专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（教师解析版）

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型2线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型3点面距离（体积求算）问题】【题型4线面夹角问题（两大法）】【题型5面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，．③根据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型如图=1\*GB2⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：：构造平行四边形如图=2\*GB2⑵,平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.分析：过点作//交于，就是平面与平面的交线，那么只要证明//即可。：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，证明：直线分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．如图=5\*GB2⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图=6\*GB2⑹，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面；分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系．设，则，．因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）则：=0因此，所以平面．如图，三棱柱中，为底面的重心，．(1)求证：∥平面；(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值．破解：（1）连接交于点，连接．因为为底面的重心，则，又因为，则，可知∥，因为平面平面，所以∥平面．（2）取的中点，连接．因为底面，且三棱柱的各棱长均为6，可知射线两两垂直，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，可得，所以．如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.破解：（1）证明：如图，设的中点为，连接.

∵为的中点，∴且.又为的中点，且四边形是平行四边形，∴且∴四边形为平行四边形.∴.又∵平面平面，∴平面.（2）解：在平面中，作交于.∵平面，平面，平面，∴.∴两两互相垂直.分别以射线为轴､轴､轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，

在平行六面体中，由平面得平行四边形是矩形.根据已知可得，..由平面得是平面的法向量.设是平面的法向量，则取，得.∴是平面的法向量∴.设平面与平面的夹角为，则.平面与平面的夹角的余弦值为.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．破解：（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．

：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得（舍负），因此，．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．

：在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．1．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．求证：平面；【详解】∵直三棱柱中，为的中点，所以，且，因为，分别，的中点，∴，，，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，故平面.2．如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点．求证：//平面；【详解】取中点为，连接，如下所示：在△中，因为分别为的中点，故//；又，故//，则四边形为平行四边形，//；又面面，故//面.3．如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．条件①：；条件②：平面．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)所选条件见解析，【详解】（1）如图，连接AC，因平面，平面，则，.又，则.注意到，则为等腰直角三角形，其中，.所以，又因为，平面，，所以平面；（2）若选条件①，由余弦定理可得，，结合为三角形内角，得，又，则，即.若选条件②，因平面，BC平面，平面平面，则，又，则，即.故建立以A为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（轴所在直线与DC平行）又，，则，则，，.平面法向量为，设平面法向量为，则.令，则，所以，设面与平面所成角为，，根据平面角的范围可知.

4．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．求证：当为中点时，平面；【详解】连接，因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；5．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.证明：平面，且；【详解】因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，在中，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．

求证：平面；【详解】连接交于点，连接，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.7．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）（1）证明：连接AC，BD，设，因为底面ABCD为平行四边形，则O为AC，BD的中点.因为，所以又，，平面PBD，平面PBD，所以平面PBD，又平面PBD，所以，所以四边形ABCD为菱形.（2）（2）方法一：（反证法）假设平面PDC，因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PDC，又平面PAB，平面PAB，，所以平面平面PDC，这显然与平面PAB与平面PDC有公共点P所矛盾.所以假设错误，即AE不可能与平面PCD平行.方法二：∵平面PAB，平面PCD，∴平面PAB与平面PCD必相交，可设平面平面，又∵，平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，又∵平面PAB，平面平面，∴又∵平面PAB，且不与重合，∴AE必与l相交∵面PCD，∴AE必与平面PCD相交，∴AE不可能与平面PCD平行.8．如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．

证明：平面；【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）连结，交于点，连结，在平行六面体中，，是的中点，所以四边形是平行四边形，又点为中点，则且，所以四边形是平行四边形，从而，因为平面，，所以平面.（2）以为原点建立如图所示的坐标系，

则，，设点为，其中，则，，，因为，，，所以，即，解得，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，设二面角为，则，所以，则，所以二面角的正弦值为.线面垂直问题（勾股定理妙解）必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证平面；第一步：表示,表示（）中的两个第二步：如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．求证：平面．证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.又因为所以BD⊥平面PAC.如图，在三棱柱中，平面，.求证：平面；证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为，所以第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线在三棱柱中，由平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，交线为.又因为，所以，所以平面.因为平面，所以又，所以平面.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．求证：平面． 证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形．．．第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线 连接，，．，又是的中点，．与相交于点，平面．1．在长方体中，是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.

