2023-2024学年北京和平街一中高一数学上学期期中调研卷附答案解析

2023-2024学年北京和平街一中高一数学上学期期中调研卷

2023.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.已知集合4={一101},8={xeN|x<3},那么集合—8等于（）

A[-1,3）R{0,1,2}p{-1,0,1,2}n{-1,0,1,2,3}

2.设命题PHxeR,x+lN°,则[P为（）

AVxeR,x+1>0BHxeR,x+1<0QVXGR,x+1<0p3xgR,x+lN0

3.设集合A={X|-1MX<2},B={X[X<0,若ACBHO,则a的取值范围是（）

A.-l<a<2B."2c.。之一1D.。>一1

4.已知y=〃x）是定义在R上的偶函数，当xwo时，y=〃x）图象如图所示，则下列关系正确的是（）

A./（1）>/（-2）>/（3）B/（3）>/（1）>/（-2）

C,〃1）>〃3）"（_2）D〃-2）>〃1）>〃3）

5.下列函数中，是奇函数且在区间（°，一）上单调递减的是（）

£

A.y=r2B.y="c.y=x-'D.

6.已知“，仇cwR,且a>3则下列不等式一定成立的是（）

1<1

A.cr>b2B.abc.。1。1>匕1。1D.c—a<c—b

7.设xeR,则“l<x<2，，是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总

值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x,那么x满足的方程是（）

S

A.5x=0.2B,5（1-x）=0.8X_Q2p（l-x）5=0.8

9.函数f（x）=ax2+（a-3）x+l在区间卜1,+8）上是递减的,则实数a的取值范围是（）

A.[-3,0）B.（-oo,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]

10.设/（X）为定义在R上的函数，函数,（X+1）是奇函数.对于下列四个结论：

①”1）=。；

②〃1）=一/（1+力；

③函数/（x）的图象关于原点对称；

④函数“X）的图象关于点（L°）对称；

其中，正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.

Jx+1

y—

11.函数.X-1的定义域是

12.已知函数“X）是定义在R上的奇函数，且当%>。时，/（x）=Ml+x）,则〃T）=

尸

13.函数f（x）=|-/+2,x<l的最大值为

14.函数"X）的定义域为D,给出下列两个条件：

①对于任意*应亡。，当x尸々时，总有"为）//（々）；

②AM在定义域内不是单调函数.

请写出一个同时满足条件①②的函数/（X）,则〃x）=

、\x2-2x,x>a,

/r（/x）=,,

15.已知函数Lx给出下列四个结论：

①存在实数”，使函数f（x）为奇函数；

②对任意实数〃，函数既无最大值也无最小值；

③对任意实数”和我,函数）'=/0）+&总存在零点；

④对于任意给定的正实数机，总存在实数。，使函数/*）在区间（一1，〃?）上单调递减.其中所有正确结论的序

号是

2

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.设集合A={RaT<x<2a+3},不等式Y—2x-8<0的解集为B.

(1)当"=]时，求AcB,ADB,\A；

(2)当A=8时，求实数a的取值范围.

4

f(x)=x+—+3

17.设函数工

(1)求函数“X)的图像与直线y=2x交点的坐标：

(2)当xe(0,+8)时，求函数,(X)的最小值

(3)用单调性定义证明：函数/(X)在(2+8)上单调递增.

18.已知函数/(“)=皿2一加A3.

⑴若。=1,求不等式°的解集；

⑵己知且〃力2°在区内)上恒成立，求a的取值范围；

(3)若关于x的方程〃x)=°有两个不相等的正实数根4，々，求的取值范围.

19.已知函数“>公+侬―2m+l(〃zeR)

⑴若m=2,求函数“X)在区间上的最大和最小值；

⑵解不等式〃x)<2x+l

20.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本C(单位：万元)与生产量x(单位：千件)

c18…=

3xH-----F5,0<x<6

5=<x-8

间的函数关系是C=3+x；销售收入S(单位：万元)与生产量x间的函数关系是[14x26.

