河北省承德市部分高中2024届高三年级上册12月期中考试数学

2023-2024学年度上学期高三年级自我提升中期测试

数学试卷

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

1.已知复数z满足(4+3i”=-i,则z的虚部为()

4c44.4.

AA.------B.—C.------iD.—i

25252525

2.已知正方体ABC。-44G2，。为下底面ABC。的中心，P为棱。A的中点，则下列说法错误的是

()

A.直线耳C与直线48所成角60°B,直线耳C与直线。尸所成角为90。

C.直线用C,平面PA。D.直线qC与底面ABC。所成角为45。

3.在WC中，AC=2DC,CB=2BE,CA=a,CB=b,则0E=()

1313131.3,

A.—d-\--bB.—a+~bC.——a—bD.—a-----b

22222222

b

4.当x=l时，函数/(x)=alnx+—取得最大值—2,则/'(2)=()

x

1i

A.-1B.------C.-D.1

22

5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，圆锥的高分别为膈和心,侧面积分

另！J为S甲和S乙，若学=2,则等=()

S乙吃

A.2B.75C.VWD.叵

4

6.将函数/(x)=sin/x+F](o>0)图像向左平移■个单位长度后得到曲线C,若。关于y轴对

称，则①的最小值是()

1125

AA.-B.—C.—D.—

6333

7.设｛q｝是公差为d等差数列，S”是其前“项和，且q<0,“9=52023,贝U()

A.d<0B.。2011=°C.84022=°D.S“2s2oi2

8.已知函数/(x)=2"m—x(a>0),若函数y=/(/(x))—x恰有两个零点，则〃的取值范围为

A.B.C.(0,1)D.(1,2)

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知根，〃是两条不重合的直线，M□是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A若m〃a,m1(3,则oJL/?B.若mua,nu〃/a,则a//0

C.者aa,n//B，则帆_L〃D.若mua,m〃/3,a/3=n,则加

10.已知函数〃x）=Aos巳―x+sin巳+x,则下列判断正确的是（）

A.的图象关于直线x=$对称

6

B.的图象关于点＞寸称

C.〃龙）在区间-g,0上单调递增

D.当时，/（%）£（-1,1）

11.已知函数“X）的定义域为其导函数为/'(无).若[x+/(x)]sinx=/'(x)cosx,且

/（0）=0,则（）

A./（x）是增函数B.“X）是减函数

C./（X）有最大值D./（x）没有极值

12.己知数列｛%｝满足4=1,/+1=a〃—,则()

A.数列｛%｝单调递减

B.an<2an+l

C.3an>4an+1D.—<IOO^QQ<3

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

fl-3fe

13.已知3a=5，log273=6，则9=.

14.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程

技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，

仰角为45。，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰

角为60。，据此估计该须弥塔的高度约为____________m.（参考数据：V2«1.414,1.732,结果

保留整数）

15.已知函数八％）的定义域为R,y=〃x）+e”是偶函数，y=/（x）—3/是奇函数，则的最小值为

16.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，BA±BC,AB=AAl=4,BC=4>j3,若尸为空间一动点，且

怛4|=岳，则满足条件的所有点尸围成的几何体的体积为；若动点尸在侧面441GC内

运动，且归囿=岳，则线段长的最小值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知等差数列｛4｝的前〃（〃eN*）项和为％数列也“｝是等比数列，q=3,伪=1,

82+§2=10,a5-2b2-a3.

⑴求数列｛叫和抄“｝的通项公式；

不，〃为奇数,,

⑵若%=｛S,,设数列｛%｝的前“项和为T“，求耳.

为偶数

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，O,E1分别是BRPABC的中点.

p

(1)证明：O£//平面P5C；

PH

(2)若平面。经过点”D,E,且与棱PB交于点H.请作图画出“在棱P3上的位置，并求出一的

HB

值.

19.在_ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知ZacsinA+/+c?—/=0.

7T

(1)若4=—,a=2,求_ABC的面积；

6

(2)求生电三料叫2的最小值，并求出此时B的大小.

sin2B

20已知函数/(x)=x(l—alnx)(aw0).

