2023届高考数学二轮复习25圆锥曲线压轴小题100题教师版

专题25圆锥曲线压轴小题必刷IOO题

一、单选题

1.已知圆C是以点M修,26)和点汽心,-26)为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点

4(2,0),点8(1,1),则21PHTP却的最大值为()

A.√26B.4+√2C.8+5√2D.√2

【答案】A

【分析】

由题设可知圆C：(x-4)?+必=16,在坐标系中找到。(T,0),应用三角线相似将2∣R4∣转化

至小尸£>|,再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.

【详解】

由题设，知：。(4,0)且|旭中=)(_2"-2我2+(6-2)2=8，即圆C的半径为4,

圆C：(x-4)2+/=16,

如上图，坐标系中0(-4,0)则OD=2AC=CP=OC=4,

ACPC1PA1

A—=—=1,即A4PC~APCD,故上=上，

CPDC2PD2

：.2∣PdTP可=IPoHP31,在△P8D中IPDHPB∣<∣BD∖,

.∙.要使I尸。IT尸31最大，P,民。共线且最大值为Iml的长度.

.∙.IBD∖=√(l+4)2+l=y∣26.

故选：A

，V2

2.已知点6，g分别为椭圆u]+与=l(α>b>0)的左、右焦点，点M在直线/:x=-a

上运动，若N耳屿的最大值为60。，则椭圆。的离心率是()

A.ɪB.IC.BD.—

3223

【答案】C

【分析】

设直线孙，咽的倾斜角分别为α,B,Λ∕(-α√)(z>0)τWZFxMF2=β-a,利用差角

正切公式、基本不等式求(tan《咽)鹏关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数

量关系，进而求离心率.

【详解】

由题意知，片(-c,0),乙(G0),直线，为x=-α,设直线肛，MK的倾斜角分别为α,β,

由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即M(-α∕),(f>0),则tana=—

C

-t

tanβrt=----

c+a

∙.∙ZFiMF2=β-a,

a_2以_2c<2c_2CC

:.tanZFIMF2=tan（/一α）=一⑶'"-='+”'-

72-EK

'l+tanatany?1t

ɪ~-2^~~2

c-a

当且仅当t=@,即f=b时取等号，又tanN^Λ叫得最大值为f=tan60o=√5,

tb

.∙.c=6b,即。2=/一乙，整理得£=且，故椭圆C的的离心率是出.

3a22

3.过X轴上点尸(。,0)的直线与抛物线yJ8x交于A,B两点,若俞+而为定值，则

实数。的值为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

设出直线ZB的方程与抛物线方程联立，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数

关系进行求解即可.

【详解】

2

设直线48的方程为X=叼+α,

代入∕=8x,^y2-Smy-Sa-O,

设4(再,yj,B{x1,y2),则χ+%=8w,yl∙y2=Sa.

MPr=(Xl-(优以?+＞：=^2+1＞：,

同理,忸呼=(M+1)货,

.1+1_1(1上11_1(y∣+Λ)2-2y∣Λ

.•明2忸可加2+1(必2y2J,w2+1y2y2

1_6432x(-8〃)=4病+〃=-加2+」,

tn2+164a24a2(m2+1)4a2(m2+1j

11

V阿+所为定值是与加无关的常数，

/.—=1=>67=4,

4

故选：D

4.已知椭圆C：W+g∙=l(a>b>O)的两个顶点在直线x-√Σy-√Σ=O上，Fλ,用分别是

ab

椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线/与直

线x=-2交于点M,设直线尸耳，MK的斜率分别为左，k2,则如⅛2的值为()

A.--B.—C.-!D.一■-

3324

【答案】A

【分析】

根据题意求出α=夜，6=1，进而写出椭圆的方程，设点P的切线方程为，=去+加，与椭

圆联立，由△=()得到/=2/+1,然后依次表示出相关点的坐标,利用斜率公式表示出占,质,

进而化筒整理即可求出结果.