(1)求证：平面【详解】如图，

连接交于点，在长方体中，有面，因为面，所以，又因为的长成等比数列，所以的长成等比数列，即，注意到，所以，从而，又因为，所以，从而，又因为，平面，所以平面，因为平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，所以平面.2．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．证明：．【详解】因为是边长为的等边三角形，所以，，因为为中点，所以，所以为等腰三角形，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以；3．如图，在三棱台中，平面平面.证明：平面；【详解】由于平面平面且交线为,又平面，所以平面平面故，又平面,故平面4．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；(2)证明：平面平面；【详解】（1）因为F，G分别为的中点，所以，又平面CFG，平面，所以平面．连接HE，在中，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又，所以，故C，E，F，G四点共面．（2）由题意可知，，，，所以，故．又平面，平面，所以，又平面，故平面，又平面，所以平面平面．5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，，．求证：平面平面；【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，；四边形为正方形，，，平面，平面，平面，平面平面.6．如图，四棱锥，平面平面为中点．证明：平面平面；【详解】证明：根据题意可得为中点，所以，易知，所以，可得，易知，所以，即；由，为中点，可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，因此平面平面；7．如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．求证：平面平面；【详解】证明：设分别为，边的中点，连接，因为平面，且，，，，所以，且，即四边形为平行四边形，可得，在底面正三角形中，为边的中点，则，又因为平面，且平面，所以，由于，且平面，所以平面，因为，且平面，则平面，又平面，则平面平面．8．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．求证：平面平面；【详解】连接、，∵O，E分别为的中点和的中点，∴∥，∵∥，∴∥，∴四点、、、共面，∵，，且，、平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，点面距离问题结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》结论2：《点面距离》结论3：《线面距离》结论4：《面面距离》结论5：《点点距离》在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为解：第一步：识别题干属于哪一种距离 空间点线距离第二步：直接利用结论 则，，，所以，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离.在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为()解：第一步：识别题干属于哪一种距离 空间面面距离第二步：直接利用结论 建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，即，解得（秒杀），故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离已知正方形的边长为1，平面，且，，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线到平面的距离.解：第一步：识别题干属于哪一种距离 空间面面距离第二步：直接利用结论 建立以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，，，分别为，的中点，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，秒杀所以，所以点到平面的距离，（2）因为，所以点到平面的距离.1．如图，在平行六面体中，E在线段上，且F，G分别为线段，的中点，且底面为正方形.(1)求证:平面平面(2)若与底面不垂直，直线与平面所成角为且求点A到平面的距离.【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）因为，为中点，所以，，即，因为是正方形，所以，因为分别是的中点，所以，所以，又，平面，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又，所以，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍），，所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为.2．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：

为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2）因为，，，所以.因为平面，且直线与圆柱底面所成角为，所以，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，.故点到平面的距离.3．如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点．(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若，，，为的中点，求点到平面的距离．【答案】(1)答案见解析(2)．【详解】（1）连结，在平面上作，因为为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，，，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）因为，所以，，两两互相垂直，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空向直角坐标系，，，，，则，，．设平面的一个法向量为，因为，，所以，，则，取，则，设点到平面的距离为，则因此点到平面的距离为．4．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)求点B到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图所示，连接交于F点，连接，由直四棱柱的性质可知F是及的中点，所以是的一条中位线，即，又平面，平面，所以平面；（2）如图所示，作，交延长线于M，由直四棱柱的特征易知底面，面，所以，又平面，故面，因为底面ABCD为菱形，，，所以，则，易知到平面的距离相等，设点B到平面的距离为，则，解之得.5．图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱上，，.(1)证明：；(2)求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由平面，平面，故，由底面是正方形，故，又，、平面，故平面，又平面，故，又，，、平面，故平面，又平面，故；（2）由，，故为中点，又平面，故点到平面的距离为，，由底面是正方形，故，由，故，由，且，故，解得,故点C到平面的距离为.6．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若(1)求与平面所成角的正切值；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为与平面所成角的平面角，在中，，则，所以与平面所成角的正切值为；（2）假设存在，设，连接，作于点，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即为点到平面的距离，由，得，由，解得，所以存在，.7．如图，在四棱锥中，，，平面平面．(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因为，所以平面．（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，过作直线的垂线，垂足为，则平面，由，，可得，，，，因为平面，平面，所以，则，可得，在直角梯形中，因为，可得，所以，在等腰中，，取的中点，连接，可得，且，所以，设点到平面的距离为，由，可得，解得，所以点到平面的距离为．8．如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点．(1)求证：平面；(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1作的中点D，连接DF，DB，因为点D，F分别为，的中点，所以，且，又由三棱柱的定义，结合点E为BC的中点可知：，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）作AC的中点G，连接，，，，因为，，所以是正三角形，又点G为AC的中点，所以，由平面平面，有平面平面，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以是三棱锥的高，所以，又因为平面，点到平面的距离即为点C到平面的距离，又，，设点C到平面的距离为d，则，解得．线面夹角问题（两大法）结论1：异面直线所成角①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出关键是求出及与结论2：线面角 结论：{点面距离（往往用等体积法计算），线自身长度}如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为正三角形，.求直线与平面所成角的大小；解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离 直线与平面，去掉相同的,只需求到平面的距离即第二步：利用等体积法求距离 ，,第三步：利用结论求出答案 ,四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．求与平面所成的角的正切值；解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离 直线与平面，去掉相同的,只需求到平面的距离即第二步：利用等体积法求距离 ，,第三步：利用结论求出答案 ,如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.求直线与平面所成的角的大小.解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离 直线与平面，去掉相同的,只需求到平面的距离即第二步：利用等体积法求距离 设，第三步：利用结论求出答案 ,在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为______________．第一步：建系出现坐标如图，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的一个法向量为，由题可得，秒杀可得，第二步：利用结论 设与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．1．如图，在几何体中，为等腰梯形，为矩形，，，，，，平面平面.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线，垂足为，连接，由已知可得，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，，平面，，，，，.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，则，令得，设直线与平面所成角为，则，.，即直线与平面所成角的余弦值为.2．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接.因为，且，又分别是棱的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）四边形均为正方形，所以.所以平面.因为，所以平面.从而.又，所以为等边三角形.因为是棱的中点，所以.即两两垂直.以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以.设为平面的法向量，则，即，可取.因为，所以.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角正弦值为.3．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.

