2024年中考数学总复习第四章《三角形》第四节：特殊三角形（附答案解析）

2024年中考数学总复习第四章《三角形》第四节：特殊三角

形

★解读课标★-------------熟悉课标要求，精准把握考点

1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等；

底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角

相等的三角形是等腰三角形；

2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°,及等边三角形的判定定理:

三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.

3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互

余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；

4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

★中考预测★-------------统计考题频次，把握中考方向

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为

10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角

形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，

这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直

角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。

★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养

考点讲解

等腰三角形1.性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.

推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的

顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.

2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相

等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边

相等.

等边三角形1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.

3.判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰

三角形是等边三角形.

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推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半.

直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2.性质：(1)直角三角形•两锐角互余；

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么•它所对的直角边等

于斜边的一半；

(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3.判定：(1)两个内角互余的三角形是直角三角形；

(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三

角形.

勾股定理及逆1.勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，

定理即：d+bJ/

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那

么这个三角形是直角三角形.

线段垂直平分1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的

线一条对称轴.

2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂

直平分线.

注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连

线段的垂直平分线.

3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两

端点连接起来.

4.判定：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线

上.

★方法导引★--------------总结思想方法，提升解题效率

1.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

2,等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.

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3.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则2<a.

2

5.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、ZC,则NA=180°-2/B,Z

6.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系

转化为边的相等关系的重要依据.

7.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰

三角形.

8.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

9.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

10.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

11.在等腰三角形中，只要有一个角是60°,无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是

等边三角形.

12.等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高重合.

13.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角

形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据.当

题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直

角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

14.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c.若b

为斜边，则关系式是a'+cJd；若a为斜边，则关系式是向代乩

15.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、

一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解.

16.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点01等腰三角形

1.（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是（）

A.8cmB.13cmC.8cm或13cmD.11cm或13cm

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【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm,而没有明确腰、底分别是多少,

所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：当3cm是腰长时，3,3,5能组成三角形，

当5cm是腰长时，5,5,3能够组成三角形.

则三角形的周长为11cm或13cm.

故选:D.

【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目

一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，

这点非常重要，也是解题的关键.

2.（2022•海南）如图，直线ni〃n,AABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交

AB于点E,交AC于点F,若21=140°,则N2的度数是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线.

【分析】先根据等边三角形的性质可得NA=NB=NC=60°,由三角形外角的性质可得

/AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

AZA=60°.

对于AAEF,VZ1=ZA+ZAEF=14O°,

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A

.•.ZAEF=140°-60°=80°,

AZDEB=ZAEF=80°,

AZ2+ZDEB=180°,

AZ2=180°-80°=100°,

故选：B.

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目

比较基础，熟练掌握性质是解题的关键.

3.（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=24°，延长BC到点D,使CD=AC,

连接AD,则ND的度数为（）

D.51°

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】利用等边对等角求得NB=NACB=78°,然后利用三角形外角的性质求得答案

即可.

【解答】解：・・・AB=AC,ZBAC=24°,

・・・NB=NACB=78°.

VCD=AC,ZACB=78°,ZACB=ZD+ZCAD,

AZD=ZCAD=AZACB=39°.

2

故选：A.

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【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难

度不大.

4.（2022•政和县模拟）已知，在AABC中，AB=AC,BDLAC于D,求证：ZA=2ZCBD.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力.

【分析】过A作AELBC于E,根据等腰三角形的性质得到NBAC=2NCAE,根据三角形的

内角和得到NCBE=NCAE,于是得到结论.

【解答】证明：过A作AE1_BC于E,

VAB=AC,

.••ZBAC=2ZCAE,

VBD±AC,

.../BDC=NAEC=90°,

：.ZCBD=90°-ZC,ZCAE=90°-ZC,

.".ZCBE=ZCAE,

/.ZBAC=2ZCBD.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，垂直的定义，正确地作出辅

助线是解题的关键.

5.（2022•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分NBAD,过点D作DE

〃BC交AC于点E,DE=DC.求证：AD=AB.

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D

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】连接BE,根据等腰三角形的性质得到NDEC=NDCE,根据平行线的性质得到/

DEC=NBCE,根据角平分线的定义得到/DAC=NBAC,根据全等三角形的性质即可得到

结论.