【详解】

2

：椭圆C的两顶点在直线x-√Σy-√Σ=O上，.∙.α=√Lb=I,二椭圆C的方程为5+/=1，

y=kx+m

.∙.耳K(1,0),设点P的切线方程为广去+机，p(χ°,y°),联立公,消去V

----FV=I

2

(2^2+l)x2+4kmx+Im2-2=0,：直线/与椭圆C相切，.∙.A=0,即

2222

(4M-4(2⅛+1)(2∕M-2)=0,ΛW=2P+I.x0=--∣^-,

NACI1

3

2kmm

…。+加=«舍+"'=/T点尸卜,又m2=2k2+↑,∙'

T2k2+∖'2k2+↑

...―,设点"(-2,y∣),又M在切线y=Ax+m上，，

m-2κ

m-2k-02k-m2k—m1

M(‹-2,m-2k),/.k

2-3-^^3

故选：A.

5.已知尸是椭圆m+∕=i(α>i)的左焦点，Z是该椭圆的右顶点，过点尸的直线1(不与

X轴重合)与该椭圆相交于点朋N.记ZMAN=a,设该椭圆的离心率为e,下列结论正确

的是()

TTB.当0<e<也时，a>R

A.当O<e<l时，。<一

222

C.当1<e<且时，Ct>~D.当正<e<l时，a>—

22324

【答案】A

【分析】

设M在X轴上方，N在X轴下方，设直线的倾斜角为氏直线/N的倾斜角为£,联立

直线的方程与椭圆方程可求M的坐标，同理可求N的坐标，利用/,RN三点共线可

得上∕2=q2(e+l)'利用离心率的范围可得“色>-1，从而可判断α为锐角.

设直线的斜率为左，倾斜角为/直线4N的斜率为G，倾斜角为6,

则人2>0,∕<0,8w[∙∣∙,ι),∕7∈fθ,j∣∖且α=τr-9+∕J∈(0∕).

4

tan-tanθ_k-k

又tana=tan(乃一6+∕?)=2x

1+tanβtan0l+⅛2⅛1

又直线AM的方程为y=k](x-a)f

,y=4(x-")得α+/硝χ2-2∕奸x+aT：-/=0,

由

X+αy-a

,,a，k；-cr匚二1、i/k;一a-2ak,

故XMX。=~ΓΓT-，所以XM="7~7"故W=TTP至

∖+a~k;1+〃T：

ayk}-aɪɛ-2ak、

同理七V=故以二F

l+a2⅛2

-2ak1-2akx

)(1+/好_1+*2

因为M/,N共线,故aik1—aaiky-a

—2・73”+C-ʒ-ʒ-÷c

∖+ak]∖Λ-ak~

整理得到/+c)"?(尢一&)+(c-α)K-K)=O即尢&=兀：C),

,,c-ae—1

若O<e<1,桃2=^T77ɪʒ7^Γ，

a[a+c)a[e+∖)

因为---=1—三w(-l,θ),α2>1,故我他>—1，所以tanα=∣-J>。,

e+1e+∖1+κ2ki

故α<"

2

故选：A.

6.已知过抛物线∕=4x的焦点厂的直线与抛物线交于点A、B,若A、8两点在准线上的

射影分别为M、N,线段MN的中点为C,则下列叙述不正确的是()

A.AClBCB.四边形/MCF的面积等于MqψWF∣

C.∖AF∖+∖BF∖≈∖AF∖.∖BF∖D.直线NC与抛物线相切

【答案】B

【分析】

对于选项AB,利用向量知识研究4C与BC、ZC与MF的位置关系即可；对于选项C,可利

用抛物线的定义确定/尸、8尸的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D,求出直线/C

的斜率，并设抛物线在点A处的切线方程为必=%(x-f),与抛物线的方程联立，由

△=0求出发,进而可判断出D选项的正误.

【详解】

如图，由题意可得尸(1,0),抛物线的准线方程为X=-1.

