2023年中考数学高频考点训练-二次函数的最值

2023年中考数学高频考点专题训练一二次函数的最值

一、综合题

1.在平面直角坐标系中，抛物线丫=-4/+(mT)x+2m与x轴交于A,B(4,0)两点，与

y轴交于点C,点P是抛物线在第一象限内的一个动点.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A,C的坐标；

(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM,OM,是否存在点M使AM+OM最

小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图乙，过点P作PFLBC,垂足为F,过点C作CDLBC,交x轴于点D,连接DP交

C

BC于点E,连接CP.设APEF的面积为△PEC的面积为S2,是否存在点P,使得白最大，若

存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

2.如图，直线y=-空x+遮分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，ZACB=90°,

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHLBC于点H,作MD〃y轴交BC于

点D,求△DMH周长的最大值.

2

y)且y——gx+16•

(1)求AD,BC的长和四边形ABCD的面积.

(2)连接PQ,设aAPQ的面积为S,在P,Q的运动过程中，S是否存在最大值，若存在，求

出S的最大值；若不存在，请说明理由.

(3)当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值.

4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+l经过A(-1,0),B(1,1)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线h：y=kix+bi(ki,bi为常数，且kiWO),直线b：y=k2X+b2(k2,

b2为常数，且为翔),若1山2,则ki・k2=-l.

解决问题：

①若直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；

②抛物线上是否存在点P,使得4PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A,B重合)，求点M到直线AB的距离

的最大值.

5.新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，

购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元。两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量为(盒)与

售价x(元)之间的关系为为=400-8%；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提

高1元，少销售5盒.

(1)求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？

(2)当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多

少？

(3)已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的差，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定

价应为多少？

6.已知二次函数y=%24-(m—2)x+m—4,其中m>2.

(1)当该函数的图象经过原点0(0,0),求此时函数图象的顶点4的坐标；

(2)求证：二次函数y=%2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-%-2上运

动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B,求AAOB面积的最大值.

7.已知：抛物线y=x2+(2m-l)x+m2-1经过坐标原点，且当％<0时,y随x的增大而减

小.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如下图，设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线

于另一点D,再作AB1x轴于点B,DC1x轴于点C.

②设动点A的坐标为(a,b),将矩形ABCD的周长L表示为a的函数，并写出自变量的取值范

围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存

在，请说明理由.

8.如图1,在RtaABC中，ZACB=RtZ,AB=10,AC=6,点D以每秒5个单位长度的速度从点

B处沿射线BC方向运动，点P以相同的速度从点A出发沿边AB向点B运动，当F运动至点B

时，点DE同时停止运动，设点D运动时间为1秒。

A

（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度，则BD=,BF=。

（2）设小BDF的面积为S,求S关于t的函数表达式及S的最大值。

（3）如图2,以DF为对角线作正方形DEFG,在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰

好落在RtAABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由。

9.某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售

单价%（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

销售单价X（元）406080

日销售量y（件）806040

（1）求公司销售该商品获得的最大日利润;

（2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品

销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况

下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值.

10.在一元二次方程中，根的判别式4=川-4ac通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，

我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数y=x2-6x+6,当％为何值时，y

取最小值，最小值是多少？

解答：已知函数y=x2—6x+6,

.••x2-6x+（6-y）=0,（把y当作参数，将函数转化为关于x的一元二次方程）

Vb2-4ac>0，即36—4（6—y）20,y>-3,（当y为何值时，存在相应的x与之对

应，即方程有根）

因此y的最小值为-3,此时久2一6%+6=-3,解得打=外=3,符合题意，所以当％=3

时,ymin=-3.

B

(1)已知函数y=-4x2+6%-3,y的最大值是多少？

(2)已知函数y=弓-2计3,最小值是多少？

/X2-4X+4

(3)如图，已知Rt△ABC、RtAAED,D是线段BC上一点，zB=/.EAD=90°,

AB=BC,DC=AE=1,当BD为何值时，益取最小值，最小值是多少？

11.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于＞4(-1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点

图】图2

(1)求b,c,m的值；

(2)如图1,点。是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D

作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EFlx轴，垂

足为点F,当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；

(3)如图2,点M是抛物线的顶点，将4MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交

于点Q,在对称轴上找一点P,使得aPQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条

件的点P的坐标.

