第1节功和功率

第五章机械能第1节功和功率目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、功1.要素：力和

物体⁠在力的方向上发生的位移。2.公式：W＝

Flcosα

⁠，其中F是恒力的大小，l是物体的位移的大小，α是力的方向和

位移⁠方向的夹角。

3.单位：焦耳（J）。4.功的正负功是标量，没有方向，但有正负，根据W＝Flcosα可知：（1）当0°≤α＜90°时，力对物体做正功，

力是动力，物体获得能量。（2）当90°＜α≤180°时，力对物体做负功，力是阻力，物体失去能量。（3）当α＝90°时，力对物体不做功。物体

Flcos

α

位移

快慢

平均

平均

瞬时

4.额定功率与实际功率（1）额定功率：动力机械可以长时间正常工作的

最大⁠功率。（2）实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。最大

⁠

如图所示，吊车将货物匀速吊起，针对该过程，判断下列说法正误。（1）吊绳的拉力对货物做正功。

（

√

）（2）重力对货物做负功。

（

√

）（3）货物匀速上升过程中，货物所受合外力对货物做功为零。

（

√

）（4）货物匀速上升过程中，货物克服重力做功的功率恒定。

（

√

）（5）货物匀速上升过程中，合力对货物做功的功率越来越大。

（

×

）√√√√×Part02着眼“四翼”·探考点⁠

考点一

功的正负判断和大小计算

[素养自修类]1.[功的正负判断]如图所示，粗糙的斜面体在水平恒力的作用下向左匀速运动，一物块置于斜面上并与斜面保持相对静止，下列说法中错误的是（

）A.斜面对物块不做功B.斜面对地面的摩擦力做负功C.斜面对物块的支持力做正功D.斜面对物块的摩擦力做负功解析：B

斜面对物块的作用力可以等效为一个力，根据平衡条件可知，这个力与物块的重力大小相等，方向相反，与位移方向的夹角为90°，所以不做功，选项A正确，不符合题意；地面受到摩擦力作用，但没有位移，所以斜面对地面的摩擦力不做功，选项B错误，符合题意；斜面对物块的支持力与位移方向的夹角小于90°，做正功，而斜面对物块的摩擦力与位移方向的夹角大于90°，做负功，所以选项C、D正确，不符合题意。2.[合力做功的计算]一物体放在水平面上，它的俯视图如图所示，两个相互垂直的力F1和F2同时作用在物体上，使物体沿图中v0的方向做直线运动。经过一段位移的过程中，力F1和F2对物体所做的功分别为3J和4J，则两个力的合力对物体所做的功为（

）A.3JB.4JC.5JD.7J解析：D

当多个力对物体做功时，多个力做的总功的大小等于各个力对物体做功的代数和，故W合＝WF1＋WF2＝3

J＋4

J＝7

J，选项D正确。3.[结合图像计算恒力做的功]（2023·宁波调研）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1s内、第2s内、第3s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是（

）A.W1＝W2＝W3B.W1＜W2＜W3C.W1＜W3＜W2D.W1＝W2＜W3

4.[摩擦力做功的计算]如图所示，物体由静止开始分别沿不同斜面由顶端A滑至底端B，两次下滑的路径分别为图中的Ⅰ和Ⅱ，两次物体与斜面间的动摩擦因数相同，且不计路径Ⅱ中转折处的能量损失，则两次摩擦力对物体所做的功（

）A.第一次小B.第二次小C.两次一样大D.无法确定解析：C

设斜面的倾角为α，物体沿斜面下滑时，克服摩擦力做的功Wf＝μmgcos

α·s＝μmgscos

α＝μmgL，L为斜面的水平长度，Ⅰ和Ⅱ的路径虽然不同，但他们的水平长度L相同，因此它们克服摩擦力所做的功相同，故C正确，A、B、D错误。⁠1.功的正负的判断（1）依据力与位移方向的夹角来判断。（2）依据力与速度的夹角来判断。2.恒力做功的计算方法3.总功的计算方法方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcosα求功，此法要求F合为恒力。方法二：先求各个力做的功W1，W2，W3，…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。

考点二

变力做功的四种计算方法

[多维探究类]方法一

利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。【典例1】如图所示，一质量m＝1.0kg的物体从半径R＝5.0m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）。拉力F的大小始终为15N不变，方向始终沿物体在该点的切线方向。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边沿竖直方向，重力加速度g取10m/s2。在这一过程中，求：（1）拉力F做的功；

答案

（1）25πJ

（2）重力G做的功；

答案（2）－25J

（3）圆弧面对物体的支持力FN做的功。解析

（3）圆弧面对物体的支持力FN与速度方向总垂直，则根据WN＝FNΔLcos

90°＝0可知，支持力做功为0。答案

（3）0方法二

利用平均力求变力做功

【典例2】

当前，我国某些偏远山区的日常用水仍然主要依靠井水。某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为4m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为8kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为（

