北京市昌平临川育人学校2023-2024学年九年级上册数学期末联考试题含解析

北京市昌平临川育人学校2023-2024学年九上数学期末联考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知二次函数y=/-6x+机（租是实数），当自变量任取玉，/时，分别与之对应的函数值》，为满足X>%，

则再，/应满足的关系式是（）

A.X]—3<龙2—3B.玉一3>々一3

C.|^|—3|<|x2-3|D.|%|-3|>-3|

2.二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（-1,-3）

3.如图，在。O中，弦BC=L点A是圆上一点，且NBAC=30。，则的长是（）

B.—7T

3

4.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与AA3C相似的是（

5.已知抛物线y=-必+标+3,则该抛物线的顶点坐标为（

A.(-2,7)B.(2,7)C.(2,-9)D.(-2,-9)

6.如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80，层的矩形花圃（墙长为12根），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x

为（)

A.4，%或10”B.4/77C.10mD.8m

7.如图，已知：在。O中，OAJ_BC,ZAOB=70°,则NADC的度数为（

TT*-----/

A.70°B.45°C.35°D.30°

8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=・4x+4的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点，正方形ABCD的顶点C,D

k

在第一象限，顶点D在反比例函数y=1（k70）的图像上，若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在

反比例函数的图像上，则n的值是（）

9.如图，ABC与A0E相似，且NADE=NB,则下列比例式中正确的是（

AEADAE_ABADABAEDE

B.--------------

BEDCABAC~AC~~BC

10.将y=・（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（）

A.y=-2B.y=2C.y=-3D.y=3

11.一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同.从袋子中随机摸

出一个球，则它是黄球的概率是（）

1151

A.—B.—C.—D.一

43122

12.二次函数y=/+—+，的图象如图所示，若点4（0,,）和3（-3,%）在此函数图象上，则口与丫2的大小关系

是（）

A.X>%B.X<%c.y=>2D.无法确定

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图,四边形ABCD中,AB〃CD,NB=9(T,AB=1,CD=2,BC=3^P为BC边上一动点，若APAB与APCD是相似三角

形，则BP的长为

14.半径为4的圆中，长为4的弦所对的圆周角的度数是.

15.如图，正方形ABC。和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F、G分别在边BC、CD上，P为AE的中点,

连接PG,则PG的长为.

16.如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴相交于点A,B(m+2,0),与y轴相交于点C,点D在该抛物线上，坐标为

(m,c),则点A的坐标是.

17.利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一

点E.若标杆的高为1.5米，测得OE=2米，80=16米，则建筑物的高AB为米.

1,

18.将抛物线y=-§(x-5>+3向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为

三、解答题(共78分)

19.(8分)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0。<<1<360。)，得到矩形AEFG.

备用图

(1)如图，当点E在BD上时.求证：FD=CD；

(2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

20.(8分)如图①，在AA3c与AAOE中，AB=AC,AD=AE.

(1)30与CE的数量关系是：BDCE.

(2)把图①中的AABC绕点A旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.

①求证：BD=CE.

②若延长DB交EC于点/，则NDEE与ND4E的数量关系是什么？并说明理由.

(3)若AD=8,AB=5,把图①中的AA8C绕点A顺时针旋转a(0°<a,,360°),直接写出8。长度的取值范围.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=gx+2的图象与y轴交于4点，与x轴交于8点，。尸的半径

为石，其圆心产在x轴上运动.

(2)在(1)的条件下，点C为上在第一象限内的一点，过点C作。P的切线交直线A8于点O,且NAZ)C=120°,

求。点的坐标；

(3)如图2,若。尸向左运动，圆心产与点8重合，且OP与线段A8交于E点，与线段80相交于尸点，G点为弧

EF上一点，直接写出!AG+0G的最小值

2------

22.(10分)如图，等边A8C的边长为8,。的半径为百，点。从A点开始，在A8C的边上沿A-B-C—A

方向运动.

(1)_。从A点出发至回到A点，与ABC的边相切了次;

(2)当00与边AC相切时，求。4的长度.

23.(10分)如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知：AB=24cm,

CD=8cm.

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）

（2）求（1）中所作圆的半径

24.（10分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最

喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如

下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图解答下列问题：

（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为度;

（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这

两项的概率.

25.（12分）综合与探究:

（1）操作发现:如图1,在中，NACB=90。，以点。为中心，把AfiC顺时针旋转90°,得到44。;再

以点A为中心，把A8C逆时针旋转90。，得到48人.连接4G.则AG与AC的位置关系为平行;

图I

（2）探究证明:如图2,当A3C是锐角三角形，NACB=a3#60。）时，将「ABC按照（1）中的方式，以点C为

中心，把ABC顺时针旋转“，得至!]再以点A为中心，把A8C逆时针旋转。，得到AB2G.连接4G，

①探究AG与8C的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

②探究与AC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.