5

设/代,可、B∖~,y2Y设直线/8的方程为X=W+1，

联立[X107∣,可得/-4W-4=0,利用根与系数的关系得必必=-4,

[y=4x

因为线段MN的中点为C,所以C(T叼可，

所以。=5»

42

所以，Gi∙CB=fɪ+1V^-+1]-=^y'y'2■!1=1-2+1=0,

(4人4J4162

所以，AC±BC,A选项正确；

对于B选项,因为Λ∕(T,凹),所以标==(2,f),

所以B∙诉=五+2-M(M-%)=2+些=0,所以ZCL板，

222

所以四边形AMCF的面积等于;∣∕C∣∙∣"∣,B选项错误；

对于C选项，根据抛物线的定义知HFl=MMI=1+1,忸曰=IBM=1+1,

22

所以MF1+忸同=苫芳→2,

/2、/，、222，22

M尸H网=?+1)[3+1)=^1+''：-2+1=必;y2+2,

所以，M尸|+忸-I=IM∙∣班，C选项正确；

(4、

必+必2%+生

对于D选项，直线XC的斜率为左“=t,2=2(]一%)=I=2

ac，,,2,A,,2,A、，

K+1M+4M+4必

4

抛物线∕=4x在点A处的切线方程为夕-乂=斤

6

y-y∣=kx---、C

联立lI4人消去X可得处2一4”4%一划；=0,

y2=4%

k≠02

由题意可得[A=]6-4("L附=。'可得仅=2,即％则f.

所以，直线NC与抛物线/=4X相切，D选项正确.

故选:B.

7.如图，已知双曲线=l(b>α>O)的左、右焦点分别为耳，F2,过右焦点作平行于

一条渐近线的直线交双曲线于点A,若反£6的内切圆半径为,，则双曲线的离心率为

4

【答案】A

【分析】

设双曲线的左、右焦点分别为片(-c,0),片(%。)，设双曲线的一条渐近线方程为y=2χ,

a

可得直线4工的方程为y=2(x-c),联立双曲线的方程可得点A的坐标，设|/月|=加，

a

∖AF11=»,运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变

形可得关于“，C的方程，结合离心率公式可得所求值.

【详解】

设双曲线的左、右焦点分别为J(-c,O),玛(c,0),

设双曲线的一条渐近线方程为y=2χ,

7

可得直线/g的方程为y=2(x-c),与双曲线;-E=I(6>α>0)联立,

aCrb-

可得如二2),

2c2ac

设14ξ∣=a,∖AF1∖=ni

由三角形的等面积法可得,(…+如+/普科

化简可得加+〃=——4a-2c,①

由双曲线的定义可得力?-〃=2〃，②

在三角形/百鸟中"sin。="区，(6为直线/名的倾斜角),

2ac

h,.八bb

由tan。=—,sin2Θ+cos2=1,可得Smθ=C---=一

ayja2+b2C

2_2

可得"=JK,③

2a

由①②③化简可得3C2-2ac-5a2=Or

即为(3c-5tz)(c+Q)=0,

5

可得3c=5α,W∣Je=-C=f.

a3

故选：A.

8.在棱长为2的正四面体48C。中，点〃为“8C所在平面内一动点，且满足

I9M而卜空，则尸。的最大值为()

A.3B.3叵C.叵D.2

33

【答案】B

【分析】

由题意可知，点P在A45C所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A、B,长轴长为

迪，然后以线段48的中点O为坐标原点，直线45所在直线为X轴，以Co所在直线为y

3

轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得产。的最大值.

【详解】

如图所示，在平面/8C内，I苏M而卜竽>2，

所以点P在平面NBC内的轨迹为椭圆，取4B的中点为点。，连接CO,以直线48为X轴，

直线OC为>建立如下图所示的空间直角坐标系O-Dz,

8

所以，椭圆方程为22+3∕=I(Z=0).

点O在底面的投影设为点E,则点E为AZBC的中心，OE=-OC=-×4i=~,

333

故点E正好为椭圆短轴的一个端点，

∙;CE=々OC=巫,则DE=,CD2-CE°=短，

333

因为PD?=DE?+EP?，故只需计算EP的最大值.

