江苏省连云港市2023-2024学年高三年级上册期中考试 数学含答案

江苏省连云港市2023-2024学年高三上学期期中考试

2022-2023学年第一学期期中调研考试

高三数学试题

注意事项：

1.考试时间120分钟，试卷满分150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.设加为实数，A=二{加-1,-31,B={2m_1,加一3}.若/Cl5={-3},则m

A.1B.-1C.0D.0或-1

2.“/<1”是“。<2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

z

eR),若」■<(),则加=(

3.设Z]=2+3i,z2=m—i(m)

2233

A.——B.-C.——D.-

3322

4.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强

度随着深度增加而减弱，可用〃=/°e-KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）是

海水深度，ID（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度。处和海面的光强.已知某海区5米深

处的光强是海面光强的40%,则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln2»0.7,ln5«1.6）（）

A.0.2B.0.18C.0.16D.0.14

5.已知2cos(2。+，)-3cos/?=0,则tanatan(a+/)=()

11

A.5B.-C.-5D.——

55

“小产、

”，则()

6.若〃=1万)，b=log32,c--

3

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

7.设G,b,己都是单位向量，且万与B的夹角为60。，则修—的最大值为（）

8.若函数/(x)=sin(yx—Gcosox在7171

75上存在唯一的极值点，则正数0的取值范围是(

511

B.U5,y

33

511

D.5,

33uT

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.在等比数列｛%｝中，%=8，则()

A.{a/〃+i}的公比为4B.{log2^}的前20项和为170

35

C.{4}的前10项积为2D.{an+an+l}的前n项和为|—1)

10.已知直线/：mx-y-^-l-m=0(mGR),贝U()

A.直线/过定点(1,1)B.直线/与圆/+/=2相切时，加的值是一1

C.原点到直线I的最大距离为2D.直线/与圆V+y2—4x+2=0相交

m—n

11.定义在(—1/)的函数/(x)满足/(m)—/(〃)=/,且当—l<x<0时，/(x)<0,则(

1—mn

A./(x)是奇函数B./(x)在(-1,1)上单调递减

12.在正四棱柱Z8CD—481GA中，AB=1,AAl=2.H,耳，E分别为NC,A,Q,8片的中点，点〃

在直线"i上，万必=4防1,2eR.下列说法正确的有()

1

A.当％=—时，及M与q/所成角的余弦值为J

23

B.当4=工时，点M到平面4GE的距离为电

42

3

c当彳=a时，用/,平面4GE

D.若平面ABM与平面481c所成锐二面角的余弦值为,则X=2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知/(x)=3sinx-4tanx+l,若/(a)=2,则/(-a)=.

14.若直角三角形两条直角边的和为10,则其斜边的最小值是.

22

15.点下为双曲线二―4=1(a>0,b〉0)的右焦点，直线y=2b与双曲线交于8,C两点，且

a"b~

ZBFC=90°,则该双曲线的离心率为.

16.如图，对于曲线G所在平面内的点。若存在以。为顶点的角°,使得对于曲线G上的任意两个不同的点

A,8恒有NZ05,a成立，则称角。为曲线G的相对于点。的“界角”，并称其中最小的''界角”为曲线G

xevl+l,x>0

的相对于点。的“确界角”.已知曲线C：y=12(其中e是自然对数的底数)，点。为坐标原

—x~+1,x„0

116

点，曲线C的相对于点。的“确界角”为广，贝Usin£=.

四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知数列｛。〃｝满足---1----1----1----1-------〃.

a2a3an

(1)求数列｛%｝的通项公式

(2)若数列也｝的前〃项和为S,,证明：Sn<-.

a”%+i2

18.（12分）

TT

在△ZBC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知/=—（1+=2sinC.

6

(1)证明：b=42a；

(2)若445。的面积为2+26,求6.

19.（12分）

如图，在几何体NBCDEb中，四边形N8CD是边长为3的正方形，平面/跳E与平面CDE尸的交线为

EF.

（1）证明：EF//AB-,

（2）若平面必C，平面48CD,〃为8C的中点，FH=2,FC=2.5,EF=15,求该几何体的体积.

20.（12分）

某高中有50名学生参加数学竞赛，得分（满分：150分）如下:

[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

女生145532

男生0241293

（1）若得分不低于120分的学生称为“数学优秀者”.同是否有95%的把握认为“数学优秀者”与性别有关

（2）若在竞赛得分不低于130分的男生中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在［140,150］内的概率.

n(ad-be)2

附：K2=其中n=a+b+c+d.

(a+Z))(c+t7)(a+c)(Z?+t/)

pg.ko)0.050.0250.0100.001

k03.8415.0246.63510.828

21.(12分)

22(

己知椭圆j+=l经过点M-2,

cici—7

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过点N（0,6）的直线1交该椭圆于C,。两点（点C在点。的上方），椭圆的上、下顶点分别为4,B,

直线幺。与直线8c交于点。.证明：点。在定直线上.