【解答】证明：：DE=DC,

；.NDEC=NDCE,

：DE〃BC,

.*.ZDEC=ZBCE,

.••ZDCE=ZBCE,

；AC平分/BAD,

/DAC=/BAC,

VAC=AC,

.".△ADC^AABC(ASA),

/.AD=AB.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角

形的判定定理是解题的关键.

6.(2022•柯桥区一模)如图，已知AB〃CD,AD是NCAB的平分线且交CD于点D.

(1)若NACD=130。，求NDAB的度数;

(2)若CELAD,垂足为E,求证：AE=ED.

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

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【分析】(1)由平行线的性质易得ND=NBAD,由角平分线的定义可得NCAD=NBAD,

利用三角形的内角和定理可得ND的度数，易得结论；

(2)利用等腰三角形的三线合一可得结论.

【解答】(1)解：：AB〃CD,

.*.ZD=ZBAD,

：AD是/CAB的平分线，

；.NCAD=/BAD,

ZCAD=ZD,

VZACD=130°,

,ZD=180°-130°=25o,

2

.".ZDAB=25°；

(2)证明：NCAD=NBAD,

/.CA=CD,

VCE±AD,

AAE=DE.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，利用角平分线的

性质和平行线的性质得出/CAD=ND是解答此题的关键.

7.(2022•温州)如图，BD是aABC的角平分线，DE〃BC,交AB于点E.

(1)求证：ZEBD=ZEDB.

(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

(2)利用平行线的性质可得/ADE=NAED,则AD=AE,从而有CD=BE,由(1)得，Z

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EBD=ZEDB,可知BE=DE,等量代换即可.

【解答】（1）证明：：BD是aABC的角平分线，

ZCBD=ZEBD,

VDE/7BC,

.*.ZCBD=ZEDB,

.,.ZEBD=ZEDB.

（2）解：CD=ED,理由如下:

：AB=AC,

.*.ZC=ZABC,

VDE/7BC,

；.NADE=NC,NAED=NABC,

/.ZADE-ZAED,

AAD=AE,

ACD=BE,

由（1）得，ZEBD=ZEDB,

；.BE=DE,

ACD=ED.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等

知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键.

8.（2022•启东市模拟）如图，BE是AABC的角平分线，在AB上取点D,使DB=DE.

（1）求证：DE/7BC；

（2）若NA=65°，ZAED=45°,求NEBC的度数.

【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】（1）根据角平分线的定义可得/DBE=/EBC,从而求出/DEB=/EBC,再利用

内错角相等，两直线平行证明即可；

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（2）由（1）中DE〃BC可得到NC=NAED=45°,再根据三角形的内角和等于180°求

出NABC,最后用角平分线求出NDBE=NEBC,即可得解.

【解答】（1）证明：:BE是aABC的角平分线，

AZDBE=ZEBC,

VDB=DE,

・・・NDEB=NDBE,

AZDEB=ZEBC,

，DE〃BC；

（2）解：VDE/7BC,

・・・NC=NAED=45°,

在aABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

AZABC=180°-ZA-ZC=180°-65°-45°=70°.

〈BE是aABC的角平分线，

.-.ZDBE=ZEBC=1ZABC=35°•

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准

确识别图形是解题的关键.

9.（2022•洞头区模拟）如图，在AABC中，点E、F在AC上，且AE=CF,AD/7BC,AD=BC.

（1）求证：△EBCgZ\FDA.

（2）当AE=EB,ZDFC=130°时，求NABE的度数.

【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】（1）根据平行线的性质得到/DAF=/C,根据全等三角形的判定定理即可得到

结论；

（2）根据平角的定义得到/AFD=50°,根据全等三角形的性质得到NBEC=NAFD=50°,

根据等腰三角形的性质即可得到结论.

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【解答】（1）证明：；AD〃BC,

.".ZDAF=ZC,

；AE=CF,

；.AE+EF=CF+EF,

即AF=EC,

在AEBC和AFDA中，

rBC=AD

•ZC=ZDAF«

CE=AF

.,.△EBC^AFDA（SAS）；

（2）解：VZDFC=130°,

；.NAFD=50°,

VAEBC^AFDA,

.*.ZBEC=ZAFD=50°,

VAE=BE,

ZBAE=ZABE,

VZBEC=ZBAE+ZABE-500,

AZABE=25°.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型.