(I)把商品的利润表示为生产量x的函数；

(II)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？

21.设函数其中p,M是非空数集.记f(P)={y|y=f(x),x^P},f(M)={y|y=f(x),xGM}.

(I)若P=[0,3],M=(-oo,-1),求f(P)Uf(M)；

(II)若PCM=0,且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P,M；

(III)判断命题“若PUM尔，则f(P)Uf(M)#R”的真假，并加以证明.

3

1.c

【分析】先求出B集合，再根据并集合的运算求出两个集合的并集.

【详解】5={XWN|X<3}={0,1,2},所以A.B{-1,0,1,2},

故选：C

2.C

【解析】特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论.

【详解】命题P：土6R,X+I4°,则rP为：VxeR，X+l<°

故选：C

3.D

【分析】根据ACBN0,由集合A,B有公共元素求解.

【详解】集合A={x|TVx<2},8={x|x<a},

因为AC8H0,

所以集合A,B有公共元素，

所以。>一1.

故选：D

4.A

【分析】根据函数的奇偶性得到八―2)=/⑵，再结合当了2°时，函数为单调递减函数，即可求解.

【详解】由题意，函数>=/(")是定义在R上的偶函数，可得八一2)=〃2),

又由当了上。时，函数为单调递减函数，所以〃⑵>〃3),

所以〃1)>〃一2)>〃3)

故选：A.

5.C

【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.

2

【详解】对A,函数)的图象关于y轴对称，

故y=-v是偶函数，故A错误；

对B,函数丫=炉的定义域为［0,+8)不关于原点对称，

故丫=产是非奇非偶函数，故B错误；

对C,函数)'=厂’的图象关于原点对称，

4

故丁=/是奇函数，且在（0,+8）上单调递减，故c正确;

对D,函数的图象关于原点对称，

故丫=『是奇函数，但在（°，+8）上单调递增，故D错误.

故选：C.

6.D

【解析】对A,B,C,利用特殊值即可判断，对D,利用不等式的性质即可判断.

【详解】解：对A,令。=1,b=-2,此时满足但"<心故A错；

11

——>一

对B,令〃=1,b=2此时满足a”,但ab,故B错；

对C,若c=0,a>b,则a\c\=b\c\t故c错；

对D,a>h

-a<-b,

则c_a,故D正确.

故选：D.

7.A

【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.

【详解】|x_2|<l.・._l<x_2<l,l<x<3,又（1,2）.。，3）,所以“l<x<2，，是小-2|<1,,的充分不必要条件,

选A.

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法.

i.定义法：直接判断“若p则夕”、"若q则。”的真假.并注意和图示相结合，例如“夕=9”为真，则〃是夕的

充分条件.

2.等价法：利用与非“=非乙与非非4，与非夕的等价关系，对于条件或结

论是否定式的命题，一般运用等价法.

3.集合法：若AUB,则A是B的充分条件或8是A的必要条件；若A=8,则A是B的充要条件.

8.D

【解析】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.

【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为〃，则2016年该企业单位生产总值能耗"（J"）,

2017年该企业单位生产总值能耗"Of）,2018年该企业单位生产总值能耗“（1-x）,

2019年该企业单位生产总值能耗“（1-x）,2020年该企业单位生产总值能耗"0一可，

由题设可得°'。即（I?=0.8,

故选：D.

9.D

5

【详解】当a=0时,f(x)=・3x+l显然成立，

&<0,

当a和时，需1一二7三解得-3$a<0,

综上可得・3SaW0.

【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.

10.C

【解析】令g(x)=〃x+l),①：根据g(°)=°求解出/⑴的值并判断；②：根据g(x)为奇函数可知

g(r)=-g(x),化简此式并进行判断；根据y=1)与y=〃x)的图象关系确定出关于点对称的

情况，由此判断出③④是否正确.

【详解】令g(x)"(x+l),

①因为g(x)为R上的奇函数，所以g(O)=/(O+l)=O,所以“1)二°,故正确；

②因为g(x)为R上的奇函数，所以g(r)=-g(x),所以/(-X+1)=-/(X+1),即〃1一力=一/(1+司，故

正确；

因为y=/(x+D的图象由y=/(x)的图象向左平移一个单位得到的，

又y=/(x+i)的图象关于原点对称，所以y=〃x)的图象关于点(1，°)对称，故③错误④正确，

所以正确的有：①②④，

故选：C.