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)当a=l时，设%,马为两个不相等的正数，且满足/(石)=/(兀2)，证明：xi+x2<e.

21.如图，在四棱锥S—A3CD中，平面S3。，平面ABC。，底面ABCD是正方形，且E、尸分别是

SB、SD上靠近S的三等分点.

(1)求证：AC1SB；

(2)在SC上是否存在一点“，使平面MBD//平面AEF?若存在，求出型的值；若不存在，请说

MC

明理由.

尤2

22.已知函数/(x)=ln(l+x)+3.

(1)当xe[0,+8)时，比较与X的大小;

(a\

£=g(b)-1(〃>0,/?>0)

g(x)=COSXH---f(b2)+l>g(a+l)

(2)若函数2,且\7,证明:

2023-2024学年度上学期高三年级自我提升中期测试

数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知复数z满足«+3i）z=—i,则z的虚部为（）

444.4.

A.-----B.——C.-----1D.—1

25252525

【答案】A

【解析】

【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.

-i-i（4-3i）34.

［详解］因为（4+3i）z=-i,所以z=-------=---------,------r=-------------i,

4+3i（4+3i）（4-3i）2525

4

所以z的虚部为-一.

25

故选：A.

2.已知正方体ABC。—为下底面ABC。的中心，P为棱。〃的中点，则下列说法错误的是

（）

A.直线与。与直线43所成角为60。B.直线与。与直线0P所成角为90°

c,直线用平面PACD.直线4c与底面ABCD所成角为45°

【答案】c

【解析】

【分析】在正方体中，利用空间线、面的平行或垂直的判定与性质，结合正方体中已知的位置关系逐一对选

项判断即可，注意题目要求的是错误的选项.

对于选项A：因为耳C//A。，直线gc与直线4台所成角即为直线4。与直线43所成角，因为

48。是正三角形，故直线4。与直线所成角为60。，A正确;

对于选项B：因为OP〃BD[,又4C_LBC1，面BCG4，故4G，片。，而

4。1门3。]=。1，4。1，3£<=平面3G2,故与C，面5G4,所以直线故4c与直线

。尸所成角为90°,B正确；

对于选项C：同选项A结合正方体的性质可知直线B|C与AC不垂直，故C不正确；

对于选项D：由CG，平面A3CD可知直线4c与底面ABCD所成角为NB]CB,NB]CB=45°,故

D正确.

故选：C.

3.在，ABC中，AC=2DC,CB=2BE,CA=a,CB=b,则DE=(

B.L+为13

A.——a+—b-D.—a----b7

22222222

【答案】A

【解析】

3

【分析】先结合图形表示出CE=；CB,CD=-CA；再根据向量的减法运算即可解答.

2

因为AC=2DC,CB=255,01=4,08=人，

31

所以CE=3QB,CD=-CA.

22

-3-1-3-1-

所以DE="—CD=—C3——CA=-b——a.

2222

故选：A

b

4.当x=l时，函数/(x)=alnx+—取得最大值—2,则/'(2)=()

x

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知*1）=2/（1）=0即可解得a也再根据/'（尤）即可解出.

【详解】因为函数“X）定义域为（0,+"）,所以依题可知，/（1）=-2,/,（1）=0,而（（无）=：-5，

22

所以/?二一2,〃一〃=。，即〃=一2/二-2,所以/（%）二一一+—,因此函数/（%）在（0,1）上递增，在

xx

（1,+8）上递减，》=1时取最大值，满足题意，即有r（2）=—i+g=—g.

故选：B

5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，圆锥的高分别为4和心，侧面积分

别为S甲和S乙，若£=2,则步=（）

S乙h乙

A.2B.75C.V10D.巫

4

【答案】D

【解析】

【分析】设出母线长、圆心角及底面半径后计算即可得.

【详解】设甲、乙两个圆锥的母线长都为/,底面半径分别为（、弓，

侧面展开图的圆心角分别为a、0,则（/+分=2兀,

,—al2

则d=3——=3=2,故a=2/3,

s乙1例2B

4兀

即有a

T

27rl=al,即K————I,

12兀3

故选：D.

