辽宁省朝阳市2023-2024学年高三年级上册9月联考数学试题

2023〜2024学年上学期高三年级9月联考卷

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写

的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.集合A={Rx(x-l)(x-2)=0},若BgA,则满足条件的集合3的个数为()

A.4B.5C.7D.8

3

2.复数的共轨复数是()

(2-i)i

63.63.「36.36.

A.-+—iB.---------1C.—iD.---------1

55555555

N1卜是“cosa>0”的(

3.“a||)

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设/(x)为R上的奇函数，且当x<0时，/(x)=3x-l,则/(0)+/(4)=()

A.12B.-12C.13D.-13

5.(1-T)(x—y)6的展开式中公>2的系数为()

A.55B.60C.65D.70

6.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目

标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单

-09+fcr

位：万元)的Logistic模型：P(x)=」.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%,

1+e

2

若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为(参考数据：e^4»-)()

3

A.30%B.40%C.60%D.70%

若函数/（幻=%-（5抽21+。豆11X在（-8,+8）上单调递增，则实数。的取值范围是（）

7.

一《1丄1

A.[-1,1]B.C.

393

8.已知抛物线G：y2=8x,圆G：（x—2）2+y2=],若点p,。分别在G、G上运动，且设点例（4,0）,

\PM\

则力的最小值为（)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（JTJT|

9.函数/（x）=2sin（Gx+。“啰＞0,一万的部分图象如图所示，则（）

B./(x)=2sin[s+g

D./(x)=2cos[s+7丿

10.已知实数。，b,c,其中q>人>1,c>0,则下列关系中一定成立的是)

A.a1-hob1-acB.a3>h2

171

C.|6r-c|>|/?-c|D.ClH—>bT—

ab

11.已知函数/（x）=d-2x—2,则（）

A.八为有三个零点B.7（x）有两个极值点

C.点（0,-2）是曲线）=/（外的对称中心D.曲线）=/伏）有两条过点（一1,0）的切线

—1,x<0,

12.设符号函数sgn(x)=«0,x=0,已知函数/(x)=［sgn(x+7)］sinx+cos(x+7r),则()

l,x>0,

A.兀0的最小正周期为2乃

B.危)在-2植上的值域为［一0,、历］

71

c.yw在一肛-丁上单调递减

D.函数g(x)=2〃x)—1在［-3肛2對上有5个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量”，〃的夹角为不，1。1=2，b丄(b-2a),则|〃|=

一a2-cosa

14.已知tan—=2,则------=.

2sine

八24

15.已知x>y>0,则厂+7----；的最小值为.

r2V21

16.如图，已知椭圆。：F+会=l(a>Z?>0)的离心率为5,左顶点是A,左、右焦点分别是耳，F2,M

是。在第一象限内的一点，直线加耳与C的另一个交点为N.若〃K〃4V,且鸟的周长为一。，则

6

直线MN的斜率为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

己知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,/—3q=18,S4=S5.

(1)求｛可｝的通项公式;

(2)求使丄<1成立的〃的取值集合.

18.（本小题满分12分）

某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾

客的100辆车进行调查，将数据分成6组:（0,100],（100,200],（200,300],（300,400],（400,500],（500,

600],并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；

（1）求a；

（2）若某天该商场到访顾客的车辆数为500,根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（300,500]内的

车辆数；

（3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你

根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.

19.（本小题满分12分）

在△48C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a（sinA-J^sin8）=csinC-8sin3.

（1）求C的大小；

（2）若D为AB边上一点,且AO=CD=2BD,求tanB的值.

20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—A3CD中，底面ABCO为正方形，侧面以。是正三角形，侧面

Q4D丄底面ABC。，M是PZ）的中点.

（2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（幻=吗』，其中meR.

x+1

（1）求函数/（X）的单调区间;

（2）若存在xe（l,+a））,使得不等式/（x）>lnx成立，求〃?的取值范围.

