【利用高等数学证明不等式的基本方法探析2400字】

PAGE15利用高等数学证明不等式的基本方法分析目录TOC\o"1-2"\h\u28007利用高等数学证明不等式的基本方法分析 115191摘要 113309引言 1180131不等式的基本性质 1284752证明方法 255882.1构造函数证明不等式 2150692.2利用条件极值方法证明不等式 3194472.3用定积分知识证明不等式 630708用上面的性质可以证明一些不等式 730287结论 721435参考文献 7摘要不等式在当代高等数学中具备关键位置，其是学习与分析当代科学与技术的主要工具，在多种现实问题中得到普遍使用。因为不等式类型不同，因此证明并不存在稳定的程序，技巧众多，方式灵活。然而在教科书上通常并未全面的汇总与不等式问题相关的知识。本人在论文撰写时期汇总与不等式相关的知识，此外在上述前提下主要彰显以条件极值为主的使用高等数学知识证明不等式的多种方式。关键词：证明不等式；高等数学；构造辅助函数；条件极值引言在分析数学不等式的时候，大部分内容都具备一定的价值，比如，不等式性质、证明方式以及解法。在本文中，就不详细表述，而重点叙述部分证明不等式的普遍方式、使用函数证明不等式的方式。利用上述方式的学习，能够全面了解数学的相关特征。进而拓展数学视野，加深对不等式证明方式的认知，进而站在合理的角度来分析数学不等式。和等式的可确定性相比，不等式就是明确界限，确定条件来规范以及划分相应的范围，因此不等式的证明具备一定的乐趣以及价值。1不等式的基本性质实数集内的所有两个数一直能对比大小，假如是正数，那么;假如是零，那么；假如是负数，那么。反之也是如此。也就是a≧b此处符号代表等价于。此概念即便简单，但是事实上其表示不等式的性质。大部分不等式的证明，主要从此概念着手。第一，依照不等式概念，容易证明以下不等式的单纯性质，上述性质是证明其余不等式的主要方式。（1）(对称性)（2）若,,则(传递性)（3）若,则(加法保序性)（4）若,，则(乘正数保序性)若,,则.（5）若,,则若,,则.（6）若,,则.（7）若,,则（8）若,,则（9）若,（10）若,,含绝对值的不等式以下几个含绝对值的基本不等式，在后面的讨论中是常常用到的。(1)(2)(3)(4)2证明方法2.1构造函数证明不等式证明不等式中构造辅助函数方方式相对普遍，其主要理论是把不等式利用等价变形，寻找出辅助函数，主要方式是直接把不等号右端项移到不等号左端，此时右端是零，左端就是需要寻求的辅助函数。例1证明不等式：证明：构造函数====故是偶函数，其图像对于y轴对称。当想时，；当时，,故即，可得例2已知，，，求证：证明：构造函数因为,所以，即在上是增函数，即可得2.2利用条件极值方法证明不等式用求函数条件极值的拉格朗日乘数法来证明部分不等式相对直接与浅显，为叙述此方式，需要提前回顾将求一个函数在约束条件下的条件极值的拉格朗日乘数法：求元函数在约束条件下的极值，寻求辅助函数：得出辅助函数对的一阶偏导数，让其等于零，得出个方程构成的方程组，解此方程组：得出函数的稳定，假设点是方程组的解，（在此处，要求函数和在以点为内点的区域上的偏导数出现且连续）。此时，可依照问题的实际或深入研究来判定函数在点是否取极大值或极小值。接下来将证明几个不等式当做案例进行详细解释：例3已知，，都是正数，且，求证。分析：这道题明显地表示出一个条件极值问题，当我们肯定函数在约束条件下的最小值是9的时候，就证明了这个不等式。证明：先作辅助函数求出辅助函数对的一阶偏导数，令它们等于零，得出4个方程组成的方程组，解这个方程组：因为，，都是正数，方程组有唯一解取。考虑到在中，当为很小的正数时，的值可以充分大，从这道题的实际就能判断当时，函数取最小值9，所以有。例4证明不等式，其中，，。分析：为证明这个不等式，我们先考虑，在曲线（，，为常数）上取值，从求函数在约束条件下的最大值来证明上述不等式在指定曲线上成立。因为对于第一象限（，）这个闭区域上的任意一点，可以通过变动的值使它落在某一条曲线上，因而当，时上述不等式也成立。证明：设，，（当或或时，不等式显然成立。）先作辅助函数：求出辅助函数对的一阶偏导数，令它们等于零，得出3个方程组成的方程组，解这个方程组：得考虑到在中，当很小时，不等式的左边的值比右边的值小（）很多，可以判断当时，函数取最大值，于是有。2.3用定积分知识证明不等式定积分知识是证明不等式的全新方式，对于特殊和式不等式的证明有明显的优点。依照不等式的特点直接构造函数，使用函数的定积分处理不等式问题具备非常重要的现实影响。在解题的工程中假如可以了解定积分理论，就可以把大部分问题“化难为易”。例5证明证明：此题利用定积分来证明，首先引入函数，则可得因此。在区间上函数连续且恒有，因此定积分的几何价值是：代表由连续曲线和三条直线，，轴所围成的曲边梯形的面积。根据上述几何价值可知：定积分的性质：若函数，在区间上可积，且，则。用上面的性质可以证明一些不等式例6当时，证明证明：因为，，对积分变量，时，有，由性质得，即当时，有。结论不等式在高等数学中具备关键位置。因为不等式类型不同，因此证明并不存在稳定的程序，技巧众多，方式灵活。和等式的可确定性相比，不等式如同明确界限，修订某个条件来规范，以及确定相应的范围，因此不等式证明具备一定的趣味性以及挑战性。其最主要的方式是使用定义和主要性质，且利用代数变换进行证明。本文主要使用高等数学知识来证明不等式的重要方式，上述方式为证明不等式的过程准备了高效的理论工具。显然，证明方式不仅本文叙述的几类，由于证明不等式缺少相应的程序，证法根据问题变化而变化，具有众多证明方式。然而上述方式包含大多数不等式证明。参考文献[1]潘娟娟,凌雪岷.高等数学中不等式证明的几类常用方法[J].赤峰学院学报(自然科学版),2017,33(04):1-3.[2]葛喜芳.高等数学中导数证明不等式的几种方法[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2017,16(03):61-63.[3]杨雪.高等数学中不等式证明的方法示例[J].科技风,2020(18):105-106.[4]景慧丽,王兆强.一道含有积分上限函数的不等式证明方法探讨[J].