6.将函数/（x）=sin[ox+f3〉0）的图像向左平移!■个单位长度后得到曲线°,若C关于>轴对

称，则。的最小值是（）

112

A.-B.-C.一

633

【答案】C

【解析】

【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.

【详解】/（X）的图像向左平移|■个单位长度后为.7171

y=sinGX+一刃+一,

126；

由。关于》轴对称，即有0X0+工。+巴=工+E（keZ）,

262

27

解得0=耳+2左（左eZ）,又①>0,故。的最小值为

故选：C.

7.设｛%｝是公差为d的等差数列，是其前〃项和，且4<0,S]999=S2°23,则（）

A.d<0B.。2011=。C.S4022—°D.S〃N*^2012

【答案】C

【解析】

【分析】由S]999=S2023可得。2011+“2012=。，结合％<。知。2011<°,“2012>。，依次对选项判断即可.

【详解】因S]999=S20239

则S1999=4+〃2+“3++弓999，

S2023ICl?+(^3++“1999+°2000++“2023'

两式相减可得：%o0o+goo1+%002+〃2023=+出⑵)=Q，

即^2000+々2023=a2011+a2012=。,

又因为。1<。，所以。2011<0，。2012>0，所以d>0,故A,B错误;

4022(q+。4022)_4022(a2011+a2012

S4022==0,故C正确;

22

因为〃2011V°，“2012>°，所以⑸）3=$20山所以故D错误.

故选：c.

8.已知函数/(x)=2i+*—x(a>0),若函数y=/(/(尤))—尤恰有两个零点，则。的取值范围为

()

B.C.(0,1)D.(1,2)

(eln2'J

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得函数/(尤)=/(/(》))-x=2"匹)-22，问题可以转化为/(x)=x有两个解，即

Inx

河112=妈恰有两个解,构造g(x)=,，对g(x)求导，分析单调性，值域，进而可得结论.

XX

［详解］因为函数F(X)=/(/(%))_x=_f(x)-x=2”外工)_21+-,

因此尸(x)=0,即2/3=25,即4(x)=ox,又。〉0,

所以函数尸(x)恰有两个零点，即/(x)=x有两个解，

InV

即于口=2x恰有两个解，即aln2=——恰有两个解，

X

、「一s/、Inxw，/、1-lnx

工己函数g(%)=——，贝1g(%)=——5一'

XX

令g'(x)>0,解得0<x<e,令g'(x)<o,解得无>e,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

故极大值也是最大值为g(e)=弼=L

ee

作出g(x)的大致图象如下:

InY（1।1

所以。ln2=」恰有两个解，则aln2e0,一,故。6（。，=；），

xIejeln2

故选：A

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形得到即aln2=^恰有两个解，再设新函数研究右边的极值和图

X

象，利用数形结合的思想即可得到答案.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知根，，是两条不重合的直线，。,尸是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A,若m//a,机_L,，则tzJ_B.若机ua,“u尸,加〃力,“〃a,则a〃p

C.若a上B，m〃a,n〃0,则机_L〃D.若mua,m〃/3,a/3=n,则加

【答案】AD

【解析】

【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，对每个选项逐一判断，正确的加以证明，不正确的举出

反例.

【详解】对于选项A：过机作平面/交平面a于/,如下图，因为根a,所以机///,而m_L/?,所以

1-LJ3,而/ua,故选项A正确；

对于选项B：举反例如下图，设。0=1,当m/〃，〃///时，mua,nuB，m〃（3,n〃a,符合题目

条件，但a〃/?不成立，故选项B不正确；

对于选项C：举反例如上图，a工B，m〃a,n〃B,但此时加〃“选项C不正确；

对于选项D：若mua,m///3,a\/3=n,由线面平行的性质定理可得力〃〃，D正确;

故选：AD

10.已知函数/(x)=Gcosg-x]+sing+d,则下列判断正确的是()

A./(X)的图象关于直线》=巴对称

6

B.”力的图象关于点，对称

C."%)在区间-g,0上单调递增

D.当xel—g,g|时，/(%)e(-l,l)

【答案】BC

【解析】

【分析】AB选项，化简得到/(x)=2sinfx+g],代入x=5和x=—四，检验是否是对称轴和对称中心;

Voy66

兀717171I71571)

C选项，求出1+，从而得到C正确;D选项,求出—：，▼,得到了(力«-1,2).

