2021年江西省九江市高考数学一模试卷(文科)

第10页（共20页）2021年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[﹣2，2] C．（﹣1，2] D．[﹣2，3）2．（5分）已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（）A．1 B． C．2 D．33．（5分）已知数列{an}为等差数列，且满足a2+a5+a8＝24，则数列{an}的前9项和为（）A．96 B．48 C．56 D．724．（5分）如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面（）A． B． C． D．5．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1）（）A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝06．（5分）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式12+22+32+…+n2＝，执行如图所示的程序．或输出的结果为7，则判断框中的实数k的取值范围是（）A．[91，140） B．（91，140] C．[140，204） D．（140，204]7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为M，A为抛物线C上一点，则|AF|＝（）A．2 B． C．4 D．8．（5分）已知a＝log0.20.3，b＝log0.30.2，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．π10．（5分）已知双曲线E：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为双曲线E上一点，若∠F1PF2≥90°，则x02的取值范围是（）A． B． C． D．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+2n，则下列说法正确的是（）A．数列{an+1﹣an}为等差数列 B．数列{an+1﹣an}为等比数列 C．数列{an+2﹣an}为等差数列 D．数列{an+2﹣an}为等比数列12．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+b（ω＞0，0＜φ＜π），则实数b的值为（）A．﹣1 B． C． D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上．13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，||＝3，⊥（2﹣）|＝．15．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的连续单调函数（x）﹣lnx]﹣1＝0，则不等式f（x）．16．（5分）如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1，高为2，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大体积为．三、本卷包括必考题和选考题两部分．第17题～第21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）从某公司生产的10000件产品中随机抽取100件作为样本，并测量它们的长度l（单位：mm），将样本数据分为[28，[30，32），34），[34，[36，38），40]六组，并整理得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）求a的值及样本产品长度的平均值；（Ⅱ）当l∈[31，39]时为合格品，其余为废品．每件合格品可获得利润20元，且生产出的合格品全部销售完，若以样本估计总体（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18．（12分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边（b+c）cosA＝bsinA﹣acosC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A＝60°，将△ADE沿着DE折起，使平面ADE⊥平面BEDC．（Ⅰ）在线段AC上是否存在一点M，使得BM∥平面ADE，请说明理由；（Ⅱ）求E到平面ABC的距离．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，|AF|＝3，过F的直线l与椭圆C交于M，且△AMN面积是△BMN面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AM，AN与直线x＝4分别交于P，Q两点21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣cosx（x＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）有唯一零点x0，且x0∈（0，1）；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的x0，当x∈（x0，2）时，ex﹣af（x）≥0，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（t为参数），过原点的直线l1，l2相互垂直，且l1的倾斜角为α，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l1与曲线E的极坐标方程；（Ⅱ）若l1，l2与曲线E分别相交于A，B两点和C，D两点，求23．已知函数f（x）＝a|x|﹣|x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤1恒成立，求a的取值范围．

2021年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[﹣2，2] C．（﹣1，2] D．[﹣2，3）【分析】求出集合A,然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣6≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤7}＝（﹣1,2]．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数z满足z•（1+i）＝2，则|z|＝（）A．1 B． C．2 D．3【分析】求出z，求出z的模即可．【解答】解：z＝＝6﹣i，故|z|＝，故选：B．【点评】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．3．（5分）已知数列{an}为等差数列，且满足a2+a5+a8＝24，则数列{an}的前9项和为（）A．96 B．48 C．56 D．72【分析】利用等差数列通项公式求出a5＝8，由此能求出数列{an}的前9项和．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴a2+a5+as＝6a5＝24，则a5＝6，∴．故选：D．【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．4．（5分）如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面（）A． B． C． D．