(1)证明：.(2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)或【详解】（1）是中点，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）方法一：取中点，连接，作，垂足为，连接，

分别为中点，，，又，；由（1）知：平面，平面，；平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，直线与平面所成角为，，设，，，，，又，，解得：或，，当时，；当时，.综上所述：四棱锥的体积为或.方法二：取中点，连接，分别为中点，，，又，；由（1）知：平面，以为坐标原点，正方向为轴正方向，过作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，，，，，，，，，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，解得：或，，当时，；当时，.综上所述：四棱锥的体积为或.4．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：

为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2）因为，，，所以.因为平面，且直线与圆柱底面所成角为，所以，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，.故点到平面的距离.5．如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）取BC的中点O，连接OA，，因为在底面ABC上的射影为O，所以面ABC，在三棱柱中，面面，所以面因为面，所以，在中，M为线段的中点，，因为，所以，因为面，面，，所以面，中，，，所以，，所以；（2）设C到平面的距离为d，则在中，，，所以，所以，设MC与平面所成角为，则，所以MC与平面所成角的正弦值为.6．如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.

(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）连结，平面平面，又两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

不妨设，可得，.，所以是正三角形，点为正三角形的中心，所以，,所以.，又，.（2），，，设平面的一个法向量为，由，得：，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.7．如图，在三棱台中，平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，得，由平面，平面，则，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）将棱台补全为如下棱锥，由，，，易知，，由平面，平面，则，，，所以，.可得，设到平面的距离为h，又，则，可得，设与平面所成角为，，则.8．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【详解】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系...设平面的法向量为，则由，取得.因为，所以解得.所以，且平面，所以平面（2）设平面的法向量为则由，解得.所以，解得.面面夹角问题（两大法）结论：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.结论：任意二面角的平面角满足如（） 注意：为原图上的点，而分子_则是点在面的投影点在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.求二面角的余弦值.解：第一步：分析目标 令二面角的平面角大小为 由二面角的平面角结论可得第二步：求算目标中的两个面积 由题意得：令 故第三步：代入求目标 如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.求二面角-BD-的平面角的余弦值.解：第一步：分析目标 令二面角的平面角大小为 由二面角的平面角结论可得第二步：求算目标中的两个面积 由题意得：故第三步：代入求目标 目测此二面角为钝角，故二面角的平面角的余弦值为四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点.求二面角A-PD-C的正弦值.解：第一步：分析目标 令二面角的平面角大小为 由二面角的平面角结论可得第二步：求算目标中的两个面积 由题意得：故第三步：代入求目标 故二面角A-PD-C的正弦值为1．如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点.

(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，取中点，连接，因为是等边三角形，点是的中点，所以，又四边形是等腰梯形，且为的中点，所以，又,平面,所以平面，又平面，所以.（2）以为原点，建立的空间直角坐标系，如图所示

由（1）得即为二面角的平面角，设，作于，由可得，，故，作于，同理可得，所以，从而，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，从而，即，化简得：，解得：或（舍）又，所以，所以二面角的大小为.2．如图，在三棱锥中，．

(1)证明：平面平面；(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：在中，，所以，过点作于点，连接，则，因为，所以≌，得，又所以，得，又，，，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面平面.（2）由（1）知，两两垂直，如图以O为原点建立坐标系，，因为，得，设是平面的一个法向量，则，得，而是平面ABC的一个法向量，两个法向量夹角的余弦值为：设二面角平面角的大小为，结合图形得：，，，所以二面角的正切值为.

3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.

(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)(2).【详解】（1）由平面，可得，令点到平面的距离为，则，由，可得，则，由，可得，由平面，平面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，则，所以，即点到平面的距离为（2）设为的中点，过作交于，连接、，是的中点，，又平面，所以平面，又平面，，又，平面，平面，平面，，为二面角的一个平面角，又，且，所以，所以，即二面角的正切值为.

4．如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．(1)证明：；(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，连接．四面体为正四面体，为正三角形．又为的中点，．同理可得．平面，平面．又平面．（2）取的中点为，连接，设．由（1）得平面．平面．为二面角的平面角，为二面角的平面角，为二面角的平面角．由图形对称性可判断．易得．在中，．在中，．同理可得．．．二面角的平面角最大，其余弦值等于．5．如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面