62J6okoo7

【详解】A选项，/(x)=6cosx)+sin[]+x)=A/3sinx+cosx=2sin

当x=E时，=+=,故/(%)的图象不关于直线x=■对称，A错误；

B选项，当％=-6时，=2sin^--+—^=0,故/(%)的图象关于点对称，B正确;

,.271.7171717171

C选项，xe----,0时，xH—G-----,一，因为y=smz在26上单调递增，

36262o

故/(x)在区间一§,0上单调递增，C正确；

D选项，xe[-时，x+qe1—7，石[,故/(x)=2sin[x+a]e(-1,2),D错误.

故选：BC

11.已知函数“X)的定义域为1K],其导函数为了'(%).若[x+/(x)]sinx=/'(x)cosx,且

"0)=0,则()

A.尤)是增函数B.7(x)是减函数

C.7(%)有最大值D.7(x)没有极值

【答案】AD

【解析】

【分析】利用导数的运算法则，引入函数g(x)=〃x)cosx,由g'(x)20得其递增，从而可确定了'⑴的

正负得"X)的单调性，从而判断各选项.

【详解】因为''(%)cosx=［x+/(x)］sinx,所以/'(£)<»5兀一/(%)5桁%=%5桁%,设

g(x)=/(x)cosx,则g'(x)=xsinx,因为于万卜所以g'(x)=xsinxN。恒成立，所以

y=g(x)在上单调递增，又因为"0)=0,所以g(0)=/(0)cos0=0,所以当

时，g(x)<0,当时，g(x)>0,〃x)/9［=g'(x)c°sx+g(x)sinx,当

I2)|_cosxjcos2x

时，g(x)<0,g'(x)>0,cos%>0,sinx<0,故/其了)>。恒成立；当时，

g(%)>0,g'(九)>0,cosx>0,sin%>0,故/4x)>。恒成立.所以/'(x)20在［一■!，■1］上恒成

立,故丁=/(x)在［-合5］上单调递增.

故选：AD.

12.已知数列｛a“｝满足4=1,4+1=%—ga；(〃eN*),则()

A.数列｛g｝单调递减B.%<2%

C.3a„>4an+1D.—<lOOtz<3

2100

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：通过计算得到可>0,则有4M-4<0,即可得到；对B：作差构造不等式计算即可得;

对C：通过计算与、。3找出反例即可得；对D：通过递推公式变形，再构造放缩可得.

【详解】对A选项：由4=1,a%,+1。"一六3则g=耳6（0,1）,

依次类推可得当”22时，有a”e（0,1）,

故为+「4=—；d<0,故数列｛&｝单调递减,即A正确;

12

对B选项：由an+l=an

22为4

则2a“+i—a”=a~~an=--+

nIr

由q=l,当〃之2时，an£(0,1),

22

33

故2an”-+r]i~an=—3+->-—!0-—I+-=0>

n%48348

即a“<2%,故B正确;

一31,14,贝ij3a2=2,4a3=，〉2,

对C选项：/~。2—§“2~

即3%<4%,故C错误;

1,1311

----=-----------------1-

对D选项：由4+i=an--a-

%+i4(3-%)an3-。“

1111

即--------=----->3,

%an3-a„

111111111

故有-------->-,------>一,L,-------->一,（〃之2）

an4.13an-l4-23d?3

11l1z1123

累加有------>n，(n>2),

3an

31—2100.

故aioo<--------——，即有lOOq00<------<3,

100+23434

11111L1

—=--------<——

又%a33(〃+1，（M>2）

n3-43_

n+2

1111+

故当〃之3时，--------<TS

a,%3

111If,o

又------=3/1+T>

a2%2312)

111/八If11D/、

累加有------<片(“-1)+二|彳+片++->("23),

v

anq33123nJ/

即^l<-(100-l)+-11111

—I------F•••H---------<33+-|-x4+-x96=39,

“loo3323100326

即“100>9故l00%00>］，

故gvlOOqoo<3,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用递推关系合理构造及放缩法的巧妙运用.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知3"=5，log273=b,则9"-3）=.

