圆内接正多边形课件北师大版数学九年级下册

3.8圆内接正多边形九年级下

北师版1.了解正多边形的概念以及和圆的关系.2.会用尺规作圆的内接正方形和正六边形.3.会运用正多边形和圆的有关知识解决相关问题.学习目标重点难点

观看屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?新课引入正多边形的概念问题1什么叫做正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.问题2矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.复习回顾问题3正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？正

n边形都是轴对称图形，都有

n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.一

正多边形与圆的关系新知学习怎样由圆得到正多边形呢？探究接下来，我们就一起以圆内接正五边形为例证明？问题1如图，把⊙O分成相等的5段弧，即AB=BC=CD=DE=EA，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？·AOEDCB；

＋

＋

＝①＝③∠A∠E；·AOEDCB

＋

＋

＝②＝3＝3；(1)填空：·AOEDCB(2)证明：五边形ABCDE是正五边形.同理∠B=∠C=∠D=∠E.∴∠A=∠B.

∴AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.证明：∵∴

归纳

将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.问题2将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？弧相等—

弦相等（多边形的边相等）

圆周角相等（多边形的角相等）

→多边形是正多边形归纳如图，其他正多边形也有类似的结论.由此我们得到：

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.OABCDEFGHRr外(内)接圆的圆心叫做正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.圆心到各边的距离(内切圆的半径）叫做正多边形的边心距.

正多边形每一边所对外接圆的圆心角，叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于

.归纳做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形..

O分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为

，所以正六边形的边长与圆的半径

.因此，在半径为r的圆上依次截取等于

的弦，即可将圆六等分.60º相等r作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；(2)分别以F，C为圆心，以

r为半径作弧，与⊙O

交于点E，A和D，B；(3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六边形ABCDEF即为所求..OFCABDE针对训练1.下列说法中，不正确的是()A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形D二

圆内接正多边形的有关计算正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？中心角ABCDEFO半径R边心距r中心正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角=中心角归纳正多边形内角也可用

表示.例1如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为点G，求正六边形的中心角、边长和边心距.

解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△COD为等边三角形.∴∠COD==60°.∴CD=OC=4.在Rt△COG中，OC=4，CG=2.∴∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为.归纳2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRMr·圆内接正多边形的辅助线O边心距r边长一半半径RCM中心角一半例2如图2,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(

)A.6

-π

B.6

-2πC.6

+π

D.6

+2πA【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和-(大圆的面积-正六边形的面积)即可得到结果1.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A．12mmB．10mmC．8mmD．6mmA随堂练习2.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为4，则⊙O的半径是（）A.2B.4C.D.CADBCO3.如图，AG，BH，CI，DJ，EK，FL为六边形ABCDEF的外接圆的切线，则∠BAG+∠CBH+∠

DCI+∠EDJ+∠FEK+∠AFL=_____°1804.有一个亭子，它的地基是半径为4

m的正六边形，求地基的周长和面积(面积精确到0.1m2).CDOEFAP抽象成BO4mABCDEFPr解：过点O作OP⊥BC于P.∵OB=OC，∠BOC=60°，∴BC=OB=4m，地基周长l=6×4=24(m).亭子地基的面积在Rt△OPB中,OB＝4m,PB＝利用勾股定理,可得边心距5.（2023武汉）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，若四边形ABCD的面积是S.AC的长是x，则S与x之间的数关系式是（）A.S=x2

B.S=

x2

C.S=

x2

D.S=

x2B思路点拨：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，连接BD，→△BAM