12.如图1,折叠矩形纸片ABCD,具体操作：①点E为AD边上一点(不与点A、D重合)，把

△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折/DEF,折痕EG所在的直线

交DC于点G、D点的对称点为H点.

(1)求证：△ABE^ADEG.

(2)若AB=6,BC=10,

①点E在移动的过程中，求DG的最大值；

②如图2,若点C恰在直线EF上，连接DH,求ADGH的面积.

13.平面直角坐标系中，已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),抛物线y=ax?+bx+l恰好经过

A,B,C中的两点.

(1)求a,b的值；

(2)平移抛物线y=ax2+bx+l,使其顶点在直线y=x+l上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m.

①求平移后抛物线的函数关系式；

②求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.

14.已知抛物线y=-1x2+2ax-4

(1)讨论抛物线与x轴的交点个数，

(2)若a=l,当-2SxSm时，该函数的最大值与最小值之差为4m,求实数m的值.

链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式.

例：解不等式：x2+x-2>0.

解：不等式x2+x-2>0的解集，

等价于不等式(x-1)(x+2)>0的解集，

等价于函数y=(x-1)(x+2)的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围.

如图，在平面直角坐标系(隐去y轴)中，画出函数丫=(x-1)(x+2)的大致图象，由图象可

知：函数y=(x-1)(x+2)的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是xV-2或x>l

不等式x2+x-2>0的解集是x<-2或x>1

15.如图，已知直线y=-2x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,抛物线y=-2x2+mx+n经过

A,B两点.

(1)求该抛物线的解析式.

(2)若点D是第一象限抛物线上的点，连接0D交直线AB于点C,求累的最大值.

(3)若抛物线上有且仅有三个点Fi,F2,F3,使得AABFI,△ABF2,4ABF3的面积均为定值

S,求定值S及Fl,F2,F3这三个点的坐标.

16.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2-8x+6(存0)相交于A(4,6)和B(|,|),点P是线段

AB上异于A、B的动点，过点P作PDLx轴于点E,交抛物线于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当D为抛物线顶点的时候，求4ADC的面积；

(3)是否存在这样的点P,使△ADC的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在,

请说明理由.

答案解析部分

L【答案】(I)解：将B(4,0)代入丫=-2工2+(m-1)x+2m,

•二-8+4(m-1)+2m=0,

解得m=2,

•*.y=-#+x+4；

A(-2,0)；C(0,4)

(2)解：存在点M使AM+OM最小，理由如下：

作O点关于BC的对称点o',连接A0‘交BC于点M,连接BO,，

由对称性可知，OM=o'M,

.•.AM+OM=AM+O'M?AO',

当A、M、o'三点共线时，AM+OM有最小值,

VB(4,0),C(0,4),

.*.OB=OC,

，NCBO=45。，

由对称性可知/O‘BM=45。，

.,.Bo'_LBO,

二0‘(4,4),

设直线A。'的解析式为y=kx+b,

•(—2k+b=0

4k+b=4'

2

-

=3

得

4

-

=3

24

-

+-3

3X

设直线BC的解析式为y+4,

.-.4k'+4=0,

k=-1，

；.y=-x+4,

y=-x+4

联立方程组_2,4'

y~3x+3

8

X=5

解得

12'

AM(|,韵

c

⑶解：存在点p,使喝最大，理由如下:

连接PB,过P点作PG||y轴交CB于点G,

设P(t,-4t2+t+4),则G(t,-t+4),

.*.PG=-1t2+2t,

：0B=0C=4,

:.BC=4VL

2

,,.SABCP=^X4X(-if2+2t)=-t+4t=1x4V2><PF,

:.PF=-^t2+V2t,

7CD±BC,PF_LBC,

:.PF||CD,

.EF_PF

"CE~CD'

，.Si_EF

.底一西

.S-PF

，

'S2~CD

：B、D两点关于y轴对称，

.\CD=4V2,

得=喂(产一尔)=噎(t-2)2+l，

•；P点在第一象限内，

.,.0<t<4,

.♦.当t=2时，裳有最大值?

、24

此时P(2,4).