26.2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售.因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，

决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元.

（1）求平均每年下调的百分率；

（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在

银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【解析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线x=3,然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大可得

到|XI-3|>|X2-3].

【详解】抛物线的对称轴为直线x=F;=3,

2x1

Vyi>y2,

，点（xi,yi）比点（X2,yi）到直线x=3的距离要大，

/.|XI-3|>|X2-3|.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.

2、B

【解析】分析：据二次函数的顶点式，可直接得出其顶点坐标;

解：..•二次函数的解析式为：y=-(x-1)?+3,

...其图象的顶点坐标是：(1,3)；

故选A.

3、B

【解析】连接OB,OC.首先证明AOBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可.

【详解】解：连接OB,OC.

,:ZBOC=2ZBAC=60°,

VOB=OC,

•••△OBC是等边三角形,

.,.OB=OC=BC=L

60•1•171

二的长=

1803

故选B.

【点睛】

考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

4、B

【分析】求出AABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定

两个三角形相似，由此得到答案.

【详解】如图，AB=13°+F=V10fAC=2,BC=42?+f,

A、三边依次为：2及，垂＞，'，

•.•沙力之力也，；.A选项中的三角形与AABC不相似;

2V2V51

B、三边依次为：下、母、1,

..河_2_V2

飞FF...B选项中的三角形与AABC相似;

C、三边依次为：3、石、0,

..屈+2+五

.亍"忑”正C选项中的三角形与AABC不相似;

D、三边依次为：岳、小、2,

•.•契工①，.・.D选项中的三角形与AABC不相似；

V13V52

故选：B.

【点睛】

此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等

是解题的关键.

5、B

【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标.

【详解】..•抛物线y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

...该抛物线的顶点坐标是(2,7),

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

6、C

【分析】设与墙相对的边长为(28-2x)m,根据题意列出方程x(28-2x)=80,求解即可.

【详解】设与墙相对的边长为(28-2x)m,则0V28-2XW12,解得8卷<14,

根据题意列出方程x(28-2x)=80,

解得xi=4,X2=10

因为把x<14

与墙垂直的边X为10m

故答案为C.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.

7、C

【分析】先根据垂径定理得出A8=AC，再由圆周角定理即可得出结论.

【详解】解：yOALBC,NAOB=70。，

**•AB=AC9

：.ZADC=-ZAOB=35°.

2

故选C.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

是解答此题的关键.

8、B

【分析】由一次函数的关系式可以求出与x轴和y轴的交点坐标，即求出OA,OB的长，由正方形的性质，三角形全

等可以求出DE、AE、CF、BF的长，进而求出G点的坐标，最后求出CG的长就是n的值.

【详解】如图过点D、C分别做DE_Lx轴，CF_Ly轴，垂足分别为E,F.

CF交反比例函数的图像于点G.

把x=o和y=0分别代入y=-4x+4

得y=4和x=l

AA(l,0),B(0,4)

.\OA=1,OB=4

由ABCD是正方形，易证

AAOB^ADEA^ABCF(AAS)

，DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4

，D(5,1),F(0,5)

把D点坐标代入反比例函数丫=幺，得k=5

X

把户5代入y=2,得x=l,即FG=1

x

CG=CF-FG=4-1=3,即n=3

故答案为B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图像上的坐标特征，正方形的性质，以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段长是解

决问题的关键.

9、D

【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.

【详解】由题意可得，所以一=一，

ACBC

故选D.

【点睛】

在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若则说明点A的对应点为点/T,点B

的对应点夕，点C的对应点为点C.

10、A

【分析】根据二次函数图象“左移X加，右移X减，上移c加，下移c减”的规律即可知平移后的解析式，进而可判

断最值.

【详解】将y=-(x+4)4I的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位，

所得图象的函数表达式是y=-(x+4-1)M-3,

即y=-(x+1)1-1,

所以其顶点坐标是(-1,-1),

由于该函数图象开口方向向下，

所以，所得函数的最大值是-1.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查二次函数图象的平移问题和最值问题，熟练掌握平移规律是解题关键.

11、B

【分析】利用概率公式直接计算即可.

【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个，

41

从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率一=一.

123

故选B.

【点睛】

本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.

12、A

【分析】由图象可知抛物线的对称轴为直线x=-2,所以设点4关于对称轴对称的点为点C,如图，此时点C坐标为

（一4,以），点8与点C都在对称轴左边，从而利用二次函数的增减性判断即可.