【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：

(1)若为偶函数，则函数y=/(x)的图象关于直线尤="对称；

(2)若“X+G为奇函数，则函数y=/a)的图象关于点(“'°)成中心对称.

11{xlxN-1且xwi}

【分析】求使函数有意义的X的范围即为定义域，逐项求解即可.

p+l>0

【详解】解：由题意得解得xNT且X",

故函数的定义域为{乂xNT且xxl).

故答案为：{幻且XH1}

12.-2

【分析】根据题意，结合/(-1)二一/(1),代入即可求解.

6

【详解】由函数/（X）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，/（x）=x（l+x）,

则八—1）=一/⑴=Tx（l+l）=-2

故答案为：-2.

13.2

【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案；

,/«=-

【详解】当x＞l时，函数x为减函数，

所以/（X）在x=l处取得最大值为了⑴T；

当“＜1时，易知函数〃*）=一炉+2在x=0处取得最大值为/（0）=2

故函数f（x）的最大值为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查分段函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题.

14.%

【解析】根据题意写出一个同时满足①②的函数f（x）即可.

【详解】解：易知：”"一最，在（一8，0）上单调递减，（°，+©）上单调递减，

故对于任意为“We。，当占.超时，总有/&）关了仁）：

且‘°）一捻在其定义域（9⑼口包刊0）上不单调

故答案为：''X.

15.①②④

【解析】分别作出。=°,。＞°和。＜°的函数"X）的图象，由图象即可判断①②③④的正确性，即可得正

确答案.

如上图分别为。=0,。＞0和。＜0时函数f（x）的图象,

7

〃、fx2-2x,x>0

f(x)=j,

对于①：当。=0时，L-2x,x<0,

f(x)图象如图1关于原点对称，所以存在〃=0使得函数”X)为奇函数，故①正确；

对于②：由三个图知当X--8时，yf-oo,当xf”时，yi",所以函数〃x)既无最大值也无最小

值；故②正确；

对于③：如图2和图3中存在实数k使得函数y=/(x)图象与)'=一”没有交点，此时函数y=f(x)+《没有

零点，所以对任意实数。和女，函数y=/a)+及总存在零点不成立；故③不正确

对于④：如图2,对于任意给定的正实数机，取“="+1即可使函数f(x)在区间(-LM上单调递减，故④

正确；

故答案为：①②④

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论。=0,。>°和。<0

即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.

“}AB=(x|0<x<4}AuB={x|-2<x<5}A={x|x<0x>5)

【分析】(1)根据条件，先求出集合A，8,再借助数轴即可求出结果；

(2)根据A=分A=0和AX0两种情况讨论，即可得出结果.

【详解】(1)由炉-2万-8<0,得到—2<x<4,即8={川—2<x<4},

当a=l时，A=M0<X<5},

14—"I

•2045

由图知A3={X|0<XV4}A^JB={X\-2<X<5}々A={X|XWO或XN5}

(2)因为A=8,当A=0,即〃-122。+3,得至ijaW-4,满足题意，

[a-l>-2i

y—1<^/<—

AW0,即。>-4,由得到[2々+3<4,得到--2,

—1<^<—

综上，实数a的取值范围为或2.

8

17.(1)(4,8)或(一1，一2)⑵7⑶证明见解析.

x+—4+3c=2Cx

【解析】(1)由X解出方程可得答案.

4I~4

X4--F32.IXF3

(2)利用均值不等式x、％可得答案.

(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.

4

x+—+3=2%

［详解］(1)由X,即x9_3x-4=0,解得X=4或x=_］

所以函数的图像与直线'=2工交点的坐标为(48)或

44

/(x)=x+-+3>2Jx«-+3=7

(2)当工>。时，％,%

4

x=­

当且仅当X,即X=2时，取得等号.

