第14讲 垂径定理-2023届新高考数学大一轮复习

第14讲圆锥曲线垂径定理

-.问题综述

i.圆中的垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（在这里我仅研究垂直平分

弦）

如图0-1,在圆。中，已知点M是弦45的中点，则。0，他.

2.椭圆与圆的联系

（教材《选修2-1》第41页例2）

如图0-2,在圆d+丁=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,。为垂足.当点尸在圆上运动

时，线段包）的中点用的轨迹是什么？为什么？（所求得的轨迹方程是々+y2=l.）

4'

（教材《选修2-1》第50页B组第1题）

如图0-3,，点M在b的延长线上，且已4=3.当点P在圆x:+y2=4上运动时，求点M

10Pl2

的轨迹方程，并说明它时什么曲线.（所求得的轨迹方程是仁=1.）

49

由上述两道习题推广到一般情形：

="（a>0）上任取一点P,过点P作x轴的垂线段P£）,点M在QP上，若瑞^=履

在圆x2+y2

（2>0,且兀片1）,则当点P在圆Y+y2="上运动时，点乱的轨迹方程是

22

（0+-^~7=1（%>0,且；Lwl）,当。<4<1时，表示焦点在x轴上的椭圆；当几>1时，表示焦点在y

a~矛

轴上的椭圆.）

22

特别地，当;1=1时，椭圆f+仁=1即为圆/+丁=/.

a~A~a~

由此，我们可以将椭圆看成是由圆升缩而成的，圆中某些性质也可以类比拓展到椭圆，本专题就圆的垂径

定理在椭圆.双曲线中的拓展.应用加以总结.

二,典例分析

类型1:椭圆中的垂径定理

【例1-1】已知椭圆夕+今=1(〃>6>0),不垂直坐标轴直线交椭圆于A,3两点，M为线段43的中点，直

线他和的斜率分别为%,MM，求证：kk=~.

ABOMa

图1-1

证法1:如图1-1,设?1(%,凶)，3(9,%)，用(%)，%)・则断=之一■"，k°M='.

X2―王玉)

^_+2i=i

因为k:b：,两式作差得立J.+2£？1=O,即江&=一4，

X,ab~%]-xx+xa

bv=12]2

于是2i二&•&=£.所以%%=一上.

x{-x2x0aa

证法2：设直线4?的方程为丁=代+机，设A(x，yJ,B(A^,y2),M(x0,y0).

y=kx+m

由<丁y，消y得W+dk1+2kma2x+cTr^-//=(),

hU

所以N+x2"/氏2，于是％+必+占)+2"=/勺1•

所以52吗1;2、J2咚22,］，于是弓OM“=&=-丝2.

(b+akb+ak)x0ka

因此“AB-&OM=〃(一今")=一「".

证法3：令卜喝=y,则x'2+y，2=i.原题设中的点A(X"J,见“2),M1,%)分别对应单位圆中的

点4卜：,乂'),8卜2',()，"■',为'),且M'是线段48'的中点.由圆的垂径定理由砥7r&*=T.

又因为心=辽="3上3总兽=吗上.*,

Xxaa

i~2axx-ax2/axQ

所以砥8Mow=砥W---&=—'&W，koM=一一~•

aaaa~

【方法小结】三种解法分别从三个不同角度给出解析，解法2是解决直线与椭圆问题的通法，解法3利用的是

仿射变换转化为直线与圆的问题求解.该问题是与弦中点有关的问题，故解法1利用点差法大大简化了运算.

★椭圆中垂径定理的拓展

拓展一：割线转切线

【例1-2】已知椭圆方+我=l（a>b>0）,设直线/与椭圆相切于点M,求证：k,-kOM=-^.

证明：如图1-2,设“（X。,%）,则切线/的方程为竽+笔=1,$

所以切线/的斜率为《=-空于是《/=-a4.（

ay。'_rop-rv

【方法小结】该问题也可以看成是例1-1中割线的极限位置为切线.、一一/

图12

拓展二：平移中线（中线转变中位线）

V-2V2

【例1-3】已知椭圆一^十斤=1（〃>Z?>0）,点A,3是椭圆上关于原点对称的两点，点M是椭圆上异于A,3的任

、、b~

意一点，求证：•38=一/・

证法1:设点A（x，x）,5（f,-M0。,%）,

22

则…北%+x%-y

x-2o

o+X入0—X

2

KX

+

至

2两式作差，得启=一/,于是4

laK

2

2%

+

4溟

证法2：如图1-3,取MB的中点尸，连接OP,则OP〃M4.