【分析】利用古典概型概率公式即可求解．【解答】解：从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取3个面，共有4×4＝16种取法，其中两个面相邻的取法有5种，故所求概率为．故选：A．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1）（）A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0【分析】求得f(x)的导数，由导数的几何意义，代入x＝1可得切线的斜率，求得f(1),由直线的点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）＝x2lnx的导数为f′(x)＝2xlnx+x,可得y＝f（x）在点（8，f（1））处的切线的斜率为k＝2ln1+4＝1，且f(1)＝0,所以曲线y＝f（x）在点（6，f（1）处的切线方程为y＝x﹣1．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．（5分）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式12+22+32+…+n2＝，执行如图所示的程序．或输出的结果为7，则判断框中的实数k的取值范围是（）A．[91，140） B．（91，140] C．[140，204） D．（140，204]【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：依题意得，解得91＜k≤140，可得判断框中的实数k的取值范围是（91，140]．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为M，A为抛物线C上一点，则|AF|＝（）A．2 B． C．4 D．【分析】过点A作准线的垂线，垂足为A'，利用平行关系得出△AFA'为等边三角形，进而可以求解．【解答】解：如图，过点A作准线的垂线，当∠MFA＝120°时，∠FAA'＝60°，又|AF|＝|AA'|，∴△AFA'为等边三角形，所以∠A′FM＝60°,在直角三角形MFA′中，|A′F|＝,则|AF|＝4,故选：C．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质，考查了学生的数形结合的能力，属于中档题．8．（5分）已知a＝log0.20.3，b＝log0.30.2，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】利用对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵0＜a＝log0.20.3＜2，b＝log0.36.2＞1，c＝log73＞1，又，∴b＜c，即a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查对数的运算，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．π【分析】根据三视图知该几何体是圆柱体，斜截去一半，结合图中数据求出该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是圆柱体，画出该几何体的直观图，如图所示：计算该几何体的体积为：V＝×π×82×1＝．故选：C．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题．10．（5分）已知双曲线E：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P（x0，y0）为双曲线E上一点，若∠F1PF2≥90°，则x02的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】求得双曲线的a,b,c,可得以F1F2为直径的圆的方程，由题意可得点P在以F1F2为直径的圆上或圆内，将P的坐标代入圆的方程，解不等式可得所求范围．【解答】解：双曲线E：x2﹣y2＝3的a＝b＝1,c＝,可得以F7F2为直径的圆的方程为x2+y7＝2,要使得∠F1PF8≥90°，则点P在以F1F2为直径的圆上或圆内，∴，又，∴，∴，故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及圆的方程和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+2n，则下列说法正确的是（）A．数列{an+1﹣an}为等差数列 B．数列{an+1﹣an}为等比数列 C．数列{an+2﹣an}为等差数列 D．数列{an+2﹣an}为等比数列【分析】由数列递推式可得，则，两式相减可得，从而可得结论．【解答】解：∵①，∴②，②﹣①得③，则④，④﹣③得，因此数列{an+2﹣an}为等比数列．故选：D．【点评】本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+b（ω＞0，0＜φ＜π），则实数b的值为（）A．﹣1 B． C． D．1【分析】由题意可求函数的周期，利用周期公式可求ω的值，根据x＝×（+）＝为函数的一条对称轴，可求φ的值，进而可得函数解析式，即可得解b的值．【解答】解：依题意得，∴，又x＝×（+为函数的一条对称轴，可得，解得，∵8＜φ＜π，∴，∴，∴b＝﹣5．故选：A．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上．13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：如图所示，作出可行域，联立，解得A（，），作出直线2x+y＝2，当直线2x+y＝0平移到点时，z＝2x+y取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，||＝3，⊥（2﹣）|＝．【分析】利用向量垂直，则数量积为零，列出关于的方程求解即可．【解答】解：由得＝＝．故．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的性质以及运算，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的连续单调函数（x）﹣lnx]﹣1＝0，则不等式f（x）[e，+∞）．【分析】求出函数的解析式，求出函数的单调性，问题转化为≥2，求出x的范围即可．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的连续单调函数，∴存在唯一t，使得f（t）＝1，f（x）＝lnx+t，∴f（t）＝lnt+t＝5，令g（t）＝lnt+t﹣1（t>,则g′(t)＝+6>0，+∞）上单调递增，令g(t)＝0,∴t＝6，∵f（x）≥2，x≥e，故f（x）≥2的解集为：[e，+∞），故答案为：[e，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查复合函数以及不等式问题，是中档题．16．（5分）如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面半径为1，高为2，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大体积为．【分析】点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径，求出最大球的半径，由此能求出该木球的最大体积．