2.【答案】⑴解：•.•直线y=-x+V3分别与x轴、y轴交于B、C两点,

AB(3,0),C(0,V3),

AOB=3,OC=V3,

/.tanZBCO=再二百，

AZBCO=60o,

VZACB=90°,

.\ZACO=30°,

.嚼=tan30°=停，即矍=字，解得AO=1,

AA(-1,0)；

(2)解：•抛物线y=ax?+bx+V3经过A,B两点，

心——西

"”七°,解得j-3；

19a+3b+V3=01_2、

Vb=~

.•.抛物线解析式为y=-亭x2+竽x+V5；

(3)解：：MD〃y轴，MH±BC,

.•.NMDH=NBCO=60°,贝1JNDMH=3O°,

；.DH=|DM,MH=坐DM,

4z

，△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+iDM+*DM=3dDM,

乙NZ

.•.当DM有最大值时，其周长有最大值，

•••点M是直线BC上方抛物线上的一点，

二可设M(t,-孚t2+季t+V3),则D(t,-字t+次)，

ADM=-孚t2+竽t+—,则D(t,-亭t+V5)，

；.DM=-4t2+醇t+V3-(-宜t+通)=-t2+V3t=-0(t-)2+这，

33333幺4

.•.当t=|时，DM有最大值，最大值为季，

24

此时3+/DM=3+/x也=96+9

2248

即小DMH周长的最大值为亚|母•

O

3.【答案】(1)解：由题意：：P,Q两点同时到达终点，

所以，当x=0时，y=16,即AD=16；当y=0时，x=24,所以BC=14

过点B作BMJ_AD,过点D作DNLBC,如下图:

又：AD〃BC,可知四边形BMDN为矩形

设AM=m,MD=16—m,即BN=16—m,

.*.CN=m-2,

根据BM=DN,可得：IO?—m2=(4石，一(m—2)2,

解得m=6.即BM=8,CN=4

，四边形ABCD的面积为：(16+14)x8+2=120

(2)解：当点P在线段AB上时，0<xW10，作PE14。，如下图,

贝I」PE//BM,.♦.△APEABM

.AP__PE_AE,即PE=9,AE=|x

Si9QXPE4（等+】6）哈=-L2+醇

对称轴为x=12,a<0

又<xW10

•"•x—10时，SAAPQ最大，为"2

当P在BC上时，10WxW24,SBAPQ=之4QXBM=—+64

k<0,SAAPQ随x的增大而减小，

综上所述，SAAPQ的最大值为半

(3)解：当PQ1AB时，如下图:

；.△APQSAAMB

.AP_AQ，即尹奉解得什竽

••丽=而

当PQ1BC时，可得BP=MQ即%-10=-^x+16-6

解得x=12

当PQ1CD时，如下图:

又,：乙H="ND=乙PEQ=90°,乙PQE=乙DQH

:.APEQ〜△DHQS^CND

.PE_CN

^EQ~DN

由（1）⑵得PE=9,AE=1x,CN=4,DN=8

23

••EQ=-W%+16一耳％

综上所得x=鬻或x=竿或x=12

4.【答案】(1)解：将A,B点坐标代入，得

(a—b+1=0①

(a+b+1=1(?)

_1

解得

1

2

抛物线的解析式为y=-1x2+|x+1；

(2)解：①由直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，得

3m=-1,

即m=-g；

②AB的解析式为y=1x+1,

当PA±AB时，PA的解析式为y=-2x-2,

联立PA与抛物线，得

_12,1「

y——2产+1

y=—2x—2

解得「二力(舍)，，即P6-⑷；

当PBLAB时，PB的解析式为y=-2x+3,

联立PB与抛物线，得y=~2x+2X+1,

y=-2x+3

解得(舍)]:二即P(4,-5),

综上所述：APAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标(6,-14)(4,-5)；

(3)解:如图

由勾股定理，得

AB=J(1+l)2+l2=V5,

设M到AB的距离为h,由三角形的面积，得

h1=V5

点M到直线AB的距离的最大值是喀.

5.【答案】(1)解：设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，

由题意得:偿:案鬻

整理，解得：｛JZ30-

答：甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元.

(2)解：设乙口罩的销售利润为w元，

由题意得：w=(x-30)[100-5(x-40)]=-5x2+450x-9000=-5(x-45)2+1125,

.•.当x=45时，乙口罩的销售总利润最大，最大利润为1125元，

yi=400-8x=400-8x45=40,

.•.甲口罩的销售利润=(45-20)x40=1000元,

二两种口罩的销售利润总和=1125+1000=2125元.

