专题02 直线与圆的综合应用问题（九大考点）（原卷版）

专题02直线与圆的综合应用问题思维导图核心考点聚焦考点一：直线与圆的位置关系的判断考点二：弦长与面积问题考点三：切线问题、切线长问题考点四：切点弦问题考点五：圆上的点到直线距离个数问题考点六：圆中的最值（范围）问题考点七：圆与圆的位置关系考点八：两圆的公共弦问题考点九：两圆的公切线问题一．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二．直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．三．两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．考点剖析考点一：直线与圆的位置关系的判断例1．（2023·天津滨海新·高二天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定例2．（2023·重庆·高二统考期末）直线l：与圆C：的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能例3．（2023·江苏常州·高二校联考期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定例4．（2023·高二课时练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．考点二：弦长与面积问题例5．（2023·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）直线被圆截得的弦长为.例6．（2023·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校联考期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数．例7．（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是．例8．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为．例9．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则；．例10．（2023·天津武清·高二统考期中）已知直线与交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值.例11．（2023·北京昌平·高二统考期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为．考点三：切线问题、切线长问题例12．（2023·贵州·高二统考阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则.例13．（2023·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期中）写出过点且与圆相切的直线方程.例14．（2023·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程．例15．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．考点四：切点弦问题例16．（2023·河北·高二校联考期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为．例17．（2023·全国·高三专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为．例18．（2023·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为.例19．（2023·福建宁德·高二统考期中）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．考点五：圆上的点到直线距离个数问题例20．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．例21．（2023·四川·高二校联考期末）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例22．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（

）A． B．C． D．例23．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知圆：（），直线：．若对任意实数，圆上到直线的距离为1的点有4个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点六：圆中的最值（范围）问题例24．（多选题）（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是例25．（多选题）（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知，圆，为圆上动点，下列正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．最大时，例26．（多选题）（2023·山东泰安·统考三模）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为例27．（多选题）（2023·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）若动点在方程所表示的曲线上，则下列结论正确的是（

）A．曲线关于原点成中心对称图形 B．曲线与两坐标轴围成的面积为C．的范围为 D．动点与点连线斜率的范围是例28．（多选题）（2023·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是考点七：圆与圆的位置关系例29．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．外离 D．相交例30．（2023·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，则两圆的位置关系为（

）A．相切 B．外离 C．内含 D．相交例31．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例32．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知圆：与圆：外切，则的值为（

）A．1 B．5 C．9 D．21考点八：两圆的公共弦问题例33．（2023·广东佛山·高二统考期中）已知圆与圆相交于两点．则．例34．（2023·山东淄博·高二校考期中）圆与圆的公共弦长为例35．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为，弦长为．例36．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为.考点九：两圆的公切线问题例37．（2023·安徽·高二校联考期中）已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是（给出满足条件的一个值即可）．例38．（2023·福建泉州·高二统考期中）圆：与圆：的公切线条数为.例39．（2023·河北·高二校联考期中）圆与圆有条公切线，则实数的取值范围为.例40．（2023·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为.过关检测一、单选题1．（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（

）A．或 B．1或C．或3 D．或2．（2023·吉林·高二校联考阶段练习）已知直线与圆：交于，两点，则（

）A．2 B． C． D．43．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（

）A． B． C． D．14．（2023·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．5．（2023·广东深圳·高二校考期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．6．（2023·湖南邵阳·高二校考阶段练习）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法不正确的是（

）A．点到直线的最大距离为 B．若直线被圆所截得的弦长最大，则C．若直线为圆的切线，则的取值范围为 D．若点也在圆上，则到直线的距离的最大值为7．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（

）A．10 B．14 C．18 D．20二、多选题9．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内B．圆上的点到直线的最小距离为1C．圆和圆的公切线长为2D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为10．（2023·广东广州·高二校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．直线l必过点B．直线l与圆E必相交C．圆与圆E有3条公切线D．当时，直线l被圆E截得的弦长为11．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知直线与圆相交于不同的两点为坐标原点，则（

）A．直线过定点B．C．当时，D．当时，最小值为12．（2023·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）设圆，直线，则下列结论正确的为（

）A．的半径为2 B．可能与相切C．恒过定点 D．当时，被截得的弦长为2三、填空题13．（2023·天津·高二天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）已知直线被圆截得的弦长为，则．14．（2023·江苏苏州·高二张家港市暨阳高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为.15．（2023·四川·高二校考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为.16．（2023·山东德州·高二统考期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为；的最小值为．四、解答题17．（2023·江苏泰州·高二校联考期中）已知两直线，(1)求直线和的交点的坐标；(2)若过点作圆的切线有两条，求的取值范围；(3)若直线与，不能构成三角形，求实数的值.18．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知圆方程为，直线方程为，则(1)求圆圆心坐标及半径；(2)判断直线与圆位置