10.（2022•西湖区校级模拟）（1）如图1,在AABC中，AB=AD=DC,/BAD=20°,求/

C的度数；

（2）如图2,在AABC中，AB=AD=DC,且AC=BC,求NC的度数.

（图1）（图2）

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力.

【分析】（1）根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质.由AB=AD=DC可得

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ZDAC=ZC,易求解；

(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可.

【解答】解:VZBAD=20°,AB=AD,

."-ZABD-ZADB=80°,

由三角形外角与外角性质可得NADC=180°-ZADB=100°,

又；AD=DC,

.".ZC=AZADB=40°,

2

；.NC=40°.

故/C的度数是40°；

(2)设NB=x°,

VCA=CB,

；.NA=NCAB=x°,

VAB=AD=DC,

.♦./B=/ABD=x°,NC=1x°,

2

在AABC中，x+x+2x=180,

2

解得：x=72,

.*.ZC=AX72O=36°.

2

故NC的度数是36°.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性

质.此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解.

★变式训练★-------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.(2022•荆州)如图，直线AB=AC,ZBAC=40°,则N1+N2的度数是()

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

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【分析】过点C作CD〃匕，利用平行线的性质可得N1+N2=NACB,再由等腰三角形的

性质可得NACB=NABC,从而可求解.

【解答】解：过点C作CD〃L,如图，

Vh//l2f

：.h//h//CDt

AZ1=ZBCD,Z2=ZACD,

AZ1+Z2=ZBCD+ZACD=ZACB,

VAB=AC,

:.ZACB=ZABC,

VZBAC=40°,

AZACB=A(180°-ZBAC)=70。，

2

.,.Zl+Z2=70°.

故选：B.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性

质得/l+/2=/ACB.

2.(2022•泌阳县四模)如图，a〃b,△ABC为等边三角形，若Nl=45°,则/2的度数为

()

A.105°B.120°C.75°D.45°

【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】先根据等边三角形的性质求出NACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论.

【解答】解：:△ABC为等边三角形，

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AZACB=60°,

•IN1=45°,

AZ1+ZACB=1O5°,

・.・a〃b,

/.Z2=Z1+ZACB=1O5°.

故选：A.

【点评】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平

行，内错角相等.

3.(2022•玉林模拟)如图，在aABC中，AB=AC,ZA=36°,BD,CE分别平分NABC,Z

ACB.若CD=5.则CE等于()

A.4B.4.5C.5D.5.5

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和得到NABC=NACB=72°,根据角平分

线的定义得到NDBC=NACE=36°,根据三角形的内角和得到NCED=180°-ZACE-Z

BDC=72°,于是得到结论.

【解答】解：VAB=AC,ZA=36°,

AZABC=ZACB=72°,

VBD,CE分别平分NABC,ZACB,

AZDBC=ZACE=36°,

AZBDC=180°-36°-72°=72°,

AZCED=180°-ZACE-ZBDC=72°,

:.ZCED=ZCDE,

・・・CE=CD=5,

故选：C.

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【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形

的性质是解题的关键.

4.（2022•二道区模拟）如图，在AABC中，AB=AC,以点C为圆心，CB长为半径画弧，交

AB于点B和点D,再分别以点B,D为圆心，大于/BD长为半径画弧，两弧相交于点瓦

作射线CM交AB于点E.若/A=26°,则NBCE的度数是（）

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】由作图可知CE1AB,再根据等腰三角形的性质可得/ABC的度数，进一步即可

求出NBCE的度数.

【解答】解：由作图可知CELAB,

，NBEC=90°,

：AB=AC,NA=26°,

.*.ZABC=ZACB=77°,

/.ZBCE=90°-77°=13°,

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

5.（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB〃CD,道路AB与AE的夹

角NBAE=50°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,贝I]NE的度数为（）

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质.

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【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】先根据平行线的性质，由AB〃CD得到NDFE=NBAE=50°,根据等腰三角形的

性质得出/C=NE,再根据三角形外角性质计算/E的度数.