答：当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口难的销售利润总和为2125

元.

(3)解：由题意得：400-8x>[100-5(x-40)],

整理，解得：x<36,

•.•两种口罩的利润总和WA(400-8x)(x-20)+(-5x2+450x-9000)=-13x2+1010x-17000,

V-13<0,对称轴x=要>36,

.•.当x=36时，两种口罩的利润总和最高.

答：若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元.

6.【答案】(1)解：•••二次函数图象过O(0,0),

：•m-4=0,

m=4,

Ay=x2+2x=(x+1)2-1,

二顶点A坐标为(-1,-1).

(2)证明：•.•抛物线顶点坐标为(2/，f2+胃-20),m>2,

A2^m<0；

又♦.•一92+8m_20=W(m-4)2-1,

44

・一62+8加-20<.y0

4.

・•・二次函数y==x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限.

(3)解：设平移后的二次函数表达式为y=x2+bx+c,

•••顶点坐标为(_?,

当x=0时，B(0,c)

22

把(_?,号_)代入y=-x-2中，得c=b+J-8,

VB点在y轴的负半轴上，

r.c<o,

，OB=-c=-b2+2b-8,

4

如图，过点A作AHJ_OB于点H,

由(1)可知：A(-1,-1)

.\AH=1,

•••S“OB=班•AH=品(_"+f-8)*i=-1b2-i&+l=-1(b+l)2+1,

中。，

.•.当b=-l时，此时cVO,AAOB的面积最大，最大值为需

o

7.【答案】(1)解：把(0,0)代入y=x?+(2m-1)x+m2-1,/.0=m2-1,/.m=±l,;•当xVO

时，y随x的增大而减小，.•.对称轴x=—笔3>0,.,.m<1.•.抛物线的解析式为

y=x2-3x

(2)解：①YADax轴，；.A与D关于抛物线的对称轴对称，•.•抛物线的对称轴为x=方，BC=1

.•.点B的横坐标为1，，把x=l代入y=x2-3x,...y=-2,.28=2,.•.矩形ABCD的周长为：

2x2+2xl=6；

②把A(a,b)代入y=x2-3x,Ab=a2-3a,AA(a,a2-3a),令y=0代入y=x?-3x,・力=0或

x=3,・二由题意知：0VaV3,/.AB=3a-a2,由①可知：A与D关于x=9对称，1.D的坐标为(3

-a,a2-3a),AD=|3-a-a|=|3-2a|,分两种情况讨论：

当0<a/|时，；.AD=3-2a,：.L=2(AB+AD)=-2a2+2a+6=-2(a-1)2+,当a=.

时，L的最大值为竽，此时A的坐标为I：,-1)；

当!<a<3时，.*.AD=2a-3,，L=2(AB+AD)=-2a2+10a-6=-2(a-|)2+,当

a=&时，L的最大值为学，此时A的坐标为(趣，-).

ZZ，4

3

—2Q2+2a+6(0<@工幻1匚匚匚

综上所述：L={2,当人的坐标为(另一”或(「一”，

—2a2+10。—6(]<a<3)-

的最大值为竽.

8.【答案】(1)5t；1()-5t

(2)解：如图1,作FM_LBC于M,

BDMC

图1

，FM〃AC,

/.△BFMs/xBAC,

.FM_BF

-，AC=AB,

.FM_10-5t

•,_6_=_T0-，

/.FM=6-3t,

.S=1BDFM=l-5t-(6-3t)=-^t2+15t=-竽(t-1)2+苧,

.S的最大值为竽;

(3)解：如图2中，当DE在BC边上时，作FMJ_AC于M,

A

M

BDE

图2

AFM//AC,

.*.△AFM^AABC,

.FM_AM_AF

••豌=武=宿

.FM_AM_5t

••百="§"=而

AFM=EC=4t,AM=3t,

/.CM=EF=DE=6-3t,

•••BD+DE+EO8,

A5t+6-3t+4t=8,

如图3,当FG在AB边上时,

图3

BDG^ABAC,

.BG_DG_BD

••阮=衣=殖

•BG_DG_St

,•-8-="6"=10，

ADG=FG=3t,BG=4t,

〈BG+FG+AF=AB,

A4t+3t+5t=10,

如图4中，当DG在BC边上时,

图4

，△BFG^ABAC,

.BG__FG_BF

^BC=AC=AB9

.BG_FG_10-5t

•,万=T=^-，

AFG=DG=6-3t,BG=8-4t,

VBD=BG+DG,

A8-4t+6-3t=5t,

如图5中，当EF在边AB上时,

/.△BED^ABCA,

.BEBD

"BC=AC=AB9

・BE_DE_5t

•方=T=TU'

