辽宁省大连市高新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

辽宁省大连市高新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

（解析版）

一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1.（2分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是

（）

辨噜

A.540°B.360°C.720°D.10800

3.（2分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm^9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.\4cm

4.（2分）在平面直角坐标系中，点P（-2,3）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

5.（2分）根据下列已知条件，不能画出唯一AABC的是（）

A.NA=60°,NB=45°,AB=4B.NA=30°,AB=5,8c=3

C.NB=60°,AB=6,BC=10D.ZC=90°,AB=5,BC=3

6.（2分）若等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）

A.9B.7C.12D.9或12

7.（2分）如图，已知△ABC四△8£>E,NABC=/ACB=70°,则NABE的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

8.（2分）如图，8。是NABC的平分线，DELABE,5揖8。=36。炉，AB=\8cm,BC=

135

9.（2分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心；大于^AB

的长为半径画弧，两弧交于。，E两点，直线。E交BC于点F,连接AF.以点A为圆

心，AF为半径画弧，交BC延长线于点4,连接A”.若8C=3,则的周长为（）

10.（2分）如图，△ABC丝△OEF,FHLBC,垂足为E.若NA=a,NCHE=0,则NBEQ

的大小为（）

A.a-pB.900+a-pC.p-aD.900-a+p

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）如图，△ABC中，NB=35°,ZACD=120°,则NA=.

BCD

12.（3分）如图，四边形ABC。是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若Z8AC=65°,

/B=50°,则N8CD的大小为.

13.（3分）一个〃边形的每个内角都等于144°,则〃=.

14.（3分）如图，在△ABC中，NB=/C=30°,交BC于点力，BC=6,则A£>

15.（3分）如图，在△A8C中，AB^AC.过点A作的平行线交NA8C的角平分线于点

D,连接CD.若NBA£>=140°,则/ACD=°.

16.（3分）如图，在等边△ABC中，8F是AC上中线且8尸=4,点。在线段8F上，连接

AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF,则AE+EF的最小值

为.

三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18、19、20题各8分，共30分）

17.（6分）如图，点A,B,C,。在同一条直线上，CE//DF,EC=BD,AC=FD.求证:

AE=FB.

E

18.（8分）如图，在△A8C中，AB=AC,。为8c边上一点，AD=BD,AC=DC.求N

BAC的度数.

19.（8分）如图为某单摆装置示意图，摆线长0A=08=0C,当摆线位于。8位置时，过

点B作BD1.0A于点D,测得当摆线位于0C位置时，08与0C恰好垂直,

求此时摆球到0A的水平距离CE的长（CE_LOA）.

20.（8分）如答题卡中的图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建

立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4,-1）.

（1）请以x轴为对称轴，画出与△A8C对称的△481C1,并直接写出点4、阴、Cl的

坐标；

（2）点尸（a+1,》-2）与点C关于y轴对称，则。=,b=.

4

四、解答题（本题共2小题，其中21题8分，22题10分，共18分）

21.(8分)如图，在△ABC中，NBAC的平分线与BC的中垂线OE交于点E,过点E作

AC边的垂线，垂足N,过点E作A8延长线的垂线，垂足为M.

(1)求证：BM=CN；

(2)若AB=2,AC=8,求8M的长.

22.(10分)已知：如图，AC//BD,请先作图再解决问题.

(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹，(不要求写作法)

①作BE平分NA8O交AC于点E；

②在BA的延长线上截取AF=BA,连接EF；

(2)判断△8EF的形状，并说明理由.

五、解答题(本题共2小题，其中23题10分，24题12分，共22分)

23.(10分)如图，长方形A8CC中，AB=4cm,BC=6cm,现有一动点P从A出发以2c，血

秒的速度，沿矩形的边A-8-C-Q-A返回到点A停止，设点尸运动的时间为，秒.

(1)当f=3时、BP=cm；

(2)当，为何值时，连接CP,DP,是等腰三角形；

(3)0为A。边上的点，且。。=5,当f为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点

的三角形与△OCQ全等.

DDDC

24.(12分)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,射线A。，AE的夹角为工a，过点B作

B凡LAO于点凡直线8尸交AE于点G,连结CG.

(1)如图1,射线40,AE都在NBAC内部.

①若a=120°,/CAE=20。，则NCBG=。；

②作点8关于直线AD的对称点，，在图1中找出与线段GH相等的线段，并证明.