【详解】解：•••抛物线的对称轴为直线》=-2,

设点A关于对称轴对称的点为点C,.•.点C坐标为（-4,ji）,

此时点A、B.C的大体位置如图所示，

••・当x<2时，）随着x的增大而减小，-4<-3,A^>y2.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1或2

【分析】设BP=x，贝!]CP=BC-BP=3—x,易证NB=NC=90°，根据相似三角形的对应顶点分类讨论:①若APABSAPDC

时，列出比例式即可求出BP；②若APABSADPC时，原理同上.

【详解】解：设BP=x,则CP=BC-BP=3-x

VAB/7CD,ZB=90°,

AZC=1800-ZB=90°

①若APABS^PDC时

.AB_BP

''~CD~~CP

解得：x=l

即此时BP=1；

②若APABs^DPC时

.ABBP

'~PC~~CD

解得：％=1,々=2

即此时BP=1或2；

综上所述：BP=1或2.

故答案为：1或2.

【点睛】

此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解决此题的关键.

14、30°或150°

【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C,连接AC,BC,在劣弧上取点D,连接AD,BD,易得AOB

是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案.

【详解工

如图所示

在优弧上取点C,连接AC,BC,在劣弧上取点D,连接AD,BD,

VOA=OB=4cm,AB=4cm

:.OA=AB=OB

...AOB是等边三角形

二ZAOB=60°

.,.ZC=-ZAO5=30°

2

/.ZD=180°-ZC=150°

...所对的圆周角的度数为30。或150。

故答案为：30。或150°.

【点睛】

本题考查了圆周角的问题，掌握圆周角定理是解题的关键.

15、y[5

【分析】延长GE交AB于点O,作PH1OE于点H,则PH是AOAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在RtAPGH

中利用勾股定理求解.

【详解】解：延长GE交AB于点O,作PHJ_OE于点H.

则PH/7AB.

•••P是AE的中点，

APH是aAOE的中位线，

.\PH=-OA=-X(3-1)=1.

22

丫直角aAOE中，NOAE=45。，

...△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2,

同理△PHE中，HE=PH=1.

.*.HG=HE+EG=1+1=2.

:，在RtAPHG中，PG=^PH2+HG2=Vl2+22=石

故答案是：也.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键.

16、(一2,0)

m

【解析】由C(0,c),O(叫c),得函数图象的对称轴是尤=一,

2

设A点坐标为(x,0),由A.5关于对称轴x=y对称得、+：+2=晟，

解得x=-2,

即A点坐标为(-2,0),

故答案为(-2,0).

17、13.5

【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得3的长即可.

【详解】解：TAB"C。，

:.AEBAsAECD,

.CDEDHn1.52

ABEBAB2+16

：.AB=13.5(米).

故答案为：13.5

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.

1,

18、y=—x2+5

3

【分析】根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行求解.

【详解】由将抛物线y=-；(x-5)2+3向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为

y=--x2+5；

3

1,

故答案为丁=一：；/+5.

3

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数的图像平移方法是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)见解析;(2)见解析.

【分析】(1)先运用SAS判定△AEDg2XFDE,可得DF=AE,再根据AE=AB=CD,即可得出CD=DF；

(2)当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据NDAG=60。，即可得到旋转角a的度数.

【详解】(1)由旋转可得，AE=AB,NAEF=NABC=NDAB=90。，EF=BC=AD,

.♦.NAEB=NABE,

XVZABE+ZEDA=90°=ZAEB+ZDEF,

.".ZEDA=ZDEF,

又；DE=ED,

/.△AED^AFDE(SAS),

.*.DF=AE,

又；AE=AB=CD,

.,.CD=DF；

(2)如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，取BC的中点H,连接GH交AD于M,

VGC=GB,

AGH±BC,

二四边形ABHM是矩形，

:.AM=BH=—AD=—AG,

22

.'GM垂直平分AD,

；.GD=GA=DA,

.,.△ADG是等边三角形，

.,.ZDAG=60°,

旋转角a=60°；

②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形,

*

..ZDAG=60°>

，旋转角a=360°-60°=300°.

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）

与性质的运用.

20、（1）=；（2）①详见解析；②ZDFE=ZDAE，理由详见解析；（3）3勃13.

【分析】（1）根据线段的和差定义即可解决问题；

（2）①②只要证明AZMSgAEAC,即可解决问题；

（3）由三角形的三边关系即可解决问题

【详解】解：（1）=

(2)①证明：由旋转的性质，得ND4E=NB4C.

AZDAE+ZBAE^ZBAC+ZBAE,即

ZDAB=ZEAC.

VAB^AC,AD^AE,

:.ADA的AE4c..，.BD=CE.

②ZDFE=NZME.理由：

VAZMB^AEAC,：.ZADB=ZAEC.