ABE=4t,DE=EF=3t,

VBE-EF=BF,

A4t-3t=10-5t,

综上，t=g或得s或或|s时，正方形DEFG的一边恰好落在RtAABC的一边上.

9.【答案】（1）解：设商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是丫=卜％+6,

.（40k+匕=80

**l60fc+b=60'

解得：售=戏，

3=120

所以商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是y=—x+120,

设公司销售该商品获得的日利润为w元，

w=（%-30）y=-x2+150%—3600=—（x-75）2+2025,

•**x—30之0,—x+120Z0,

A30<%<120,

・，1<0,

抛物线开口向下，函数有最大值，

...当x=75时，W最大=2025,

答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元.

(2)解：w=(%-30-10)(-%+120)=-X2+160%-4800=-(x-80)2+1600,

当W成大=1500时，一(％-80)2+1600=1500,

解得％1=70,%2=90,

V40<x<a,

...有两种情况，

①a<80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大,

.•.当％=a=70时，w康大=1500,

②a280时，在40WxWa范围内w康大=1600#1500,

•••这种情况不成立,

Aa=70.

10.【答案】(1)解：V-4x2+6x-3=y,即-4x2+6x-3-y=0,4=36-16(3+fc)>

0,

解得y<~l>即y的最大值是一..

(2)解：•.?=-2X+3,

>%2-4x+4

即(1—y)x24-(4y—2)%+3—4y=0,A=(4y—2)2—4(1—y)(3—4y)>0,

解得y21,即y的最小值是|.

(3)解：设BO=x,则DE_J2X2+2X+2,设y=(空/，即2^+2x+2

BC~一歼I—BC7X2+2X+1

(2-y)x2+(2-2y)x+2-y=0,4=(2-2y)2-4(2-y)(2-y)>0

解得y?|,所以(器哈丁兄=坐，将ymin=I代入方程得#—x+»0，解得X=

1.

IL【答案】(1)解：把71(-1,0),C(0,5)代入y=-x2+bx+c,

得厂1一+5=。

Ic=5

解得(6=4

c=5•

这个抛物线的解析式为：y=-产+4%+5，

2

令y=0,贝ij-%+4%+5=0，解得%1=5,x2=-1

・・・B(5,0)

m=5；

(2)解：•抛物线的解析式为：y=-%2+4%+5=-(%-2)2+9,

•••对称轴为x=2,

设0(%,—%2+4%+5),

•••DE//X轴，

E(4-x)—+4%+5)»

•••过点。作》轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作

EF1x轴，

•••四边形DEFG是矩形，

•••四边形DEFG的周长=2(-x2+4x+5)+2(x-4+x)=-2x2+12x+2=-2(%-3)2+

20,

.•.当x=3时，四边形DEFG的周长最大，

•••当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(3,8):

(3)解：过点C作CHJ.对称轴于H,过点N作NKly轴于K,

乙NKC=乙MHC=90°,

由翻折得CN=CM,Z.BCN=乙BCM,

:B(5,0),C(0,5)•

.・・OB=OC,

・・・乙OCB=乙OBC=45°,

VCH1对称轴于H,

CH//x轴,

・・・乙BCH=45°,

・・・乙BCH=乙OCB,

•・・乙NCK=乙MCH,

/.△MCH名△NCK(A4S),

:.NK=MH,CK=CH,

•・・抛物线的解析式为：y=—/+4%+5=-2)2+9,

・•・对称轴为%=2,M(2,9),

・・・MH=9—5=4,CH=29

NK=MH=4,CK=CH=2,

・・・N(—4,3),

设直线BN的解析式为y=mx+n,

•••晨4皿”=3,解得j,

I5m+n=0s_5

ln~3

直线BN的解析式为y=-1%+|

•••<2(0)f),

设P(2,p)，

I/5、2?1。।61

•1•PQ=22+(p-3)2=p2-^-p+4，

BP2=(5-2)2p2=9+p2,

BQ2=52+(|；=25+兽，

分两种情况：

①当乙BQP=90°时，BP2=PQ2+BQ2,

.•・9+p2=p2一学p+萼+25+兽，加军得p=苧，

二点P的坐标为(2,第；

②当乙QBP=90°时，P'Q2=BP'2+BQ2>

p2-学p+等=9+p?+25+期，解得p=-9，

•••点P'的坐标为（2,-9）.