22.（本小题满分12分）

22

设双曲线C:5—与=1（4>0,。>0）的右焦点为凡a2+3*b2=1.。为坐标原点，过户的直线/与。的右支

ab

相交于A,B两点.

（1）若b〈2,求C的离心率e的取值范围；

2

（2）若NA03恒为锐角，求。的实轴长的取值范围.

2023〜2024学年上学期高三年级9月联考卷-数学

参考答案、提示及评分细则

1.DA={x\x（x-l）（x-2）=0}={0,1,2},因为5=4,所以满足条件的集合3的个数为2?=8.故选

D.

2C因为亠=丄=3（・2i）=酒=3上其共匏复数是1+4i.故选C.

囚力（2—i）il+2i（l+2i）（l-2i）555

3.A若a则cosa>0成立，故充分性成立；若cose>0,则2攵乃一］<2v2匕T+cZ）,

（n7117T乃、

不一定为ae-万,万，故必要性不成立.所以“aw"是“cosa〉0”的充分不必要条件•故

乙乙,

选A.

4.C因为“X）为R上的奇函数，所以/（0）=0,”4）=—/（y）=13,所以/（0）+/（4）=13.故选C.

5.A因为（X—y）6的展开式的通项为乙|=C"6-r（一y）r=C［（—所以

（2x\厶2x

1——（x-y）6=（x-y）6一一（x-y）6,展开式中尤4y2的系数为c：（一庁一2C：（-厅=55.故选A.

Iy）y

-0.9+9&

6.B由题意得当x=9时，P=50%,则5=50%,得e«9+“=i，所以9攵-0.9=0,得攵=0.1,

1+"9+1”1tH

2

-0.9+0.lx-0.9+0.1x5-0.4-

所以P（x）\+e即「当、=5时，P（x）=i+e《=m=7^。方=40%.故选B，

14—

3

17

7.C函数/（九）=彳一§5m2工+411¥的导数为/'（司=1一个0$21+衣05］，由题意可得恒成立,

设7=8汉一1金41）,即有5-4/+3320,所以5-4+3。20,且5-4—3。》0,解得。的取值范围是

一,故选C・

8.B如图，设圆心为尸，则尸为抛物线丁=8x的焦点，该抛物线的准线方程为％=—2,设P（x,y）,由抛

।।1尸加1,,

物线的定义得|PE|=x+2,要使曾最小，贝需最大，如图,|PQ|最大时，经过圆心尸，且圆口的

I

半径为1,|PQl1ax=|PF|+l=x+3,且=J(X-4)2+/=J(x-43+8x=&+16,所以

\PM\ylx2+l6

.令x+3=(r23),则x=，-3,所以

国—x+3

1325\PM\

際〒=戸当7=不’即时冒取得最小值

T1\TT57rTC57r57rTT

9.AC由图象可知，一=-----r=7T,所以。=2,当x=L时，一+e=—+2%不，keZ,

2121221262

S(p<g解得9=_(，所以/(x)=2sin12x_0J,又

K一2x)=2cos12x-5万

/(x)=2sin2^--yj=2cos2cos.故选AC.

23~6

10.ABD对于A,(«2-bc^-ib1一公)=(/-b2^+(ac-bc)={a-b)(a+b+c)>0,故A正确；对于B,

因为标>巒，”2>/，所以/>〃，故B正确；对于c,当a=3,h=2,c=5时，|a-d<M-c|,故

C错误；对于D,因为a+丄一仿+，］=（a-力）・色二>0,故D正确.故选ABD.

a\b）ab

11.BCD对于B"'(x)=3x2—2,令f'(x)>0,得x>乎或x<-乎；令y'(x)<0,得一手<x<手,

在(一£，¥]上单调递减，所以土逅是极值点，故B

所以/(X)在上单调递增,

I33丿3

正确；对于A,由/(x)的单调性，知极大值/-2<0,又/(2)=2>0,所以函数/(“在

定义域上有且仅有一个零点，故A错误；对于C,令〃(x)=/-2x,该函数的定义域为R,

/z(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-h(x),则/z(x)是奇函数，(0,0)是/z(x)的对称中心，将〃(x)的图