【解答】解：：AB〃CD,

.,.ZDFE=ZBAE=50°,

VCF=EF,

NC=/E,

VZDFE=ZC+ZE,

.../C=」/DFE=」X50。=25。，

22

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行

线的性质是解题的关键.

6.（2022•长春一模）如图，在AABC中，ZBAC-1000,/ABC=26°,点D在边BC上，

连结AD.当AD=AC时，NADC的大小为（）

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据三角形内角和定理与等腰三角形性质求解即可.

【解答】解：VZBAC=100°,/ABC=26°,

；.NC=180°-ZBAC-ZABC=54°,

；AD=AC,

.,.ZADC=ZC=54°,

故选：A.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键.

7.（2022•江汉区校级模拟）如图，aABC中，已知AB=AC,BC平分/ABD.

（1）求证：AC/7BD；

（2）若NA=100°,求N1的度数.

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A,C

Kl_____________

BD

【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质.

【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】(1)因为AB=AC,根据等腰三角形的性质得到NABC=NC,由角平分线的定义

可得/ABC=/1,根据等量关系得到/1=/C,再由平行线的判定证得结论；

(2)由平行线的性质得到NABD=80°,所以NABC=N1,依此即可求解.

【解答】(1)证明：：AB=AC,

AZABC=ZC,

；BC平分NABD,

.*.ZABC=Z1,

：.ZC=Z1,

；.AC〃BD；

(2)解：：AC〃BD,/A=100°,

AZABD=180°-ZA=80°,

/.Zl=40°.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质及角平分线定义，熟练掌握

平行线的判定与性质是解决本题的关键.

8.(2022•瑞安市二模)如图，AE平分NBAC,AC=CE.

(1)求证：AB〃CD.

(2)若NC=50°,求NAED的度数.

【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】(1)利用等腰三角形的性质和角平分线的定义证得NCEA=/BAE后即可证得

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AB/7CD；

（2）根据等腰三角形的性质求得底角的度数，从而求得答案.

【解答】（1）证明：・・・AC=CE,

，ZCAE=ZCEA,

TAE平分NBAC,

・・・NCAE=NBAE,

:.ZCEA=ZBAE,

，AB〃CD；

（2）解：VAC=CE,ZC=50°,

.\ZCEA=ZCAE=1^-1^2=65°,

2

AZAED=180°-ZAEC=180°-65°=115°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的判定，属于几何基础题，比较简单.

9.（2022•遂川县一模）如图：已知AB=AC=AD,且AD〃BC

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质.

【专题】证明题.

【分析】根据平行线的性质得到ND=NDBC,根据等腰三角形的性质、等量代换证明.

【解答】证明：・・・AD〃BC,

AZD=ZDBC,

VAB=AD,

AZD=ZABD,

AZABD=ZDBC,

AZABC=2ZD,

・.・AB=AC,

AZABC=ZC,

:.ZC=2ZD.

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【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关

键.

10.（2022•建邺区二模）如图，已知等腰AABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成

12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长.

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】如图，AB=AC,BD为腰AC上的中线，设AD=DC=x,BC=y,根据三角形周长

得（x+2x=12或Jx+2x=21,然后分别解方程组后求出三角形的三边，最后利用三角形三

|y+x=21ly+x=12

边的关系确定三角形的底边长.

【解答】解：AB=AC,BD为腰AC上的中线，设AD=DC=x,BC=y,

旧Jx+2x=12少（x+2x=21

根据题意得4或4,

|y+x=21Iy+x=12

解得I'"或（x=7,

ly=17Iy=5

当x=4,y=17时，等腰三角形的三边为8,8,17,显然不符合三角形的三边关系，舍

去；

当x=7,y=5时，等腰三角形的三边为14,14,5,

答：这个等腰三角形的底边BC长是5.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角

相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

11.（2022•仁寿县模拟）如图，在aABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD,BE

平分/ABC交AC于点E,过点E作EF〃BC交AB于点F.

（1）若NC=36°,求/BAD的度数；

（2）求证：FB=FE.

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【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形.

【分析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质证明/ADB=90°,再利用等腰三角形

的性质求出NABC即可解决问题.

(2)只要证明NFBE=NFEB即可解决问题.