所以

【方法小结】找到该问题中各线段的几何关系易知，该问题又可以回到例17中的垂径定理.

【例1-4】（教材《选修2-1》第41页例3）如图1-4,设点A,8的坐标分别为（-5,0）,（5,0）.直线M4,

MB的斜率之积是-3,求点M的轨迹方程.

9

解析：设点M（x,y）,则｛1M='（xx5）,5=-^-（XH—5）,

x-5x+5

由条件有

22

化简，得点M的轨迹方程是争高=1（xw±5）.

V

b24

【方法小结】该问题实际是与例1-3题型对应的逆命题，如取的中点P,则k”,、・嗫-------二——

a29

类型2：双曲线中的垂径定理

【例2-1】已知双曲线「-亲■=l（a>0*>0）,不垂直坐标轴直线交双曲线于A,B两点，M为线段4?的中

,2

点，直线他和OM的斜率分别为勉，*，求证：kABkOM=^.

（T

证明：略（同例1-1方法1和方法2）,如图2-1.

【方法小结】事实上，垂径定理之斜率之积为常数的这一性质，对于有心圆锥曲线均成立.我们知道，双曲线

方程与圆方程.椭圆方程一样时关于x,y的二元齐次方程，我们可以对垂径定理作一个归纳，如下：

★圆.椭圆.双曲线中垂径定理的统一

2

【定理】设点〃是有心圆锥曲线匕+±v=1（，〃>0,〃>0,或〃?”<o）中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦

mn

Vj

的中点，则k-k=.

AH0Mtn

证明：设4（片,乂），8（%,%），则尤皿=1,k0M=—.

X2一九I”0

两式作差得五二三+上£=0,所以2_»-）±匹=一",

mnx—x2芭+x2m

即上也.&=_2.所以后“心“=_K

x^-x2xQmm

特别地，当机=">0时，该定理即为圆的垂径定理.

r2A2

【例2-2］如图2-2,已知双曲线0-4=1（。>0/>0）,设直线/与双曲线相切于点M,求证：《•自

ab~a

证明：略（同椭圆中的例1-2）

【例2-3】如图23已知双曲线---=1(〃>0,/?>0),点A,8是双曲线上关于原点对称的两点，点M是椭圆

上异于A,8的任意一点，求证：k-k=--.

MAMfia"7

证明：略（同椭圆中的例1-3）

【例2-4】（教材《选修2-1》第55页探究）如图2-4,点4,8的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,直线M4,MB

相交于点M,且它们的斜率之积为3，试求点"的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.

9

解析：略（同例1-4）.

【方法小结】综合例1-4和例2-2,可以对此类斜率之积为定值的轨迹作一个归纳，如下：

★动点与两定点所连直线斜率之积为常数的轨迹

【例2-5】（教材《选修2-1》第80页复习参考题A组第10题）已知人钻。的两个顶点A,3的坐标分别是

（-5,0）,（5,0）,且AC,3C所在直线的斜率之积等于〃7（,“二0）,试探求顶点C的轨迹方程.

解析：设点C（x,y）,则Me=一~—（xW-5）,k=—―（x#5）»由己知得

x+5BCX—5

------------=m（x^±5,in*0）

x+5x-5'7

整理成

—-------=1（X7i±5）

2525m'7

当机<（）,且加工一1时，点C的轨迹值椭圆（除去（-5,0）,（5,0）两点），且当初<-1时，椭圆焦点在y轴上，

当一1</<0时，焦点在x轴上；

当〃7>0时，点C的轨迹是双曲线（除去（-5,0）,（5,0）两点），且焦点在x轴上.

当机=-1时、点C的轨迹是圆（除去（-5,0）,（5,0）两点）.（其中NABC即为圆的直径所对的圆周角，为直

角）

【方法小结】该问题中启示我们，动点与两个定点连线的斜率之积为非零常数时，动点的轨迹可能是圆、椭

圆、双曲线.

22

【例2-6】如图2-5,直线A5与双曲线*■-亲■=1（a>0力>0）的两条渐近线交于点4,B,且点M是线段

AB的中点，求证：kA[i,kOM——.

2222

证明：由题意有，双曲线十点=1（“>0/>0）的渐近线为5-1=0.