22.（12分）

1Y

已知函数/（x）=-----\-a\mx.

x-1)

（1）若/（x）〉0恒成立，求实数a的取值范围;

（2）若/（X）在区间（1,+oo）上存在极值，求实数a的取值范围.

2022〜2023学年第一学期期中调研考试

高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.【答案】B

【解析】A[}B={-3},则2机一1=一3或〃z-3=-3,...机=一1或0

机=-1时，Z={—2,—3},5={-3,-4},Zn5={—3},满足.

机=0时，^={-1,-3},5={-1,-3},^05={-1,-3},不满足，选B.

2.【答案】A

【解析则一则一定有。<2,充分.

a<2时，不一定有/<1,不必要，选A.

3.【答案】A

【解析】、=2+3i=（2+3i）」+i）=2M+（2q+3+）i—3

22

z2m—im+1m+1

2m-3+（2+3m）i2,

=---------------------<0,2+3m=0,m=—，选A.

m2+l3

4.【答案】B

2?

【解析】4O%/o=/oe-5，・・.e-5K5K=ln—,

°°55

5.【答案】D

【解析】2cos(2a+£)=3cos4,贝(J2cos(a+P+a)=3cos(a+2一。)

2cosacos(a+0-2sin(a+/?)sino=3cos(a+cosa+3sin(a+0sina,,

一5sin(a+/?)sina=cos(a+0cosa,-5tan(a+tana=1,

tan(6K+/?)tana,选D

6.【答案】C

j，^=log32>pC邛

【解折】a=<＞—,工。最小.

I2

171c31百371c5

—<b=log,2<—,—<c=——<—,p=log,2>—,c<—,a<c<b,选C.

234234388

7.【答案】D、

(｝巧

【解析】设1=(1,0),b=c=(x,y),x2+y2=1.

一7

(1V3

)

(c-a)(c-6=(x-l,j)x——,y------+y>―-%

22\2)

=/-也y、-3c°s”@sind

222222222

——V3sin||—+\/3,选D

232

8.【答案】B

nnn.7T717C7171

【解析】/(x)=2sinG)X----—<x<—,n贝―①---<cox-----<—a)-----

36263323

nnn

—CD----<一

nn632511

/(x)在上存在唯一的极值点，贝心-<。W—.

石'57in〃，333

—<——a)----<—n

〔2232

7171713

—<—O)----<—71,r

2632J7

或＜，♦♦5W(yW—，选B.

3万乃乃，53

---<——CO-----<—71

I2232

7T7T7T3

—FknV——co----<—7i+k兀

2662

左21时，＜,无解.

3771万,57

一兀+k兀<——co----<-n-\-kn

12232

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.【答案】ABC

【解析】/=8,；.q=2,=L-2"T=2"2,4土%1卫=/=4,A对.

2a„an+i

log2tzw=n-2,10g2。]+log2472H---Flog2a20=—1+0H---1-18=170,B对.

的2…%0=2…°++8=235,C对.{%+4+]}的前〃项和|(2"_1),D错,

选ABC.

10.【答案】AB

【解析】加一天+1=0过定点尸(1,1),A对.

,,、、1—m\I—

直线/与圆x+y=2相切时，一I=A/2,・••加=—1,B对.

Vm2+1

。尸=血，.•.原点到/的最大距离为正，C错.

圆x?+72-4x+2=0,化简(x-2)2+/=2,圆心(2,0),r-41,

尸（1,1）在圆上，直线/与圆可能相切，D错，选AB.

11.【答案】AC

m-n

【解析】〃=0时，/(m)-/(O)=/(«),.--/(0)=0,/(«)=/(«)+/

1—mn

加=0,/（0）=/（〃）+/（—〃），.•./（X）为奇函数,A对.

11,m-n711

n=—M加=一时，------=一,C对.

321-mn]_』5I3I

~6

—l＜x＜0时，/（x）＜0,而/（0）=0,不可能单调减，B错.

x-x

令_1<否</<1，则/(%)—x2%]一%2<0,

、1一卬*1-xrx2

占一々门_（1+占）（1+々）（\

>o,.­._i<Az^/再一/

<0)<0

1-XxX21-XxX21-xxx2

则/（再）-/（Z）＜0,即/（再）＜/（马），则/（X）在（-1,1）/，

也＞吗MgM扑叫｝D错'选AC

12.【答案】BC

【解析】如图建系，片（1,1,2）,q（0,1,2）,£（1,1,1）.

对于访=(-1,0,1),

1aar)r)

对于B,S^MA[C[=-x-x2xV2=-^-,E到面"Ze的距离为B到面/CC/i的距离d=\-,

=-Xx^——=一=4G=V2•*•SAQ————.