25

【答案】—

【解析】

【分析】由指对互化得出log35=。，根据对数运算得出a-3〃=log3g,则可代入90厘中计算得出答案.

【详解】由3"=5可知1叫5=。，

则a-3b=log35-31og273=log35-3log333=log35-log33=log31,

则旷％=910g33=321og33=3晦1）=0=空,

25

故答案为：—.

9

14.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程

技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，

仰角为45°,他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰

角为60。，据此估计该须弥塔的高度约为_____________m.（参考数据：应。1.414，石土L732,结果

保留整数）

【答案】42

【解析】

【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合15°的正弦值，求出答案.

【详解】如图，44=17,因为NC41A=45°,NC42=60°,所以/4。耳=15°,

C

=44SinNC41a=17sin45°

i-sinZz41c4―sin15°'

其中sin15。=sin（60°-45。）=sin600cos45-cos600sin450=—x^-=-，

{'22224

17sin4517X

ifTrR_0_T_34®_34A/2X（76+A/2）

故净一飞旷—需⑹⑸、⑻@一]7（w+]）,

4

„17（3+6）17x4.732…

又CD]=CB[sin600=―匕——-,a且6rL732，所以=---------士40.2,

又该同学身高1.7m,所以塔高约为40.2+1.7=41.9ma42m.

故答案为：42.

15.已知函数“X)的定义域为R,y=〃x)+e*是偶函数，y=/(x)—3/是奇函数，则的最小值为

【答案】2A/2

【解析】

【分析】由题意可得/(%)=^+2片"再结合基本不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数y=〃x)+e”为偶函数，则/(—x)+eT=/(x)+eX,

BP/(x)-/(-x)=e-x-ex,①

又因为函数y=/(x)—3e”为奇函数，则/(-x)-3e-r=-f(x)+3er,

即/(x)+/(-x)=3eA+3e-r,②

联立①②可得/(x)=e*+2e-%,

由基本不等式可得/(%)=/+2e-r>2^ex-2e-x=2&，

当且仅当e*=2ef时，即当x=」ln2时，等号成立，

2

故函数/(尤)的最小值为2&•

故答案为：2叵

16.如图，在直三棱柱ABC-44G中，BA±BC,AB=A^=4,BC=4y/3,若尸为空间一动点，且

忱4|=屈，则满足条件的所有点尸围成的几何体的体积为；若动点尸在侧面AAGC内

运动，且忸4|=岳，则线段破长的最小值为.

【答案】①.52T②.回

【解析】

【分析】根据球的体积公式即可求解空1，根据球的截面圆性质，结合线面垂直以及点到圆上的最小距离即

可求解空2.

【详解】由伊4|=旧可得点p的轨迹为以用为圆心，以为半径的球面,

所以围成的球的体积为3兀（如『=52产,

过B作班1AC，

_ABBC4x4百八

由84,30,43=44=4,3。=46，则由等面积法可得AC-+卜⑹2心,

由于在直三棱柱ABC-4与£中，平面ABC,BEu平面ABC故

由于AAcAC=A,AA,ACu平面AAjQC,故BEJ_平面A41cle，

由于石尸u平面441clC,故BELEP,

所以BP=NEB?+EP?=y/n+EP2，

由于81到平面A4,C]C的距离和点B到平面A&GC的距离相等，均为BE=2^3,

又|P3j=屈，所以点尸的轨迹为以B]为圆心，以JR为半径的球与侧面A&GC的截面圆，该截面圆

的半径为r=J（啊2_於=1,圆心为尸,且满足EF//AA,,

因此点石尸的最小距离为4—r=3,

故明"12+础”底?3,

故答案为：必叵，721

3

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知等差数列｛4｝的前“（"eN*）项和为S“，数列抄”｝是等比数列，q=3,4=1,

Z?2+52=10,a5-2b2=a3.

⑴求数列｛4｝和低｝的通项公式;

不，〃为奇数（）

⑵若c'=｛S",设数列｛%｝的前几项和为T”，求与”.