设A（X1,yJ,8（占,%），M5,%）.则心尸出”,府”=&.

々一芭与

-o,,,,

因为I：='两式作差得二一厘"即—…=4

X)Xj

-x2+x2a~

于是江&.%=3所以勤.％=£.

Xj-x,x0aa

【方法小结】此问题中的点A.8虽然是分别在两条渐近线上的点，从上述解答所用的渐近线方程易知，笔

者在此依然将A,8两点视作时关于x,y的二元二次齐次方程所表示曲线上的两点，其解答过程类似于椭圆与

双曲线相关例题的解答.

★类型1,类型2思想方法归纳：

1.圆.椭圆.双曲线中的垂径定理

如图2-6,点〃是曲线的弦的中点，若将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆，则有：

（因为在椭圆中，有一t=_dW=e2-l，在双曲线中，有与=匚且=e2_1.）

acTaa

2.圆.椭圆.双曲线中切线与中心和切点连线斜率之积

如图2-7,已知直线/是在各曲线上点M处的切线，若将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆，则有

kjkoM=/-1

图2-7

3.过圆.椭圆.双曲线中心的弦有关的斜率之积

如图2-8,AB是过曲线中心的一条弦，点M是曲线上不同于A3的任意一点，若将圆看作是离心率e=()

的特殊的椭圆，则有

kMA.&M8=/-1

()1(2)(3)

图2-8

以上各结论都可以回归到第一种类型.

类型3：垂径定理的应用

题型一：与角度有关的问题

22A

【例3-1］已知椭圆C：*•+方=1(“">0)的离心率6=券,4、3是椭圆的左右顶点，P为椭圆与双曲线

二-21=1的一个交点，令乙PAB=a,ZAPB=P,则一厚一=

78cos(2a+/7)

八y

图3-1

【解析】令NPBx=y,由椭圆的垂径定理可知：tana-tany-e---

cos夕_cos(7-a)_cos/cosa+sin/sincr_1+tana•tan/_3

cos(2a+/)cos(7+a)cos/cosa+sin/sina1-tana•tany5

【方法小结】其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答.两顶点一动点的模型要很快的联想

到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的南转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切.题目中的正余弦

化正切是三角函数的常见考点.

【变式3-1］已知双曲线C：x2-y2=2019的左右顶点分别为A8,尸为双曲线右支一点，且NEABEN4P3,

求ZPAB=.

【解析】令0.1,NPBA=0e0仁，则夕=5a,如图3-2.由双曲线的垂径定理可知：

图3-2

tana-tan/}—tana-tan5a=/-1=1.

则

(TV_y7V_7T

tana=-=--t--a--n-----5a\=>a=-----5a=>a=—.

tan5a(2J212

题型二：与均值定理有关的问题

X2V2、

【例3-2】已知A、3是椭圆系+齐=1(。＞匕＞0)长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直

线AM、8N的斜率分别为给k2,且空”0.若闷+网的最小值为1，则椭圆的离心率为.

【解析】由题意可作图3-3,如下:

图3-3

2

连接MB,由椭圆的第三定义可知：kAM-kBM=e-1=—而%/=-4咖=•'•&化

a

同+同N2振丽-=1=>-=

【方法小结】合理利用M,N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的垂径定理将两者斜率的关系联系起

来，结合“一正”“二定”“三相等”利用均值定理即可用。为表示出最值1,进而求出离心率.

22

【变式3-2］已知A、3是椭圆*■+方=1（“＞匕＞0）长轴的两个端点，若椭圆上存在。，使NAQ3=与，则椭

圆的离心率的取值范围为.

【解析】（正切+均值）

令。在x轴上方，则直线04的倾斜角为ae0,1,直线Q8的倾斜角为/egn。

八八n「乃1/.cn（c\tan/?-tana

NAQBe——、4,tanZAQB=tan（S-a）=------------

|_2」'）l+tan/?tana

由椭圆的第三定义：tancrtan,则tan/7=——2---

，，/a八"2ftoarn*axv

+tana

2-一tana

带入可得：tan\-tana=crtana

1+tan/?tana

•tana

（取等条件：tana=2,即Q为上顶点）

而tanx在单增，则Q为上顶点时（乙4。限「所以此时ZAQ8亭，故ee［争J

题型三：与弦的中垂线有关的问题

【例3-3】已知椭圆C:?+［=l,试确定机的取值范围，使得对于直线/:y=4x+,〃，椭圆C上有不同两点关

于直线/对称.