设尸(x,y,0),则E0,当,0,

贝∣JEP2=/+y-^-=——4y2+y2—y+-=-3y2-^^-y+-,

33-3333

当y=-*e-乎,印］时，BP?取最大值,

因此可得P0≤M+?=当，故尸D的最大值为小.

9993

故选：B.

9.已知点尸为抛物线/=4式的焦点，Λ∕(-l,0),点N为抛物线上一动点，当的最小时,

点N恰好在以M,F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为()

A.3+2√3B.2+2√2C.D.≥H∑1

24

【答案】B

【分析】

9

作出图形，可知MW与抛物线相切时，端取得最小值，求出点N的坐标，利用双曲线定

义求出2a,结合c=l,可求得?，再利用,=(/)7求得结果.

【详解】

由抛物线的对称性，设N为抛物线第一象限内点，如图所示：

故点N作NF垂直于抛物线的准线于点6,由抛物线的定义知INFl=INSI,易知N8//X轴,

可得NNMF=NBNM

IN尸IINBl

.∙.J~~ɪ=ɪ~~L=cosNBNM=cosNNMF

∖NM∖∖NM∖

当NNMF取得最大值时，S取得最小值，此时NM与抛物线/=4x相切，

I/VMI

设直线NM方程为：y=∕c(x+l)f

2=4x

联立［；v=MZ)'整理得“人四一4卜+公=。,

其中A=T6k2+16=0,解得：⅛=+∣,由N为抛物线第一象限内点，则上=1

则/+(2-4)x+l=0,解得：χ=l,此时/=4,即y=2或y=-2

所以点N的坐标且N(l,2)

由题意知，双曲线的左焦点为M(T0),右焦点为尸(LO)

设双曲线的实轴长为2a,则2q=∣∣M∕HM∏∣=20-2,.∙.q=/一1，

Xc=I,则£=ʃ-ɪ=>/2+1

a√2-1

故渐近线斜率的平方为=勺^=^Y-1=(√2+1)2-1=2+2√2

故选：B

2

10.已知耳，E为双曲线二=l(α>O,b>O)的左、右焦点，以耳用为直径的圆与双曲

a-

线右支的一个交点为尸，尸耳与双曲线相交于点。，且IPg=3|。用，则该双曲线的离心率为

10

()

A.垣B∙叵C.3D∙立

3322

【答案】B

【分析】

设1。甲=，贝IJIPQI=3/,由I。工HHPKHP勺=20及IPQ2+∣PR|2=|凿F,

|尸印2+|「亮『=4。2求&、力的数量关系，可得双曲线参数的齐次方程，即可求双曲线的离

心率.

【详解】

设I洒l=t,则∣P0∣=3f,而|0玛1-10片1=1。EI-IPBI=20,

J.∖QF2∖=2a+t,∖PF2∖=4t-2a,

由NEm=全则|尸。『+|「£『=|凿『，|尸"2+陷『=4/,

9产+(4-20)2=(2α+t)25ɑInd29

・・{,/解得Z=二，则F=一，

16J+(4"2α)x2=4，6a~9

11.若椭圆u[→,=l(α>6>0)上的点(2,令到右准线的距离为g,过点M((M)的直线/

与C交于两点43,且万7=g丽，贝!∣∕的斜率为

【答案】B

【分析】

11

___2___

点代入椭圆方程，点至IJ准线距离和/=/+/,解得∕=9∕2=5,C∙2=4,由

-18人

得23=-3%,联立直线与椭圆方程得到ɔjɔ,联立消去马，司即可求出左

-36

【详解】

425,

Rh

解：由题意可得力=从+02,解得/=9,/=5.2=4,

22

所以椭圆C:二+匕=1,

95

设/：y=Ax+l,设Z（XI,凹）,5（工2，%）

因为AM--MB,所以2x,=-3x,

3^

y=kx+i

⅛∙2V2f⅜（9A2+5）x2+18⅛Λ--36=0

—x+—=1

95

-18⅛

,+

XX^9F751

则〈。结合2X2=-3x,,联立消去看，*解得a=±;

—363

故选：B.

