浙江省温州市高三下学期3月第二次适应性考试（二模）数学

机密★考试结束前温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试数学试题卷2024.3本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破．选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则“”是“”的（）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．在正三棱台中，下列结论正确的是（）A． B．平面C． D．4．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．5．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（）A． B．64 C． D．326．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（）A． B． C． D．7．若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（）A．的图象关于对称 B．的图象关于对称C．在单调递增 D．有最小值二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（）A． B．C． D．角的终边在第一象限10．已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（）A．10 B．2 C． D．11．已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（）A．有最大值，但无最小值 B．最大时，球心在正四面体外C．最大时，同时取到最大值 D．有最小值，但无最大值非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12．平面向量满足，，，则______．13．如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于______．第13题图14．已知分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）记的内角所对的边分别为，已知．（1）求；（2）若，求的面积．16．（本小题满分15分）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．（1）求点的坐标（用表示）；（2）求的取值范围．17．（本小题满分15分）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：102030405060708012.816.51920.921.521.92325.4（1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：②1612920400109603③18．（本小题满分17分）数列满足：是等比数列，，且．（1）求；（2）求集合中所有元素的和；（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．19．（本小题满分17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：第19题图①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆与曲线在点处有相同的切线；③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；（2）求曲线的曲率半径的最小值；（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试数学试题参考答案及评分标准2024.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BDDBAACA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011选项ACDBDABD三、填空题：12．； 13．； 14．或四、解答题：15．解：①由得（正弦定理2分）得，或（每个答案1分）只写一个答案扣1分由（正切公式给2分）（也给2分）（对或进行讨论也给2分）得，又即，即由①得，（求出或给3分）又即得又（求出其中一个给1分）（公式和答案各给1分）②由得（切化弦就给2分）即，即由①得，（求出或给3分）又即得又（求出其中一个给1分）（公式和答案各给1分）16．解：（1）由题设得A、B两点关于原点对称，设，则，且，两式相减得，所以，．联立，，整理得，解得．用代替上述坐标中的k，可得或1．有对称坐标给1分2．点差思想2分，两点斜率公式1分3．写出给1分，到这里给4分4．直线与椭圆方程联立求得坐标给2分，只写一个坐标给1分5．P坐标正确给2分，一个正确给1分（2）由（1）得，当且仅当时等号成立．当时，有最小值4，但此时斜率不存在，故．1．弦长公式算是2分，有公式但代入错误给1分2．化简正确给2分3．算出最大值是5的最后给6分，算出正确结果给7分。17．（1）分值为6分说明1：四个数字中有一个正确、有分数结构就给2分回归方程为：说明2：（1）学生出现约等于5也给满分（2）只能计算正确才给2分（2）分值为9分2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元）说明3：有列式（错误）给2分，，得说明4：（1）有导数给2分（2）只要出现50就给3分其在上递增，上递减说明5：第一问的值求错，第二问有列函数式给2分，有求导再给2分（不管结果对错）18．解：（1），又，，解得：的公比，又，作差得：（有做差的过程，不管式子是否正确，均给1分）将代入，化简：，得：（结果正确，给1分）是公差的等差数列，说明：1、通项公式均正确，有过程，满分；2、只有通项公式，没有任何过程，给答案分2分；3、踩点给分：或（1分）或（1分）的公比（1分）（1分）注意：如果学生有写出，漏了不扣分，到处，给4分！又，作差得：（有作差的动作就给1分，不管运算对错）（1分，化简结果错不给分）（1分）（2）记集合的全体元素的和为，集合的所有元素的和为，集合的所有元素的和为，集合的所有元素的和为，则有对于数列：当时，是数列中的项当时，不是数列中的项，其中即（其中表示不超过实数的最大整数）写成：或也对说明：1、求出数列的前项和（1分）求出数列的前项和（1分），化简错，也给2、有指出不是数列的项或是数列的项（1分）3、有出现集合中所有元素的和为（即体现学生知道数列和集合概念的不同，还要减去数列与的公共项，表达错误也给1分）4、答案正确再给1分（表达正误在这里体现）。（3）①解：当时，是的正整数倍，故一定不是数列中的项；当时，，不是数列中的项；当时，，是数列中的项；综上，数列是“和稳定数列”，；（3分）说明：1、判断出数列是“和稳定数列”（1分）；2、写出是“和稳定数列”的的一个值：如（1分）；写出是“和稳定数列”的的所有值并说明理由（1分）（3）②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：不妨设：，则，且故不是数列中的项。方法二：反证法：若存在互不相等的正整数，使得是数列中的项。不妨设：，易知，设，即，两边除以得：，该式左边是奇数，右边是偶数，显然不成立，故假设不成立，数列不是“和稳定数列”。说明：1、判断出数列是“和稳定数列”（1分）；2、写出是“和稳定数列”的的一个值：如（1分）；写出是“和稳定数列”的j的所有值并说明理由（1分）（直接写出是“和稳定数列”的的所有值并说明理由2分）3、判断出数列不是“和稳定数列”（1分）；4、证明数列不是“和稳定数列”（1分）19．解：（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．则，有求导就给1分故，给1分即所以抛物线在原点的曲率圆的方程为（2）设曲线在的曲率半径为．则法一：，两等式各1分由知，所以曲率半径一般式1分故曲线在点处的曲率半径求导代入，得出该曲线曲率半径1分所以，基本不等式求解最值1分故，曲线在点处的曲率半径．取等条件1分法二：两等式各1分所以，而，所以解方程，得出该曲线曲率半径2分故，曲线在点处的曲率半径．取等条件1分（3）法一：函数的图象在处的曲率半径曲率半径表达式正确1分故由题意知：令，则有，换元1分所以，即，故．化简2分又所以．基本不等式求最值2分法二：函数的图象在处的曲率半径有曲率半径表达式正确1分令，则有，换元1分则，故化简2分所以有令，则，即，基本不等式求最值2分故，所以，即法三：函数的图象在处的曲率半径．曲率半径表达式正确1分故设，则所以在上单调递减，