）A.280JB.320J

答案

AC.240JD.200J方法三

化变力为恒力求变力做功有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcosα求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。【典例3】

如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO'＝37°，∠OCO'＝53°，重力加速度为g（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。则（

）

答案

C方法四

利用F－x图像求变力做功在F

－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。【典例4】

质量为2kg的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3m/s，则其末速度为

（

）A.5m/s

答案

B方法五

利用动能定理求变力做功利用公式W＝Flcosα不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。【典例5】如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为FN。重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为（

）

答案

A考点三

功率的分析与计算

[素养自修类]1.[功率的估算]（2023·江苏七市联考）引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次

引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于（

）A.5WB.20WC.100WD.400W

2.[平均功率和瞬时功率的计算]如图所示，李磊在商场超市购物，提一袋质量为m＝5kg的大米从二楼乘自动扶梯到一楼，自动扶梯以v＝1m/s的速率匀速运行，与水平面之间的夹角为θ＝30°，楼层高度差为h＝4m，取重力加速度g＝10m/s2，则（

）A.下楼过程中，这袋大米受到的重力做功为400JB.下楼过程中，李磊对这袋大米做功为200JC.下楼过程中，李磊对这袋大米做功的平均功率为50WD.在自动扶梯上，这袋大米受到的重力做功的瞬时功率为25W

⁠1.平均功率的计算方法

（2）利用P＝Fvcosα，其中v为物体运动的平均速度。2.瞬时功率的计算方法（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度。（2）利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。（3）利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。考点四

机车启动问题

[互动共研类]1.两种启动方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P－t图像和v－t图像⁠⁠OA段过程分析运动性质加速度减小的加速运动以恒定功率启动以恒定加速度启动AB段过程分析运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无2.三个重要关系式

（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。【典例6】

目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103kg，额定功率P＝60kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，重力加速度g取10m/s2。（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？

答案

（1）30m/s

（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？

答案

（2）40s

（3）若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移大小。

答案

（3）1050m⁠1.[汽车恒定功率启动问题]

A.速度随时间均匀增大B.加速度随时间均匀增大C.输出功率为160kWD.所受阻力大小为1500N

2.[汽车以恒定加速度启动问题]某兴趣小组让一辆自制小遥控车在水平的直轨道上由静止开始运动，小车先做匀加速运动而后以恒定的功率运动，其运动的v

－t图像如图所示（除4～8s时间段内的图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）。小车的质量为m＝2kg，小车在整个过程中所受的阻力大小恒为F阻＝6N。求：（1）小车匀速行驶阶段的功率；解析：（1）由题图可知，小车的最大速度vm＝9

m/s小车匀速运动时所受牵引力与阻力相等，即F＝F阻由公式P＝Fvm得P＝54

W。答案：（1）54W

解得a1＝0.375

m/s2。（2）小车的速度为v1＝8m/s时的加速度a1大小；

解得s＝40.5

m。答案：（3）40.5m（3）小车在加速运动过程中总位移s的大小。Part03聚焦“素养”·引思维⁠“易错问题”辨清楚⁠功和功率计算中的两类易错题类型一

滑轮两侧细绳平行情况【典例1】

如图所示，质量为M、长度为L的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接。木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止。现用水平向右的拉力F作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为（

）A.2μmgLC.μ（M＋m）gLD.μmgL

答案

D【典例2】

如图甲所示，滑轮的质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，由此可知（

）A.物体的加速度大小为2m/s2B.F的大小为21NC.4s末F的功率为42WD.4s内F的平均功率为42W

答案

C｜反思领悟｜（1）不计摩擦和滑轮的质量时，滑轮两侧细绳的拉力大小相等。（2）通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。（3）通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。类型二

滑轮两侧细绳不平行情况【典例3】一木块的前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示。当用力F拉绳使木块前进位移s时，力F做的功（不计滑轮摩擦）是（

）A.FscosθB.Fs（1＋cosθ）C.2FscosθD.2Fs

法二：可看成两股绳都在对木块做功，则W＝Fs＋Fscos

θ＝Fs（1＋cos

θ），则选项B正确。答案

B【典例4】

如图所示，轻绳的一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，B、O间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是（

）A.WF＝FL（cosθ＋1）B.WF＝2FLcosθC.Wf＝μmgLcosθD.Wf＝FL－mgLsin2θ解析

小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离x＝2Lcos

θ，所以拉力F做的功WF＝Fx＝2FLcos

θ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块在BO段受到的摩擦力Ff＝μmgcos

2θ，则Wf＝FfL＝μmgLcos

2θ，C、D

错误。答案

B｜反思领悟｜对于通过动滑轮拉物体，当拉力F的方向与物体的位移方向不同时，拉力F做的功可用如下两种思路求解：（1）用W＝Flcos

α求，其中l为力F作用点的位移，α为

F与l之间的夹角。（2）分别用两段细绳拉力所做功的代数和求解，如例3的第二种方法。Part04锁定“目标”·提素能⁠1.（2020·江苏高考）质量为1.5×103kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20m/s，受到的阻力大小为1.8×103N。此时，汽车发动机输出的实际功率是（