【解答】解：如图，点B到铁盖中心O1的距离恰好是最大球的直径，AB＝2，∠O2AB＝60°，∴，则，即最大球的半径为，∴该木球的最大体积为V＝．故答案为：．【点评】本题考查木球的最大体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等核心素养，是中档题．三、本卷包括必考题和选考题两部分．第17题～第21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）从某公司生产的10000件产品中随机抽取100件作为样本，并测量它们的长度l（单位：mm），将样本数据分为[28，[30，32），34），[34，[36，38），40]六组，并整理得到频率分布直方图如图．（Ⅰ）求a的值及样本产品长度的平均值；（Ⅱ）当l∈[31，39]时为合格品，其余为废品．每件合格品可获得利润20元，且生产出的合格品全部销售完，若以样本估计总体（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【分析】（I）由频率分布直方图列出方程，求出a，由此能求出样本产品长度的平均值．（II）从样本中随机抽取一件产品，其为合格品的概率为0.8，从而其为废品的概率为1﹣0.8＝0.2，由此能求出该公司获得的利润．【解答】解：（I）∵（0.05×3+4.1×2+a）×6＝1，∴a＝0.15，样本产品长度的平均值为：．（II）依题意得，从样本中随机抽取一件产品，其为废品的概率为8﹣0.8＝2.2，故该公司获得的利润为10000×（0.2×20﹣0.2×15）＝130000元．【点评】本题考查频率、平均数、概率、利润的运算，涉及到频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心素养，是基础题．18．（12分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边（b+c）cosA＝bsinA﹣acosC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可求出角A的大小；（Ⅱ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得＝+，求出角C的取值范围即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理的（sinB+sinC）cosA＝sinBsinA﹣sinAcosC，所以sinBcosA+sinCcosA+cosCsinA＝sinBsinA，即sinBcosA+sin（A+C）＝sinBsinA，因为sin（A+C）＝sinB，所以sinBcosA+sinB＝sinBsinA，因为sinB＞0，所以cosA+2＝，所以sin（A﹣）＝，因为A﹣∈（﹣，），所以A﹣＝，所以A＝．（Ⅱ）＝＝＝＝+，因为△ABC为锐角三角形，所以0﹣C＜，所以＜C＜，所以＜+＜2，即，2）．【点评】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A＝60°，将△ADE沿着DE折起，使平面ADE⊥平面BEDC．（Ⅰ）在线段AC上是否存在一点M，使得BM∥平面ADE，请说明理由；（Ⅱ）求E到平面ABC的距离．【分析】（I）当点M位于AC的中点时，BM∥平面ADE，设N为AD的中点，连接MN，NE，MB，运用三角形的中位线定理推得MNEB为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，可得结论；（II）由面面垂直的性质定理可得AE⊥平面BEDC,设E到平面ABC的距离为d，三棱锥E﹣ABC的体积，求得底面的面积，结合体积公式，解方程雕刻所求值．【解答】解：（I）当点M位于AC的中点时，BM∥平面ADE，设N为AD的中点，连接MN，MB，N分别为AC，∴，依题意易知，∴，∴MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，又∵BM⊄平面ADE，EN⫋平面ADE，∴BM∥平面ADE．（II）∵AD＝AB＝2，∠A＝60°，又E为AB的中点，∴DE⊥AB，又平面ADE⊥平面BEDC，∴AE⊥平面BEDC,设E到平面ABC的距离为d，三棱锥E﹣ABC的体积，即,,∴，∴,∴,S△EBC＝×1×＝,由得，，即．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，以及点到平面的距离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，|AF|＝3，过F的直线l与椭圆C交于M，且△AMN面积是△BMN面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AM，AN与直线x＝4分别交于P，Q两点【分析】（Ⅰ）由|AF|＝3，得a+c＝3，再由面积关系可得a+c＝3（a﹣c），联立求得a与c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设l：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，得关于y的一元二次方程，分别写出直线AM与AN的方程，求得P与Q的坐标，写出直线PF与QF的斜率，结合根与系数的关系可得斜率乘积等于﹣1，即可证明PF⊥QF．【解答】解：（Ⅰ）∵|AF|＝3，∴a+c＝3，又△AMN面积是△BMN面积的2倍，∴a+c＝3（a﹣c），解得：a＝2，c＝22＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（﹣2，F（1，设l：x＝ty+3，M（x1，y1），N（x3，y2），联立方程组，消去x整理得（3t3+4）y2+8ty﹣9＝0．∴，直线AM的方程为，令x＝4，得，同理，∴，∴＝＝．∴PF⊥QF．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣cosx（x＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）有唯一零点x0，且x0∈（0，1）；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的x0，当x∈（x0，2）时，ex﹣af（x）≥0，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x）二次求导，确定函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合零点的存在性定理即可证明；（Ⅱ）将问题转化为在x∈（x0，2）恒成立，构造函数，利用导数研究g（x）的取值范围，得到，从而得到a的取值范围．【解答】（I）证明：函数f（x）＝x2﹣cosx（x＞0），则f'（x）＝7x+sinx，又f''（x）＝2+cosx＞0，故f'（x）在（4，所以f'（x）＞f'（0）＝0，故f（x）在（0，又f（0）＝﹣6＜0，f（1）＝1﹣cos8＞0，所以f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x3∈（0，1）；（II）解：由（I）知，x∈（x7，2）时，f（x）＞f（x0）＝5，所以x2﹣cosx＞0，即问题等价于0，2）恒成立，令，令，当x∈（x0，2）时，x（x﹣7）＜0，，所以h（x）＜0，即g'（x）＜6，故g（x）在（x0，2）上单调递减，所以当x∈（x6，2）时，，所以，故实数a的取值范围是．【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，