12.已知双曲线C：工一片=1的左焦点为尸，过原点的直线/与双曲线C的左、右两支分

97

14

别交于A,8两点，则网一炉词的取值范围是（）

【答案】B

【分析】

.,1414146-37-

设网=L∕∙≥1,则网-网=IW构造函数/⑺W'+孙

用导数求/⑺在［1,+8）上的取值范围即可.

【详解】

设IE4∣=r,则Λ∙≥c-α=l.

12

设双曲线的右焦点为F,由对称性可知忸FI=IE4∣=r,则∣F5∣=r+20=r+6,

3(r2-4r-12)3(r+2)(r-6)

贝IJr(/)=,令令&)=0得"6,

(r2+6/-)2(r2+6r)

当Xe(1,6)时，/(r)<0,/(r)单调递减；当xe(6,+∞)时，/(r)>0,/(『)单调递增.

所以/(r)mi„=/(6)=T，又当xe(6,+8)时/(厂)<°，所以=_/•⑴=：・

O7

ɪ3

的取值范围是

6,7

故选：B.

13.已知双曲线C:g-£=1(α>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，F2,点M,N分

别在双曲线C的左、右两支上，点A在X轴上，且Λ/,N,耳三点共线，若丽=3硒，

N耳性=N/叫，则双曲线C的离心率为()

A.√5B.√7D.√∏

【答案】B

【分析】

根据平面向量共线的性质，结合双曲线的定义、等边三角形的判定及性质、余弦定理、双曲

线的离心率公式进行求解即可.

【详解】

依题意，啊=；而得^M∕∕∕N,NF∖NF2=NANF[=NMF[N,故IMVl=I町|：又

IM周=J∕N∣,故IM用=gMN|；不妨设IMM=2相，由双曲线的定义可得，IM周=m+2α,

∖NF2∖^3m-2a,故2m=m+2α,故〃?=2“，则∣ΛflV∣=囚闾=IN用=4α,故AMN行为等边

三角形，故在ANEK中，NFM=60°,即Igl=3机=6“，IM^=4α,I4用=2c,由余

弦定理，4c2=(6a)2+(4a)2-2∙6fz∙4α∙cos60°=28f∕2,则e=J7,

13

故选：B.

14.已知抛物线UV=2px(p>0),F为C的焦点，过焦点尸且倾斜角为1的直线/与C交

于4,8两点，则下面结论不正确的是()

A.以/,8为直径的圆与抛物线C的准线相切

112

B∙两十两吃

C.过点8分别作抛物线C的切线，则两切线互相垂直

2

D.记原点为O,则S△欢=A

Sina

【答案】D

【分析】

根据抛物线C：V=2px(p>0)和过焦点的直线/的位置关系，联立抛物线方程和直线方程，

结合韦达定理和焦点弦公式，逐个判断即可得解.

【详解】

由题意知，令直线X=Wy+§,N(XI,必)，B(x2,y1),

与抛物线Uv=2px联立方程，消去X得/-2p〃9-p2=0,

1

由韦达定理知：y∣+%=2p机，yty2=~p<

如图所示，过4,8分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为H,B',

记/8的中点为/,过/作抛物线准线的垂线，垂足为

由∣4δ∣=∣44l+忸

所以以ZB为直径的圆与抛物线C的准线相切，故A正确;

由xlx2=[my[++γ-

所以可得：

14

11_11_x1+x2+p

时同"海7ψ同"1]

X1+X2+jPX1+X2+p

2-22

+

中2+夕演+々)+5"J+-(ɪlɪɔ)

x1÷x2+p_2

=gα+a+p)=>故B正确；

由图，抛物线在第一象限的解析式为y=J而，

所以/=军.《，

所以过点8抛物线的切线的斜率为K=率∙J=,

2√x?