却〃为偶数

l+22n+11

【答案】(1)。"=2"+1,2=2"T；(2)

32M+1

【详解】试题分析：（1）设等差数列｛4｝的公差为d，等比数列｛4｝的公比为必根据题意列出表达式,

解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和,

--一为奇数

数列cn=<nn+2，分组求和即可.

为偶数

解析:

（1）设等差数列｛4｝的公差为d，等比数列｛〃｝的公比为9,

q+3+3+d=10

%=3,4=1,b+S=10,a-2b2-a

22533+4d—2q=3+2d

H-1

:・d=2,q=2,：.an=2n+19bn=2.

n(3+2n+l)/、--—为奇数

一^="〃+)・・・

（2）由⑴知，Sn2,q<nn+2

2〃T,”为偶数

2-+■•-+3+—+”)=丁+

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CD是正方形，O,E,F分别是BRPABC的中点.

（1）证明：OE//平面PBC；

PH

（2）若平面a经过点£。,石，且与棱PB交于点”.请作图画出〃在棱尸3上的位置，并求出——的

HB

值.

【答案】（1）证明见解析

PH

（2）图见解析，一=2

HB

【解析】

【分析】（1）根据中位线可得线线平行，即可根据线面平行判定求证,

（2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解.

【小问1详解】

连接AC,则。为AC的中点，

因为E为K4的中点，所以OE〃尸C.

又OEZ平面PBCPCi平面PBC，

所以OE//平面PBC.

【小问2详解】

如图，过尸作直线/与平行，

则/〃AD,故/,A。共面.

延长。E与/交于点G,连接FG,FG与PB的交点即为点

因为底面ABCD是正方形，尸是的中点，

所以A£>〃3C,且AD=2£B，

因为E是K4的中点，所以尸G=AD,

19.在ABC中，内角A、B、。的对边分别为“、b、c,已知ZacsinA+/+c?—/=0.

7T

（1）若4=一，。=2,求,ABC的面积；

6

//、4sin2c+3sin2A+2,,।.（（>

（2）求------------------的最B小值，并求出此时3的大小r.

sin2B

【答案】19.6

4sin2c+3sii?A+22K

20.的最小值是5,此时3

sin25T

【解析】

【分析】(1)结合余弦定理与面积公式即可得；

(2)结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.

【小问1详解】

^22_,2

由题意得sinA+巴士——=0,

2ac

22

a+c"2

因为cosB=

lac

所以sinA+(:＜圮8=0,故cosB=—sinA,

兀1

又A=—,所以COSJB=—.

62

因为8、。是_43。的内角，所以B为钝角，

所以3=M，所以C=2，

所以.A5c是等腰三角形，则。=。=2,

所以^AABC=~cicsinB=gx2x2x.

【小问2详解】

由（1）可知，在_ABC中，cosB=—sinA<0,

7T

即3为钝角，则3=A+—,

2

3兀

因为A+_B+C=TC,C=TI—A.—B=-----2B,

2

m24sin2C+3sin2A+24cos22B+3cos2B+2

所以---------%--------=---------------------

sin2Bsin2B

4cos之23+3COS2B+2

设〃3)=

sin25

4（1-2sin2B）2+3（l-sin2B）+2

则〃B)=

sin2B

16sin4B-19sin2B+9,9

=16sin2B+--——19,

sin25sin2B

由sin23G（0,1）,

故=16sin2B+———19>2jl6sin2B•—-19=5,

')sin2BVsin2B

当且仅当16sin23=—即sin3=立，

sin-52

9jr

结合B为钝角，即当3=」时等号成立，

3

4sin2C+3sin2A+2।曰=,,,„2兀

所以---------；--------的最B小值是5,此时n3=—.

sin253

20.已知函数/(月=兀(1-疝)%)(000).

(1)讨论“X)的单调性；

(2)当。=1时，设石,工2为两个不相等的正数，且满足/(%)=/(兀2)，证明：Xi+x2<e.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数的正负判断函数单调性，求出/'(x)=-alnx+1—。=0的根，当。>0时，/'(可单

调减；当a<0时，/'(可单调增；分别求出门勾>。与/'(力<0的解即可；

⑵构造函数必可=/(x)—/(