解析：设A,8是椭圆C上关于直线/对称的不同两点，弦43的中点为则由垂径定理有

又怎8=一“所以心用=3，即％=3X0.

又因为点M在直线/上，且在椭圆C内，所以

3x=4x（）+m

02

11Vc2.

=---\-3m"<1.

4

解得，-3＜〃?＜3,故所求实数机的取值范围是-独1＜胆〈独1.

7137131313

【方法小结】例3-3椭圆中弦的垂直平分线的横截距与纵截距的范围求解，利用垂径定理大大减少了运算量.（注:

如果是解答题，垂径定理的结论需要利用点差法给出.）

22

【变式3-3]已知A,B是椭圆二+4=1（。＞人＞0）上两点，弦他的垂直平分线交x轴于P（x0,O）,求证：

b~

a2-b2a2-b2

＜』＜-

a-------a

证明：若回平行于x轴，则%=0,显然不等式成立.

若至不平行于x轴，设弦他的中点为弦AB的垂直平分弦为/,由垂径定理有

,,b2

又怎8，々=一1，且%/=）■，%=———,所以

%X]-X。

即玉,=J幺玉，因为-4＜玉＜。，B.a＞b＞0,所以一^^-＜毛＜匕’-.

a~aa

题型四：与长轴有关的问题

【例3-4】已知椭圆C:]+y2=i的左.右顶点分别是A,B,设点P是直线x=2上任意一点（除与x轴的交

点），连接E4交椭圆于点C,连接3c.过点P作3c的垂线，垂足为“，求证：直线尸”过定点.

证明：设点P（2/）（rw0）,如图3-4,

于是直线P"的方程为yT=£壬（x-2）,

故直线尸”过定点（1-巫,0.

I2J

【变式3-4】已知椭圆E:]+y2=i的左.右顶点分别是A,B,设尸（0,“F0）,连接承交椭圆于点

C,连接BC,OP,求证：OP1BC.

图3-5

t

证明：因为右,=）1%所以k=2k.

2720PCA

又因为%-w

fii

所以自尸,々CB=2%CA♦—=—I,于是有OP~LBC.

I2ka)

【方法小结】例3-4和例3-4中条件“P”_LC8”与"直线P”过定点”可以互逆，而且直线x=2可以换成任意与

x轴垂直的直线，结论依然成立.

题型五：与双曲线的渐近线有关的问题

22

【例3-5]（2014年浙江理）设直线x-3y+m=0（，〃H0）与双曲线?■-方=1（〃>0力>0）两条渐近线分别交于

点AB，若尸（〃?,0）,|R41=|P3|,求双曲线的离心率.

解法1（联立方程+垂直平分）：设线段的中点为M（%,%）,如图3-6.

图3-6

x-3y+tn=0

由,fy2,消工得，（96一々2）丁一&?2祖y+人2利2=0,

万卞二°

所以％+%=单=,于是％=学々，所以%=3%-%

1-9b2-a2°9b2-a2009b2-a2

于是，*==-3,化简得"2=4〃.

'2a，2-9b，2

所以，e=M

2

解法2（垂直平分+垂径定理）：设线段钻的中点为例，如图3-7,因为所以PMJLAfi,

图3-7

于是*=———=-3，所以直线PM的方程为y=-3（x-n?）

kAB

x-3y+m=03m3

解得M，所以_5_

y=-3(x-m)4

又由垂径定理，有鲍・%=-4=e2-l,即—1,

a~34

所以e=好.

2

解法3（倾斜角+垂径定理）直线与x轴的交点为。（-狐0）,。为PQ的中点，

设A,8的中点为"，则PM_L4?,设NMQO=e,

t

则tan,kOM=tan20-2=-

30”1-tan2^4

2

由双曲线垂径定理有：kOMkAB=tan0tan20=e,即gx[=/-],得e=与.

【方法小结】例3-5是直线截双曲线的渐近线所得弦中点有关的直线斜率关系，常规设线或利用垂径定理都可

以得解，显然，知道垂径定理的结论能使运算量大大降低.

三.巩固练习

1.已知直线x-3y+l=0与椭圆9+孑=1相交于A8两点，求弦的中点坐标.

v-21

2.A8是椭圆］+丁=1上两点，线段他的中点在直线1=一］上，则直线AB与>轴交点的纵坐标的取值范

围是.