同理过点4抛物线的切线的斜率为刈=-卑•；,

2√士

所以占&=,所以两切线垂直，故C正确;

由tanα=L(αwg],所以可得:

m\2)

∖ΛB∖+∖ΛF∖+忸曰=再+W+P

=加(必+8)+ZP~2pm2+2p

=2p(m2+1)=2/?f1+-4^ʌl=-⅛-；

,∖tana)sina

如图，作OE垂直力8于E,

Ie“12Pp∙Lp-

则S^AQB-ABOE=----^——•sina=­——

22sin-a22sina

当α=工时，经检验SYB=—匕亦成立，故D错误，

22sina

故选：D.

15.已知点A是抛物线C:/=2Py(P>0)的对称轴与准线的交点，点尸为抛物线的焦点,

过A作抛物线的一条切线，切点为p,且满足IPH=TL则抛物线C的方程为()

A.X2=SyB.X2=4VC.x2-2yD.x2=y

【答案】C

【分析】

15

本题首先可根据题意得出点/（θ,-5J,然后设切线方程为夕=丘-5、切点为P（XP,力），

通过联立抛物线与切线方程解得A=±1,最后对％=1、左=T两种情况分别进行讨论，通过

IPH=&即可得出结果.

【详解】

由题意可知，抛物线准线方程为y=-5,点/（0,-日），切线斜率上一定存在，

设过点A与抛物线相切的直线方程为y=丘,切点P（孙,孙），

联立抛物线与切线方程，一~2,转化得f-2pkx+p2=0,

X2=2⑷

Δ=4p2k2—4/?2=0»解得&=±1,

当&=1时，直线方程为N=X-5，

x2-2px+p2=0,解得Xp=p,则力=X∕>-g∙=∙^∙，

因为IPd=JL所以焉+（力+幻=2,解得,=1：

当氏=T时，同理得p=l,

综上所述，抛物线方程为χ2=2y,

故选：C.

16.过点P（2,I）斜率为正的直线交椭圆（+：=1于A,8两点.C,。是椭圆上相异的两

点，满足CP,。尸分别平分4C8,.则APC。外接圆半径的最小值为（）

A.亚B.C,D.2

551313

【答案】D

【分析】

111

分析可知，P,C,〃在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为八R--=-，分直线力〃

rAPBP

斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解.

【详解】

如图，

16

y

先固定直线四，设f(M)=/则/(C)=∕(O)=∕(P),其中〃P)=笑为定值，

AMAP

故点RC,〃在一个阿波罗尼斯圆上，且APCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为

八阿波罗尼斯圆会把点A,8其一包含进去，这取决于BP与]。谁更大，不妨先考虑BP>AP

的阿波罗尼斯圆的情况，曲的延长线与圆交于点。，&即为该圆的直径，如图：

Q

接下来寻求半径的表达式,

由竺=理，2r=∕P+∕Q=∕PAP∖BP+2r)1

APAQBP≡r⅛^~BP

同理，当2P<4P时有，ɪ=--------

rBPAP

1_I1

综上,

~r~~AP~^P

当直线48无斜率时，与椭圆交点纵坐标为±3,NP=3-1,BP=3+1,则19

12

当直线18斜率存在时，设直线团的方程为N-I=MX-2),即y=Ax-24+l,

与椭圆方程联立可得(24r+5卜2+484(1-24)*+96伊_4_])=0,

_48⅛(2⅛-l)

x+x

1224k2+5

设X则由根与系数的关系有，,

B(2,%),96(⅛2-⅛-l)>

XX

1224fc2+5

.LI___ɪ_________ɪ______•_Ij____!_

nτ

->APBPy∕^k∙∖xl-2∖J7F∙∣r2-2∣∣J7F⅛1-2∣*「2|

注意到七-2与々-2异号，故

17

x-

1_1I∣∣2∣-∣X2-2∣1xl+x2-4_1∣12A+5∣

r222

√l+⅛∣(ɪ∣-2)(X2-2)√l+⅛XIX2-2(XI+X2)+419√ι+⅛'

11I2∣Z∣121/22613

———,—]—=—•—-≤—-—=—ɪ5

设E2"5,则'19√^-10z+16919MTTO.1一2419,,当广旃,

即/=竽，此时％=故r≥∕,

又S19>139,综上外接圆半径的最小值为19

121313

故选：D.