综上，所有符合条件的点P的坐标为（2,孕），（2,-9）.

12.【答案】（1）证明：•.•把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折

ZDEF,折痕EG所在的直线交DC于点G、D点的对称点为H点，

AZAEB=ZBEF,NDEG二NHEG,

ZAEB+ZBEF+ZDEG+ZHEG=180°,

A2ZBEF+2ZHEG=180°

.\ZBEG=90°,

・・・NAEB+NDEG=90。，ZEGD+ZDEG=90°,

AZBEA=ZEGD,

VZA=ZD=90°

/.△ABE^ADEG

(2)解：①设AE=x,DG=y,则ED=10・x,

・.,△ABE^ADEG

.AB_AE.6_x

••前一DG^lO^x-y

y=一金2+|x(0<x<10)

o3

当x=5时,y最大=

②由AB=BF=6,BC=10

NBFO90。得FC=8,

・・,折叠，

AZAEB=ZBEF,

VAD/7BC,

AZAEB=ZCBE,

AZCBE=ZBEC

・・・EC=BC=10,

・・・EF=AE=2

ED=EH=8

由△ABEs^DEG,得DG=I

o

作HQ_LDC由HC=2,

：HQ〃DE,

HQC^AEDC,

.HQCHtinHQ2

解之：HQ=|

△DGH的面积为4xH(?DG=|x|x|=^

13•【答案】(1)解：:B、C两点的横坐标相同，

二抛物线y=ax?+bx+l只能经过A,C两点或A、B两点，

把A(1,2),C(2,1),代入y=ax2+bx+l,得好：?：？

14。+ZD4-1=1

解得亡;

把A(1,2),B(2,3),代入y=ax?+bx+l,得\

解得£=?(不合题意，舍去)；

3=1

.\a=-1,b=2；

(2)解：①；a=-1,b=2,

二抛物线的解析式为y=-x2+2x+l,

•.•平移后抛物线的顶点在直线y=x+l上，顶点的横坐标为m,

二平移后抛物线的顶点坐标为(m,m+1),

平移后的抛物线解析式为y=-(x-m)2+m+l；

②令x=0,得y=-m2+m+l=-(m-)2+,

L4

.•.当m=1时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为1.

14.【答案】(1)解：A=(2a)2-4x(-1)x(-4)=4a2-8,

①当抛物线和x轴没有交点时，则A<0,

即4a2-8V0,解得-V2<a<V2；

②当抛物线和X轴有一个交点时，贝3=0,

即4a2-8=0,解得a=±或；

③当抛物线和x轴有两个交点时，则A>0,

即4a2-8>0,解得a>在或a<-V2;

综上，当抛物线和x轴没有交点时，-V2<a<V2,当抛物线和x轴有一个交点时，a=±72,

当抛物线和x轴有两个交点时，a>鱼或a<-V2；

(2)解：当a=l时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=2,

①当-2<m<2时，

2

则抛物线在x=m时取得最大值，此时y=-|m+2m-4,抛物线在x=-2时，取得最小值，y

=-1x(-2)2+2X(-2)-4=-10,

则-m2+2m-4-(-10)=4m,解得m=-6(舍去)或2；

②：对称轴为直线x=2,...与横坐标对称点的横坐标为2+4=6,

当2VmM6时，

y圾大=~*X22+2X2-4=-2,y破小=-x(-2)2+2x(-2)-4=-10,

则-2-(-10)=4m,解得m=2(舍去)；

③当m>6时，

y最大=-④X22+2X2-4=-2,y最小=-m2+2m-4,

则-2-(-|m2+2m-4)=4m,解得m=6-4V2(舍去)或6+4V2,

综上，实数m的值为2或6+4鱼.

15.【答案】(1