135°,AD=40,BD=4072,

所以由余弦定理得AB?=4^+助如一2A。.身)cos4408=4()2x5，

故AB=40石m.

故答案为：4075

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a,£都是锐角，si〃a=普，cos(a+A)=|.

(1)求cos2a和tan(2a+；)的值；

(2)求sin/?的值.

4

【答案】(1)~,1

⑵岖

50

【解析】

【分析】(1)由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解;

(2)根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解.

【小问1详解】

214

/.cos2a=1-2sin-a=l-2x—=—

105

3

sin2a=2sinacosa,

5

八sin2a3

/.tan2a=--------=—

cos2a4

­兀31

/、tan2a+tan——4-l

c兀)44r

tan2a+—=-----------------==7.

I4Ji_tan2a-tan—l——

44

【小问2详解】

Q。，尸都是锐角,

/.0<a4-y?<7t,

3

又cos(a+')=w,

/.sin(6z+/)=^l-cos2(a+尸)=

sin0=sin[(«+/?)-cr]=sin(«+6)cosa-cos(a+£)sina

43回3VlO

=—X-----------X------

510510

_9Vio

50

18.已知半圆圆心为O,直径A3=4，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点,

以。点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

又・・・OWf〈l,，当,=1时，y=B4P0有最小值为一,，

44

(1疔

此时点P的坐标为一~7^~T

I44J

19.在复平面内，。是原点，向量。4对应的复数Z[=加+(4—m21,(meR).

(1)若点A位于第四象限，求〃?的取值范围；

(2)若点A关于实轴的对称点为点B,求向量4B对应的复数；

(3)若Z2=2cose+(4+4sin6)i,且ZLZ2,求■的取值范围.

【答案】(1)m>2

(2)-2(4-〃，)i

⑶[-1,8]

【解析】

【分析】(1)根据复数对应点确定实部、虚部的符号，列不等式组求解;

(2)根据对称确定点B对应的复数，再由向量48对应复数即为两点对应复数之差得解;

(3)由复数相等列出方程组，消参数加可得X的表达式，利用正弦函数值域，配方求值域即可.

【小问1详解】

由题意4=m+(4—加2)i对应点A位于第四象限,

m>0

故«“2c，解得利>2，

4-W<0

即m的取值范围m>2.

小问2详解】

点A对应的复数为Z1=加+(4—加2],则关于实轴的对称点B对应的复数为z'=m-(4—加21,

则A8对应的复数为z'-Z]=m-(4-m12)i-[m+(4-w2)i]=-2(4-w2)i,

【小问3详解】

---Z|=Z2,

m=2cos。,1,

,,即2=4sin~9—4sin6=4(sin6——)~—1,

4"=4+4sin。2

1,

由一1Wsin。W1,可知丸=4(sinQ一一)2-le[-l,8],

2

故;I的取值范围为[-1,8].

20.在①tanA+tanB+G=GtanAtanB；®（4a2-cosC+b2=a2+c2；③

（。+。一，）（新。一$亩4+$皿3）=酒113这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：在「钻。中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且__________.

（1）求角C；

J3

（2）若ABC的内切圆半径〃=9，b=4,求ABC的外接圆半径R.

2

TT

【答案】（1）c=-

3

⑵速

6

【解析】

【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边

化角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解；

（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得a=1,c==，进而根据正弦定理求解即可.

22

【小问1详解】

选择①:由已知得tanA+tanB=6（tanAtan6-1）,

所以tanC=-tan（A+3）=-tanA+tan'=百,

1-tanAtanB

TT

在一ABC中，Ce（0,7i）,所以C=].

选择②：由题意（4/-2ab）cosC=a2-〃=2accosB,故（2"-》）cosC=ccos3,由正弦定理

（2sinA-sinB）cosC=sinCeosB,即2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin（3+C）,又

1jr

sin（5+C）=sin（兀一A）=sinA/0,故cosC=5，因为Ce（0,7i）,故C=,

选择③：由已知及正弦定理得（c+〃-b）（c-。+。）="，

2»221

所以储+从—/=QS,所以cosC=----—=—,

2ab2

71

因为0<C<7i,所以C=一.

3

【小问2详解】

由余弦定理得c°=+从—aZ?=16+/—4a,①

由等面积公式得！(。+人+。)，=!。瓜缶。.

22

Hn1,人、61〃6

即—(a+b+c)x——=—x4tzx——.

2222

整理得"=4+c,②

7

57cn277G

联立①②，解得。=W，c=：,由正弦定理2R=/；，即R=-^=—=一1

22sinec732A/3O

2x——

\\

21已知向量。=,b2cosx+g,1,记函数/(x)=a-b.

3JJ

(1)将/(x)化为丁=水皿(8+0)+川4＞0,@〉0,附＜5)形式，并求最小正周期T；

/、7T7C

(2)求函数/(%)在区间一F'E上的值域;

(3)将函数/(X)图象向右平移N个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的。(0＜。＜1)倍

得至|Jy=g(x)的图象，若y=g(x)在区间［—1,1］上至少有100个最大值，求。的取值范围.

【答案】(1)/(x)=2sinl2x+yj；7t

(2)[-73,2]

【解析】

【分析】(1)利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解;

7T

(2)根据自变量的范围求出2x+§的范围，利用正弦函数求解:

(3)根据三角函数图象变换求出g(x),利用三角函数的性质可得.

【小问1详解】

/(x)=ab=2sinx-2cosx+—=2sin^cosx-25/3sin2x+73

=sin2x+Gcos2x=2sin(2元+攵，

T=—=n

2

【小问2详解】

c兀兀4兀

当XE2x+—G—,——

363

~~~-sin(2x+y)<1，

:<2sin(2x+—)<2,

3

即函数/(力在区间-专弓上的值域为[-6,2].

【小问3详解】

将函数/(X)图象向右平移-个单位，得至Uy=2sin[2(%--)+-]=2sin2x,

663

2

再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的a(()<a<1)倍得到g(x)=2sin的图象,

.27i__cm.._

令一x=—+2KJI=>x=bakii,A:GZ,

a24

要使y=g(x)在区间[t[]上至少有io。个最大值,

—14空一50m.

44

由正弦函数的性质可得〈=>4Z<----

a兀“c199兀

—+49即<1

[4

4

:.0<a<---.

199兀

22.对于函数〃x)(x€/),若存在非零常数M,使得对任意的xe/,都有/(x+/)<〃