(2)如图2,射线在NBAC的内部，射线AE在NBAC的外部，其它条件不变，探

究线段8F,BG,CG之间的数量关系，并证明.

25.(12分)综合与实践

阅读材料：

材料1：如图1,在RtZXABC中，NACB=90°,ZA=60°,以C为圆心，C4长为半

径画弧，交A8边于点£>,连结CD,则△AC。是等边三角形，△BCD是等腰三角形.

材料2：如图2,△ABC是等边三角形，。为直线8。上一点，以4。为边在AO右侧作

等边△AOE,连结CE,随着力点位置的改变，始终有△ABD岭aACE.

根据上述阅读材料，解决下面的问题.

已知，在△ABC中，NACB=90°,ZA=60°,。为A8边上一点，以CD为边在CD

右侧作等边△C£»E.

特例探究：（1）如图3,当点E在48边上时，求证：DE=BE.

感悟应用：（2）如图4,当点E在△4BC内部时，连结BE,求证：DE=BE.

拓展延伸：（3）当点E在△A8C的外部时，过点E作于4,EF〃AB交射线AC

于F,CF=2,BH=3,请画出图形，并求的长.

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1.（2分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是

（）

铸触

0.JDM

【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个

图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

【解答】解：选项A、B、。均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合

的图形，所以是轴对称图形；

选项C,不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是

轴对称图形；

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.（2分）正八边形的外角和为（）

A.540°B.360°C.720°D.10800

【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可.

【解答】解：•.•任意多边形的外角和等于360°,

...正八边形的外角和等于360°,

故选：B.

【点评】本题考查了多边形的外角，掌握多边形的外角和等于360。是解题的关键.

3.（2分）在下列长度的四根木棒中，能与5a〃、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.\4cm

【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可.

【解答】解：设第三边的长为口〃?，

则9-5«9+5,即4cx<14,

，四根木棒中，长度为5c7〃的木棒，能与5c7”、9c7〃长的两根木棒钉成一个三角形，

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的

两边差小于第三边是解题的关键.

4.(2分)在平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可.

【解答】解：点尸(-2,3)关于x轴对称的点的坐标为(-2,-3).

故选：D.

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的

坐标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

5.(2分)根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是()

A./A=60°,NB=45°,AB=4B.ZA=30°,AB=5,8c=3

C.ZB=60°,AB=6,BC=10D./C=90°,AB=5,BC=3

【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.

【解答】解：A.ZA=60°,NB=45°,A8=4,符合全等三角形的判定定理ASA,能

画出唯一的△ABC,故本选项不符合题意；

B.乙4=30°,AB=5,BC=3,不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△ABC,

故本选项符合题意；

C.ZB=60°,AB=6,BC=10,符合全等三角形的判定定理SAS,能画出唯一的△ABC,

故本选项不符合题意；

D./C=90°,A8=5,BC=3,符合全等直角三角形的判定定理HL,能画出唯一的△

ABC,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的

关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有

HL.

6.（2分）若等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）

A.9B.7C.12D.9或12

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等

腰三角形有两条边长为2和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应

用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，

由于2+2<5,则三角形不存在；

（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.

所以这个三角形的周长为5+5+2=12.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角

形，涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应

养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.

7.（2分）如图，已知NABC=/ACB=70°,则NABE的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】先根据三角形内角和计算出NA=40°,再根据全等三角形的性质得到NO8E=

ZA=40°,然后计算NABC-N03E即可.

【解答】解：•.•/A8C=/4CB=70

AZA=180°-70°-70°=40°,

*：△ABg^BDE,

：.ZDBE^ZA=40°,

NABC-70°-40°=30°.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等.

8.（2分）如图，是NABC的平分线，DELABE,5揖8。=36。炉，AB=\8cm,BC=

135

【分析】过点D作DF1BC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=

DF,然后根据△ABC的面积列出方程求解即可得到DE.

【解答】解：如图，过点。作。尸_LBC于F,

；8。是/ABC的平分线，DE1AB,

：.DE=DF,

SMBC=36cm2,AB=IScm,BC=12cm,

S^ABC—SMBD+S&BCD=—AB*DE+—BC'DF=—DE*CAB+BC）=36c，/,

222

解得：DE=^-（cm）.

5

故选：c.

【点评】此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关

键.