所以当xe(°，+8)时，函数“X)的最小值为7.

⑶任取斗”2>2,且

44

/(x2)-/(x,)=X2+—+3-X]4-----F3

则\X2Jkx2>

44、/+依&)=(&TJ

=(X2-Xj)+=(­

中2

由且耳<工2,则为七>4,工2一工1>°

所以中2-4>0,则""

为々所以/(电)一/(内)>°,即/(%)>/&)

所以函数AM在⑵+09)上单调递增

【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函

数的单调性的基本步骤为：

(1)在给定的区间内任取变量小与，且设片<%.

(2)作差/(为)一/(々)变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.

(3)判断符号，得出〃演)’/(电)的大小.

(4)得出结论.

9

18.（1）｛乂，"7或XN3｝（2）[L+00）（3）（2,4）

【分析】（1）由题意得丁一法-320,求解即可得出答案；

（2）函数f（x）="2_2or-3=a（x-l）2_a_3（a>0）,可得二次函数/（*）图象的开口向上，且对称轴为X=1,题

意转化为“外而“'°,利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；

（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案.

【详解】（1）当。=1时，

FOO,[jpx2-2x-3>0,解得-1或芳23,

...不等式的解集为或xN3｝；

（2）fW=^2-2ax-3=a（x-l）2-a-3（a>0）xe[3,4-oo）

则二次函数/*）图象的开口向上，且对称轴为X=l,

/⑶在[3,+8）上单调递增，二/（X）min=八3）=3a-3,

/（X）>°在[3,+oo）上恒成立，转化为fMmi„,

r.3a-3N0,解得aNl,故实数。的取值范围为"长0）；

（3）关于x的方程/（x）=°有两个不相等的正实数根小毛,

..f（x）=ax2-2ax-3~+羽>0>0

•，，，

△=4/+12。>0

<Xj+x2=2>0

3八

%1•=—>0

.•.aw。且I&,解得"-3,

/.“；+x；=（玉+/J-2X]X2=4+一

a,

g（a）=4+-

令a（a<-3）,

■以幻在（-8，-3）上单调递减，

一£（—2.0）/、/c八

a,.,•^（a）e（2,4）；

故木+考的取值范围为（2,4）.

10

19.(1)最大值为0,最小值为T(2)答案见解析

【分析】(1)当由=2时，可得/(X)='+2X-3,结合二次函数的图象与性质，即可求解;

(2)把不等式转化为“2+(机-2口-2根<0,结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】(1)解：当机=2时，可得〃》)=父+2*-3,

则函数y二7(X)表示开口向上的抛物线，且对称轴为户-1,

所以函数在[-2，叫上单调递减，在「1，”上单调递增，

所以，当aT时，函数”X)取得最小值，最小值为“―b"4,

又因为“-2)=-3,〃1)=0,所以函数的最大值为0,

综上可得，函数y=f(x)的最大值为0,最小值为T.

(2)解：由不等式'(")<2x+l,g[Jx2+»ir-2/n+l<2x+l,

即不等式、+(加-2)x-=(x+m)(x-2)<0,

当机=-2时，不等式即为(x-2f<0,此时不等式的解集为空集；

当一加<2时，即，">-2时，不等式的解集为一加<x<2；

当一加>2时，即，"<-2时，不等式的解集为2<x<-〃z,

综上可得：当〃?=-2时:不等式的解集为空集；

当”>-2时，不等式的解集为(一机2)；当机<_2时，不等式的解集为(2,一机).

汽18i右

2xH-----+2,0<x<6

x-8

1l-x,x>6

20.(I)(ID确定为5千件时，利润最大.

【解析】⑴用销售收入减去生产成本即得利润;

(II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量.

1O

3xH-----F5—(3+x),0<x<6

y=S-C=九一8

【详解】⑴设利润是〉(万元)，则14-(3+x),x>6

2xH-----F2,0<x<6

y=yx-8

11-x,x>6

11

189

八,y=2x+—^-+2=-2[(8-x)+^-]+18

(II)°<x<6时，x-88-x