）A.90WB.30kWC.36kWD.300kW解析：C

根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车所受的牵引力等于阻力，即F＝Ff＝1.8×103

N，此时汽车发动机的实际输出功率即瞬时功率，根据P＝Fv，代入数据解得此时汽车发动机的实际输出功率为36

kW，A、B、D项均错误，C项正确。2.（2023·南京高三月考）俯卧撑主要锻炼胸部、上肢、腰部以及腹部的肌肉，是一种有效的力量训练手段。体育课上，某女同学在一分钟内做了10个俯卧撑，如图所示。若该同学每做一次俯卧撑重心上升的高度约为30cm，则她克服重力做功的功率约为（

）A.2.5WB.25WC.250WD.2500W

3.（2023·江苏高三专题练习）如图所示，摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是（

）A.摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零B.摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变C.摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变D.通过最低点时，乘客的重力小于座椅对他的支持力

4.如图所示，在某滑雪场，滑雪者从O点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至N点停下，斜面、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ＝0.1，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m＝50kg，重力加速度g取10m/s2，O、N两点间的水平距离为s＝100m。在滑雪者经过ON段运动的过程中，克服摩擦力做的功为（

）A.1250JB.2500JC.5000JD.7500J解析：C

设斜面的倾角为θ，则滑雪者从O到N的运动过程中克服摩擦力做的功Wf＝μmgxOMcos

θ＋μmgxMN，由题图可知，xOMcos

θ＋xMN＝s，两式联立可得Wf＝μmgs＝0.1×50×10×100

J＝5

000

J，故A、B、D错误，C正确。5.（2023·江苏高三专题练习）汽车从静止匀加速启动，最后做匀速运动，其速度随时间及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像如图所示，其中错误的是（

）

6.力F对物体所做的功可由公式W＝F·scosα求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（

）A.图甲中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F（OA－OC）B.图乙中，全过程中F做的总功为108JD.图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsinθ

7.（2023·江苏扬州高三月考）某款国产插电混动汽车的百公里加速时间达到4.3s，其加速过程的v－t图像如图所示，已知汽车行驶速度越大，所受阻力越大。下列说法正确的是（

）A.行驶100km用时4.3sB.AB段加速度小于OA段C.AB段发动机动力不变D.BC段发动机功率增大解析：D

速度达到100

km/h需要时间4.3

s，选项A错误；因v－t图像的斜率等于加速度，可知AB段加速度大于OA段，选项B错误；AB段做匀加速运动，随速度的增加阻力变大，根据F－Ff＝ma可知，发动机动力逐渐增大，选项

C错误；BC段速度增大，发动机动力逐渐变大，根据P＝Fv可知，发动机功率增大，选项D正确。⁠8.（2023·江苏常州高三期中）在水平地面上竖直上抛一个小球，小球在运动过程中重力瞬时功率的绝对值为P，离地高度为h。不计空气阻力，从抛出到落回原地的过程中，P与h关系图像为（

）

9.（2023·江苏南京二模）如图为两张拍照频率相同的频闪照片，拍照对象是相同斜坡上运动的同一滑块。其中一张为滑块从斜坡顶部静止释放后运动到底部的照片；另一张为该滑块从斜坡底部冲到顶部时速度刚好为零的照片。已知滑块与斜坡之间的动摩擦因数为μ，斜坡的倾角为θ，可以判断（

）A.如图为滑块沿斜坡向下运动的照片B.滑块在两斜坡底部时的重力功率大小相等C.μ＞tanθD.两照片中斜坡对滑块的作用力不同解析：D

下滑时，根据牛顿第二定律有mgsin

θ－μmgcos

θ＝ma1，上滑时，根据牛顿第二定律有mgsin

θ＋μmgcos

θ＝ma2，显然a2＞a1，将上滑过程看作加速度为a2的从零开始的匀加速直线运动，则其下滑的时间更短，拍摄到的滑块的数量更少，故题图中如图为上滑的照片，故A错误；将上滑过程看作加速度为a2的从零开始的匀加速直线运动，根据速度位移关系v2＝2ax可知，到底端时，滑块速度较大，则速度沿竖直方向的分量较大，则重力的功率较大，故B错误；因为滑块从斜坡顶部静止释放时会下滑，所以mgsin

θ＞μmgcos

θ，μ＜tan

θ，故C错误；两次运动中，垂直斜坡方向，斜坡的支持力相同，沿斜坡方向，摩擦力大小相同方向相反，则斜坡对滑块的作用力不同，故D正确。10.（2023·江苏南通一模）如图所示，一只质量为10g的蜘蛛在竖直墙壁与地面之间结网时，AB为拉出的第一根直线蛛丝，AB与水平地面之间的夹角为53°，A点