3.设A,3是双曲线V-£=1上的两点，

2

(1)若点P(1,2)是线段的中点，求直线他的方程；

(2)若直线钻过定点Q(2/)，求线段AS的中点轨迹方程.

4.(2013高考大纲卷8)椭圆C:3+弓=1的左.右顶点分别为A，4，点P在椭圆。上，直线尸&的斜率的

取值范围是［-2,-1］,那么直线班的斜率的取值范围是()

A.U333

B.C.-.1D.-,1

248^24

5.已知椭圆［+方=l(a>b>0),点A为椭圆上异于顶点的任意一点，过点A作长轴的垂线，垂足为连

结AO并延长交椭圆于另一点8,连结物0并延长交椭圆于点C,若84_LC4,则椭圆的离心率为.

6.(2011江苏卷)如图4-1,在平面直角坐标系X。)，中，点A/,N分别是椭圆?+］=1的顶点，过坐标原点

的直线交椭圆于尸,4两点，其中P在第一象限，过尸作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点

B,设直线P4的斜率为

(1)当直线R4平分线段时，求k的值；

(2)当％=2时，求点P到直线的距离d；

(3)对任意我>0,求证：PA1PB.

7.（2003江苏高考10）已知双曲线中心在原点，且一个焦点为尸（夜,0）,直线y=x-l与其相交于M,N两

2

点，MN中点的横坐标为-则此双曲线方程为（)

3

一九1

A-=I£>.------=1D

4T4352

22

8.已知双曲线，-斗•=l（a>0,6>0）,过x轴上点E的直线/与双曲线的右支交于A,8两点（A在第一象

限），直线AO交双曲线左支于点C,连接CB.若/4EO=6（）。，Z4BC=30°,则该双曲线的离心率为

（）

A.A/2B.y/3C.2D.4

22

9.（2012年浙江高考）双曲线C:=-4=l（a>0力>0）的左右焦点分别为月,E,8为虚轴的端点，直线耳3

a"b~

与双曲线C的两条渐近线交于P,。两点，线段尸。的中垂线与x轴交于点M,若行|=|片鸟则双曲线的离心

率为•

=.巩固练习参考答案

41

1、解析：设的中点为M，则&八B・e河=--，又心8=-，

93

4—4

所以k°M—,故直线OM的方程为y-——x.

由广丁，解得5.所以弦回的中点坐标为「

2、解析：如图4-2,设直线AB的方程为y="+b.

图4-2

由条件有即2=4,所以24

2kb

y=kx+bx

M2F+1

由1,解得,

1

I2ky

M获

又因为点M在椭圆内，所以—巫＜」-＜巫，故k＞叵或k-叵

44%41414

依题意有/=-孚~=-'，化简得，b=

2k+1222k

所以J或J.

22

,2

3、解析：（1）由条件有无A8，4OP=r=2，又Z0p=2,所以原5=1,

a~

于是直线AB的方程为y-2=x-\,即y=x+l.

（2）设线段AB的中点为M（x,），），当XH2时，由垂径定理有义」上=2,整理得,

x-2x

2x2_y2-4x+y=0(*)

当x=2时，显然中点为（2,0）也适合方程（*）.

故方程2d一/一+》=o即为所求的中点轨迹方程.

4、解析：由垂径定理有，kPA-kPA=-4=--,又e[-2,-l],所以A故选B.

126r4-84

5、解析：如图4-3,设B（-xp-y,）,M（xP0）,

由椭圆的垂径定理有原c・%）=-4，所以&s=-」-=-土.

«■k,\Byx

图4-3

b2

乂kcB=即M=白，于是=————=——,B[Ja2=2b2.

2内乂2天2

所以离心率为e=^

2

6、解析：（1）点M（-2,0）,N（0,-夜卜A7N的中点坐标为-1,-,

所以％=农

2

y=2x4

（2）由《,哈。）,

x2+2y23

2

所以，直线AC的方程为七=-y■与即y=x——

3

333

242

3-3-3272

所以点P到直线45的距离为〃=

V23

y=kx

（3）证法一（设线联立求点硬算）：由,消y得，(1+2公)x?=4.

%2+2y2=4

22k2

所以A,P,C,0,

、Jl+2&2'J1+2A:?11+2k2

kk2

于是心c=2,所以直线AC:y='x—.—，代入椭圆方程得

AC221VI+2k2J