象向下平移2个单位得到/(x)的图象，所以点(0,—2)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；对于D,设

切点为(毛,%),尸(6=3/-2,则切线的斜率为3君-2,切线的方程为

y—x；+2/+2=(3片—2)(x—X。)，代入(―1,0),可得—xj+2xo+2=(3x：—2)(—1—/)，整理并解得

3

%=0或%=-5,则过点(一1,0)的切线有两条，故D正确.故选BCD.

12.CD当x<一7时，x+万<0,sgn(x+万)=-1,/(x)=-sinx-cosx=-V2sinx+—,当x=一万

时，尤+万=0,sgn(x+〃)=0,/(x)=cos0=l,当x>一万时，x+〃>0,sgn(x+%)=l,

—V2sin(x+1),x<~K,

1,X=一心作出/(x)的部分图象，如图所

V2sin(%-—

由图可知，/(x)不是周期函数，故A错误；由图可知，〃x)在-2肛:上的值域为卜也,1],故B错误;

jr1

由图可知，“X)在一肛一^上单调递减，故C正确；令g(x)=2/(x)-l=o,得〃x)=2,由图可知,

在［—3万,2可上，/(x)的图象与直线尸;只有5个交点，所以g(x)=2/(x)—1在［―3肛2句上有5个零

点，故D正确.故选CD.

13.2因为。丄仅—2a),所以〃.R—2a)"—2a/=(),a-b=^=^b^=2,所以

a-b2小

----------=-r=2

|,|71八1•

/?cos—2x

II32

2sin2+2cos2--Icos2--sin2a

13

14.因为tan4=2,贝IJCOSQHO,则生竺4=-------Z-----------------------Z---------1

T22sinaaa

2sin—cos—

22

22a与7a.

3sina+cos2^3tan2+1_3X22+1

213

.aaraT

2sin—cos—2tan2x2

222

X-*7-------72X+---------------ZT=厂+~5■

is.8y(x-y)y+(x-y)厂当且仅当丁二%一丁，即x=2y时，等号成立，又

x2+4^2j7x4=8,当且仅当》2=华，即x=2时，等号成立.综上所述，当x=2y=2时,

94

X+一7------；取得最小值8.

y[x-y）

16.叵因为椭圆C:[+[=1（〃＞万＞0）的离心率为e=£=丄，则。=丄。，又因为AN//MF,,即

7ab~a22

_1

,则=|N用==如一。="一］"=1,可得|AN|=丄|加用，加用=丄財用，

-22

\MF2\~\MFt\~\F,F2\~2ca~2

所以|AN|+|NK|=g(財用+財司)=&①,又因为|AN|+|N周+a+c=£a,可得|4V|+|N6|=ga②,

又因为|M；|+|NE|=2a③，由①②③知|47|=三，|N£|=等.在△A[N中，由余弦定理可得

124212

—QHQ”CL7r-T

COSNA耳N=4------_U_=>0,可得乙4耳N为锐角，则sinZAF,N=Ql-cos?NAFN=^―

2x—ax—a8

23

所以tan厶F、N=厶耳小=叵,即直线MN的斜率为巫.

1cosZA［N77

17.解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d.

因为$4=55，所以为=0，则q=-4d.①

又因为%-3a3=18,所以4+74—3(4+24)=18,得一2弓+4=18,②

联立①②，解得q=-8,d=2,

即数列｛4｝的通项公式为4=—8+(〃—l)x2=2"—10.