【解答】(1)解：・・・AB=AC,

・•・ZC=ZABC,

VZC=36°,

AZABC=36°,

VBD=CD,AB=AC,

AAD1BC,

AZADB=90°,

AZBAD=90o-36°=54°.

(2)证明：・・・BE平分NABC,

・・・ZABE=ZCBE=AZABC,

2

・・，EF〃BC,

・・・ZFEB=ZCBE,

AZFBE=ZFEB,

・・.FB=FE.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

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本知识，属于中考常考题型.

12.（2022•南岗区一模）已知：在aABC中，AB=AC,ZA=36°,CD是aABC的角平分线.

（1）如图1,求证：AD=BC；

（2）如图2,过点D作DE〃BC交AC于点E,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写

出图2中的四个等腰三角形（AABC除外）.

【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】（1）根据角平分线的定义可得/ACD的度数，再由等腰三角形的判定可得结论；

（2）先分别计算各个角的度数，再根据等腰三角形的判定可得答案.

【解答】（1）证明：，AB=AC,ZA=36°,

0

./n_/ArD180°-ZA-180-36°

22

；CD是4ABC的角平分线，

；./BCD=/ACD=36°,

.*.ZA=ZACD,ZBDC=1800-ZB-ZBCD=180°-36°-72°=72°,

AAD=DC,BC=CD,

；.AD=BC；

（2）解：由（1）知，NA=NACD=NBCD=36°，NB=NBDC=72°,

VDE/7BC,

AZEDC=36°=ZECD,ZAED=ZACB=72°,

；.AD=AE,AD=DC,DE=EC,CD=CB,

图中等腰三角形有:AADE,AADC,ADEC,ABCD.

【点评】此题考查的是等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解

决此题的关键.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

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考点02直角三角形

1.(2022•贺州)如图，在RtaABC中，ZC=90°,NB=56°,则/A的度数为()

A.34°B.44°C.124°D.134°

【考点】直角三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可.

【解答】解：在RtaABC中，/C=90°,

则NB+NA=90°,

VZB=56°,

.••ZA=90°-56°=34°,

故选：A.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键.

2.(2022•湖里区二模)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼

接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b),大正方形的面积

为Si,小正方形的面积为则用含S”8的代数式表示(a+b)2正确的是()

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

22

【分析】由勾股定理与正方形的性质得出a+b=S„(b-a)=S2,再求出4个直角三

角形的面积，即可得出结果.

【解答】解：•.•大正方形的面积为S”小正方形的面积为

2

/.a'+b"=Si,(a-b)=S2,

第22页共78页

.,-4个直角三角形的面积=4X2ab=2ab=S-S2,

2

222

（a+b）=a+b+2ab=Si+Si-S2=2SI-S2,

故选：C.

【点评】本题主要考查勾股定理的证明，三角形的面积，求得a?+b2=S”2ab是

解题的关键.

3.（2022•息烽县二模）如图，在AABD中，ZD=90°,CD=3,AD=4,ZACD=2ZB,则

BD的长是（）

A.5B.6C.7D.8

【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力.

【分析】根据勾股定理求出AC,根据三角形的外角的性质得到NB=NCAB,根据等腰三

角形的性质求出BC,计算即可.

【解答】解：在AABD中，ZD=90",CD=3,AD-4,

•#-AC=VAD2+CD2=A/42+32=5'

VZACD=2ZB,ZACD=ZB+ZCAB,

ZB=ZCAB,

，BC=AC=5,

，BD=BC+CD=8,

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的外角的性质，直角三角形的两条直角边长分

别是a,b,斜边长为c,那么

4.（2022•东莞市校级二模）直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边

上的高为（）

A.5B.理C.宜巨D.百巨或四

5445

【考点】勾股定理.

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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】分长为4的边是直角边、长为4的边是斜边两种情况，根据勾股定理和三角形

的面积公式计算即可.

【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h,

当长为4的边是直角边时，斜边长=在不=5,

则a.X3X4=Lx5Xh,

22

解得：h=£,

5

当当长为4的边是斜边时，另一条直角边长=谆7=*，

」X3xW=上X4Xh,

22

解得：h=.3夕一,

4_

综上所述，直角三角形斜边上的高为」2或盟

54

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关

键.