17.已知点尸在抛物线。：/=，内(，"*0)上，过点尸作抛物线χ2=2y的切线∕∣,I2,切点分

别为“，N,若G(l,l),S.GP+GM+GN=0,则C的准线方程为()

A.X=-^^^B.X=­C.X-D.X——

4422

【答案】A

【分析】

设Ma,段),N(X2,与)，利用导数写出切线PM,PN的方程，联立求出交点尸坐标

X=土/，N=竽，乂由不+的+丽=6，知G为三角形MVP的重心，代入重心坐标

公式，利用已知条件可求出P的坐标为再代入抛物线。:『=〃?X方程，求出皿，进而

求。的准线方程.

【详解】

设M(Xl，由Y=2y,得y=g∕,则y'=x,

22

则尸M：X-XJ,即y=x↑x-^~

2

同理直线PN的方程为y=χ2χ-^-,

联立PM,PN的方程可得X=土产？=羊，则2号1,中)，

乂由币+G而+而=6，得G为三角形MYP的重心，

22

LΞL

则M+X2+^∣=3,事+*+苧=3,wɪi+¾=2,X1X2=-2,

则P(L-I),又尸抛物线C:/=S(M≠0)上，得加=1,B∣JC:/=x,

准线方程为x=4∙

18

故选：A.

18.已知点尸(一1,0),设不垂直于X轴的直线/与抛物线/=2X交于不同的两点AB,

若X轴是/4期的角平分线，则直线1一定过点

A.(y,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(-2,0)

【答案】B

【分析】

根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在X轴上，再设出直线的方程，与抛物线

方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP、BP的斜率互为相反数，

利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.

【详解】

根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在X轴上，

设直线的方程为X=W+”?，与抛物线方程联立，消元得炉-2w-2m=0,

设/(x∣,χ),8(X2,%),因为X轴是N/阳的角平分线，

所以AP、BP的斜率互为相反数，所以』7+-¾=0,

结合根与系数之间的关系,整理得出2勿%+(m+l)(y,+r2)=0,

即2∕(-2m)+2桃+2/=0,2t(m-l)=0,解得加=1,所以过定点(1,0),

故选B.

19.已知耳月是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且I用2∣>∣M|,

椭圆的离心率为G,双曲线的离心率为C2,I尸耳|=|打入I,则£+1■的最小值为()

A.4B.6C.4+2√2D.8

【答案】D

【分析】

由题意可得IP片I=W乃I=2c∙,再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离

心率可得』+§∙的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.

【详解】

X2V2

由题意得：IPZI=W乃I=2c,设椭圆方程为=+S∙=l(%>4>0),

X2υ2

双曲线方程为一T-A=I(出>0也>0)，

。2A

^∖'∖PFi∖+∖PF2∖=2al,∖PF2∖-∖PFl∖=2a2.

/.IPF21+2c=2ɑl,∣PF2∖-2c=2a2,/.α1-α2=2c,

19

,,,3%c3a,9αa+c2

则一+二­=——+—ɪ-=—U19-------

el33a2c3ca2

_9（2。+%）々2+/_6I30Ic

3ca2c3a2

=⅛-^÷6>2BΞΞ+6=8,当且仅当现==,

c3a2NC3a2C5a2

即6=3时等号成立.

3%

则一+丁的最小值为8.

G3

故选：D

20.已知耳，士分别为双曲线《-4=1的左，右焦点，过8且倾斜角为锐角α的直线与双

169

曲线的右支交于1,B两点,记A46E的内切圆半径为4，的内切圆半径为弓，若

-=3,则α的值为（）

r2

A.75oB.30oC.450D.60°

【答案】D

【分析】

根据题意作出示意图，先证焦点三角形内切圆圆心的横坐标均为。，再根据