(2)由(1)知s“=—8〃+&』x2="2—9〃，所以之<1,即为£一名<1,

"242n-10

当〃<5时，—9〃>2〃-10，解得〃>10(舍)或"<1(舍)；

当〃>5时，〃2一9〃〈2〃一10,解得所以5<〃vl0,

所以满足条件的〃的取值集合为｛6,7,8,9｝.

18.解：(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,

可列等式为(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034+a)xl00=l,所以a=0.0003.

(2)样本中停车时长在区间(300,500］内的频率为(0.0016+0.0003)x100=0.19,

所以估计该天停车时长在区间(300,500］内的车辆数是500x0.19=95.

(3)设免费停车时间长不超过y分钟，又因为(0,100］的频率为0.13<30%,并且(0,200］的频率为

0.45>30%,所以y位于(100,200］之间,

则0.13+(^—100)x0.0032=0.3,所以y153,

所以确定免费停车时长为153分钟.

19.解：(1)因为夜sinB)=csinC-OsinB,

所以由正弦定理得/一cP+b2=y/2ab，

所以由余弦定理得cosC==1的=也，

2ab2ab2

又因为Ce(O,»),所以C=£.

jr37r

(2)因为AD=C£>,所以NAC0=A，NBCD=一一A,B=——A.

2BD

BDCD

在△38中，由正弦定理得

sin/BCDsinB

化简得cosA=丄2sinA，即tanA=2.

223

/\tan_tanA_1—

所以tanfi=tan—-4]=-------------------=-----=-2.

14丿，3万“，1

、J1+tan——tanA1——

43

20.(1)证明：在正方形ABCD中，CD1AD,

又侧面PAD丄底面ABCD,侧面PAD1底面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

所以8丄平面B4O，

又AMu平面PA£＞，所以CD丄AM,

因为△%£＞是正三角形，M是PO的中点，所以A"丄/Y),

又CD。PD=DCD,PDu平面PCD，所以A"丄平面PCD.

(2)解：取AO中点为O,8C中点为N,连接OP,QN,建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AJD=2,

则A((),—1,0),0(0,1,0),产倒,0,⑹，5(2,-1,0),專

【22

所以PO=(0,1,-6),30=(—2,2,0).

设平面的法向量为加=(x,y,z),则

PDm=y->/3z=0,[y=Gz,

由<得<

BD-m=-2x+2y=0,[y=x,

取z=l，则/"=,

由(1)知平面PCO的一个法向量为AM=fo,±与

I22

设平面BPD与平面PCO的夹角为e,

•(AA/3,1)

则/,AM-m吟貝2月277.

cosg=COS(

Gxg73x77~^T

所以平面BPD与平面PC。夹角的余弦值为厶夕.

7

21.解：(1)/(x)的定义域为(―8,—1)(―1,+8),=»

(X'1丿

当加=0时，/(x)=o无单调性；

当机>0时，/'(》)>0对任意无©(—0,—1)(-1,+00)恒成立，

所以函数/(X)的单调递增区间为(—8,—1),(―1,+8)，无单调递减区间;

当机<0时，/'(x)<()对任意X€(F,-1)[(—1,+00)恒成立，

所以函数/(X)的单调递减区间为(一8,—1),(一1,+8)无单调递增区间.

(2)不等式/(x)>lnx,即〉山,则lnx/(\l)<0.

设/i(x)=Inx--------”,xe(l,+oo)依题意，存在/z(x)<0

2mx2+2(l-m)x+l

而〃(x)=丄一,/z⑴=0

(川)2X(X4-1)2

当初40时，/2(x)>0在(1,+8)上恒成立，不满足题意;

当0<加42时，方程/+2(1-〃?)x+l=0的判别式A=4(l-团)2-4=4m(加一2)40,

即用'(力>0在(l,+oo)上恒成立，则/z(x)在(1,+oo)上单调递增,

A(x)>A(l)=0,〃(x)>0在(l,+oo)上恒成立，不满足题意;

*2

当/〃>2时，令/z'（x）=O，得%]=m-1一，x2=m-\+