5.（2022•庐阳区二模）如图，在4X4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1,4ABC的

三个顶点都在格点上，已知AC=2&,BC=遥，画出△ABC,并判断AABC是不是直角

三角形.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】常规题型.

【分析】根据勾股定理结合网格结构，求出AB2=42+32=25,画出AC=2遥，BC=

再利用勾股定理的逆定理判断AABC是直角三角形.

【解答】解：如图，AABC即为所求.

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：AC=2遥，BC=V5，

.-.AC2+BC2=20+5=25,

VAB2=42+32=25,

/.AC2+BC2=AB2,

.♦.△ABC是直角三角形.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a*+b2=c2,

那么这个三角形就是直角三角形.也考查了勾股定理.

6.(2022•路南区三模)已知：aABC的边长a=i?-1,b=2n,c=n2+l,且n>L

(1)判断三角形的形状，并说明理由；

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；

(2)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得n、l=2(n2-1),求出n,进而得

出aABC的三边长.

【解答】解：(1)AABC是直角三角形，理由如下：

-1,b=2n,c=n"+l,

/.a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n-2n2+l+4n2=n"+2n2+l=(n2+l)2,

<?=(n2+l)2,

.•.a2+b2=c2,

.•.△ABC是直角三角形，且/C=90°；

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(2)VZB=60°,ZC=90°,

Ac=2a,即n，+l=2(r?-l),

n2=3,

解得n=F或n=-V^(不合题意，舍去)，

-===>

当11="'/"^时'a=n2_1_^->^3)1=312,b2n2'/3»c=2a=4.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足^+152=(?,

那么这个三角形就是直角三角形.也考查了含30°角的直角三角形的性质.

7.(2022•下城区校级二模)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上(不与点A,点C

重合)，连接BD,BD=AB.

(1)设NC=5设时,求NABD的度数;

(2)若AB=5,BC=6,求AD的长.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】(1)由等腰三角形的性质得出ZABC=NC=50°,则可求出答案；

(2)过点B作BMJ_BC于点M,BNLAC于点N,由勾股定理可得出AM=4,由勾股定理得

出25-4=36-(5-x)2,则可得出答案.

【解答】⑴解：•••AB=AC,

.*.ZABC=ZC=50°,

.••ZA=1800-ZABC-ZC=80°,

VBD=AB,

.•.NBDA=NA=80°,

AZABD=180°-ZA-ZBDA-200,

(2)解：过点A作AMLBC于点M,BNLAC于点N,

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A

设AN=x,贝l]CN=5-x,

VAB=AC,AM1BC,

是BC的中点，

：AB=5,BC=6,

•'-AM=VAB2-BM2=4'

VBN^ABa-AN^B^-CN2,

A25-X2=36-(5-x)2,

•••Yx_—7^―,

5

.,.AD=2AN=H

5

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题

的关键.

★变式训练★--------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.(2022•绍兴)如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，ZC=30°,AC〃

EF,则/1=()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【考点】直角三角形的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据平行线的性质，可以得到/CBF的度数，再根据/ABC=90°,可以得到N1

的度数.

【解答】解:VAC/7EF,ZC=30°,

，NC=/CBF=30°,

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VZABC=90°,

AZI=180°-ZABC-ZCBF=180°-90°-30°=60°,

故选：C.

【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利

用平行线的性质解答.

2.（2022•法库县模拟）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长.其中能构成直角三角

形的是（）

A.五5/5B.2,3,4C.6,7,8D.1,&，M

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答.

【解答】解：A、（&）2+（F）2=6,（V5）2=5,

:.（V2）2+（VI）2#（V5）2,

不能构成直角三角形，

故A不符合题意；

B、V22+32=13,42=16,

.北转关42,

不能构成直角三角形，

故B不符合题意；

C、V62+72=85,8?=64,

.,.62+7V82,

...不能构成直角三角形，

故C不符合题意：

D、（V2）、『=3,（V3）

A（V2）2+12=（V3）2,

二能构成直角三角形，

故D符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

3.（2022•赫章县模拟）如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成.若四边形ABCD

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的面积为13,中间空白处的四边形EFGH的面积为1,直角三角形的两条直角边分别为a

A.12B.13C.24D.25

【考点】勾股定理的证明；完全平方公式；