—EMAC,EA}=EC、9EA

H-AZT4JC]3424]]]]ZA7IYIJCJ2

11J3

设M到平面4GE的距离刀，则一=—・J*3_〃，.•.//=J,B对.

114322

对于C，2=jM==(-1,0,1),=(-1,1,0),

西•西=0,西•猛=0,；.MB]上面4GE，c对.

对于D,Mlz(l,0,0),5(1,1,0),面儿仅3的法向量)=(X1，%,4),

n-AB=0必=o

11,不妨设马=1,则石=44,%=0，

n-MA=0~xi~2^-2^zi=0

々=(42,0,1),而431c的法向量%二(%2，%/2),

、

n-A}B.=0(y?=0

<___.，**•5，不妨设Z2=l,则％2=-2，%=0，

n-A.C=0[-x2+y2-2z2=0

_3|1—8H彳=一工或2,D错，选BC.

«2=(-2,0,1),-r=

=COS(〃1，〃2V16A2+1-V5，

y/LJ7

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】0

【解析】令g(x)=3sinx-4tanx,g(x)为奇函数，/(x)=g(x)+l,

/(a)=g(a)+l=2,，g(a)=l,则g(-a)=-l,f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.

14.【答案】572

______5

【解析】设两直角边为a,b,则。+6=10,斜边之芋（。+6）=5收

15.【答案】1

5

22

xyx=±yl~5a

二1(V^a,2b),C^-\/5a,2b^

【解析】蓝一声,贝小,JJ

J=2b

J=2b

二0,：J正

NBFC=90°,

a5

16.【答案】1

【解析】过原点作了=胧1+1的切线，切点4外,西炉7+1),V=(x+l)ei

k、=(%i+1)铲与，y_('同厂1+1)=(再+l)e*—i(x—xj过(0,0),

1-1X1-1

—Xje'—1=—x；—xJe/T,x^e-1=0,x{=l,k{=2.

切点8卜,^x；+1），y'=1左2=/,1一］记1焉+11/

—X,=/(》一

816

——,—

—1——%2/=—4，k2—.k、k?=—1,两切线垂直，*,•夕=万，sin/?=1.

四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【解析】

、1352n-l

d-y^^3d在

_.1352n—3

〃22时，---1----1----F•••H-------n-1②

%%。34T

2n-l

①一②n-----=1=%=2〃-1(n>2),而q=1也满足上式,

an=2^-1.

一1一111______

(2)b

n(2〃-1)(2〃+1)12«+1)

1

2〃一1卜2

18.【解析】

(1)证明：(l+2cos/)sin5=2siiL4cosB+2cos/sin5

sinB=2siib4cosHntanS=1,B=—.

4

：2=2=垃nb=4ia.

asiib4

1V2V3V2V6+V2

二——X--------1X=-------------------

22224

•••Sac」.上0.近业1=2+2百nb=4.

△*BC2V24

19.【解析】

(1)证明：CD//AB,而CD(z平面45巫，Z8u平面43EE,

CZ)〃平面ABFE,又：CDu平面CDEF,

平面CQEbn平面4s比=①"CD//EF,：.EF//AB.

(2)FH=2,FC=25,H为BC中点、，：.CH=15.

IfnFH2+CH2=CF2,m_L8C,•.•平面F5CL平面N8CZ).

平面FBCCl平面4SC£>=8C,；.EH，平面ABCD.

过£分别作£7〃必交48于点/,EJ〃FC交CD于点、J,连接〃.

VV

-t•EF-ABCD=BCF-E1J+VE-AIJD=1x3x2x1.5+1x1.5x3x2=4.5+3=7.5.

20.【解析】

(1)2X2列联表如下:

学是否优秀

数学优秀者不优秀合计

性别

男24630

女101020

合计341650

"二舞"…

...有95%的把握认为“数学优秀者”与性别有关.

(2)得分不低于130分的男生有12人，其中得分在［140,150］内的有3人.

C334

,3人中至少有1人得分在［140,150］内的概率尸=1-6=不

21.【解析】

427

(1):椭圆过点/，二^+—厂In"-7)(a2-16)=0,

a24a2-7

Vtz2>7,•.a1=16,

22

椭圆的标准方程为土+匕=1.

169

(2)方法一：设直线/的方程为y=Ax+6,。(再,必)，4(0,3),5(0,-3)

<y~kX+6,n(9+16左2"+i92丘+432=0,A>0

9/+16/=144'>

直线方程为：y=%二^x+3,直线方程：y=M上^x—3.

石

联立Z。，8C方程=3=/工=3±芈

Je+3%（必+3）（优+9区

432576左

kxxx2+3(X[+x2)-3X29+16左2―9+16左2

kxx+9X432

x22+9%