,:ZAOD=NEOF,

A180°-ZADB-ZAOD=180。—ZAEC-AEOF,

•••ZDFE=NDAE.

(3)3效Br>13.

【点睛】

本题考查了三角形全等的证明和三角形三边之间的关系，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握

21、(1)见解析；(2)D(拽，且+2)；(3)叵.

332

【分析】(1)连接四，先求出点A和点B的坐标，从而求出OA、OB、OP和AP的长，即可确定点A在圆上，根据

相似三角形的判定定理证出△AO3SZ\PQ4,根据相似三角形的性质和等量代换证出PA±AB,即可证出结论；

(2)连接R4,PD,根据切线长定理可求出NAZ)P=NPZ)C=gNAOC=60°,利用锐角三角函数求出AD,设D(m,

；m+2),根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出m的值即可；

(3)在8A上取一点J,使得3/=亚，连接8G,OJ,JG,根据相似三角形的判定定理证出△A/Gs2\BG4,列出

2

比例式可得GJ=!AG,从而得出gAG+OG=GJ+OG,设，点的坐标为("，!"+2),根据平面直角坐标系中任意

222

两点之间的距离公式求出n,从而求出OJ的长，然后根据两点之间线段最短可得GJ+OG2OJ,即可求出结论.

图1

,一次函数y=~x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于3点,

：.A(0,2),5(-4,0),

：.OA=2,05=4,

\'P(1,0),

：.OP=l,

二OA2=OB*OP,AP=yJoA^+OP2=V5

.OAOB-

»•=—»点A在圆上

OPOA

：NAO5=NAOP=90°,

:.△AOBS^POA,

:.NOAP=NABO,

VZOAP+ZAPO=9()°,

：.ZABO+ZAPO=90°,

：.ZBAP=90°,

：.PAA.AB,

...AB是。尸的切线.

(2)如图1-1中，连接口，PD.

'：DA,OC是。尸的切线，ZADC=120°,

:.ZADP=ZPDC=-ZADC=60°,

2

AZAPD=30°,

'：ZPAD=90°

：.AD=PA'tan30°=

3

设。(/n,—m+2')

29

VA(0,2),

,,1、，15

..m2+(—m+2-2)2=一,

29

解得m=±2叵，

3

•.,点O在第一象限，

._2百

,.m----------,

3

04=2,QB=4,NAO8=90°,

A"7(9A2+(9B2=A/22+42=*，

BG=5BJ=&,

2

BG=BJ・BA,

BG_BA

NJBG=NABG,

ABJGsXBGA,

JG_BG_1

AG一瓦一2，

GJ=—AGf

2

—AG+OG=GJ+OG9

2

•:BJ=Jl，设l/点的坐标为（"，［〃+2）,点8的坐标为（-4,0）

A(n+4)2+(-n+2)2=-,

24

解得：n=-3或-5（点J在点B右侧，故舍去）

国

'：GJ+OG^OJ,

：.—AG+OG^^-,

；.—AG+OG的最小值为

2

故答案为叵.

2

【点睛】

此题考查的是一次函数与圆的综合大题，掌握相似三角形的判定及性质、切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理、

锐角三角函数和两点之间线段最短是解决此题的关键.

22、（1）6；（2）Q4的长度为2或2屈.

【分析】（D由移动过程可知，圆与各边各相切2次；（2）由两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解.

【详解】解：（1）由移动过程可知，圆与各边各相切2次，故共相切6次.

（2）情况如图，E,F为切点，则OIE=O2F=V^

因为A3C是等边三角形

所以NA=NC=60。

所以NAOiE=30°

所以AE=《Aa

所以由O1E2+AE2=O|A2得.(6=092

解得：A0,=2

所以AE=1

因为AOIE^CO2F(AAS)

所以CF=AE=1

所以AF=AC-CF=8-1=7

2222

所以，02A=yjAF+O2F=^7+(A^)=2713.

所以，的长度为2或2比5.

【点睛】

考核知识点：切线性质.理解切线性质，利用勾股定理求解.

23、(1)图见解析；(2)1.

【分析】(1)由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC,BC的中垂线交于点O,则点O是弧ACB所

在圆的圆心；

(2)在RtAOAD中，由勾股定理可求得半径OA的长.

【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残

片所在的圆，如图.

(2)连接OA,设OA=x,AD=12cm>OD=(x-8)cm,

则根据勾股定理列方程:

x2=122+(x-8)2,

解得：x=l.

答：圆的半径为1cm.

24、(1)28.8；(2)-

6

【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占百分比即可得到调查的总人数，用总人数分别减去喜欢舞蹈、乐器、和其

它的人数得到喜欢戏曲的人数，即可得出答案；

（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再