9.（2分）如图，在△4BC中，NACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心；大于

的长为半径画弧，两弧交于O,E两点，直线OE交BC于点凡连接AF.以点A为圆

心，A尸为半径画弧，交BC延长线于点H,连接4”.若8c=3,则的周长为（）

A

【分析】直接利用基本作图方法得出OE垂直平分A8,AF=AH,再利用等腰三角形的

性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC=8F+FC=BC,即可得出答案.

【解答】解：由基本作图方法得出：QE垂直平分AB,

则AF=BF,

：.AF+FC=BF+FC=BC=3,

ffUAF=AH,AC.LFH,

：.FC=CH,

：.AF+FC=AH+HC^BC^3,

：.△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH^2BC=6.

故选：D.

【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知

识，正确得出AF+FC=8F+FC=BC是解题关键.

10.（2分）如图，△ABgXDEF,FHLBC,垂足为£若/A=a,NCHE=%则/BE。

的大小为（）

A.a-pB.900+a-pC.p-aD.90°-a+p

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出NC=90°-NCHE=90。-0,由三角形内角

和定理得出NB=180°-ZA-ZC=90°-a+p.根据全等三角形对应角相等求出N

D&F=/C=90°-a+p,根据即可得出答案.

【解答】解：•..FHLBC,垂足为E,

:.NCEH=NBEF=9Q°，

AZC=90°-ZCHE=90°-0,

；.NB=180°-ZA-ZC=180°-a-（900-p）=90°-a+p.

,:△ABCWADEF,

：.NDEF=NB=90°-a+0,

：.ZBED=ZBEF-ZD£F=90°-（90°-a+p）=a-p.

故选：A.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，三角形内角

和定理.掌握相关性质与定理是解题的关键.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）如图，△A8C中，NB=35°,乙48=120°,则NA=85°.

【分析】根据三角形外角的性质，得NACD=/B+NA,那么/A=/ACD-NB=85°.

【解答】解：VZACD^ZB+ZA,

N4=NACO-/B=120°-35°=85°.

故答案为：85°.

【点评】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关

键.

12.（3分）如图，四边形ABCC是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若/BAC=65°,

【分析】直接利用轴对称图形的性质得出/D4C=NBAC=65°,ND=/B=50°,再

结合三角形内角的定理得出答案.

【解答】解：•••四边形ABC。是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，

AZDAC=ZBAC=65°,ZD=ZB=50°

：.ZBCA=ZDCA=ISO°-65°-50°=65°,

/BCD的大小为：65°*2=130°.

故答案为：130°.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确得出对应角度数是解题关键.

13.（3分）一个〃边形的每个内角都等于144°,则”=10.

【分析】根据多边形的内角和定理：（n-2）180°求解即可.

【解答】解：由题意可得：（★2）180°=〃义144。，

解得n=10.

故答案为：10.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理.熟练掌握“边形的内角和为：（〃-2）180°

是关键.

14.（3分）如图，在△ABC中，ZB=ZC=30°,交BC于点力，BC=6,则4。

=2.

【分析】由三角形的内角和定理可求120°,结合垂直的定义可求得

30°,BD=2AD,进而可求得AO=」BC=2,即可求解.

3

【解答】解：；NB=/C=30°,

：.NBAC=180°-30°-30°=120°,

'：AD±AB,

：.ZBAD=9Q°,

：.ZCAD=ZC=3Q°,BD=2AD,

：.AD=CD,

.•.AO=LC=2.

3

故答案为：2.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角

形的性质，证明AL>=C£>是解题的关键.

15.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC.过点4作BC的平行线交N4BC的角平分线于点

D,连接CD若NBA£>=140°,则/ACD=70°.

【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出AB=AO,进而得出AC=4D,进而

得出ND4C=N4CB=40°,根据三角形内角和定理即可求解.

【解答】解：VZBAD=140°,AD//BC,

：.ZABC=40°,

"：AB=AC,

：.ZACB=ZABC=40°,

,JAD//BC,

.•.ND4C=/ACB=40°,

是NABC的角平分线，

NABD=ZDBC,

'：AD//BC,

.•.NAZ)B=/£)BC=20°,

AZABD=ZADB=20°,

：.AB^AD,

J.AC^AD,

：.ZACD=AX(180°-ACAD}=Ax(180°-40°)=70°.

22

故答案为：70.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，平行线的性质，等腰

三角形的性质与判定，证明AC=AD是解题的关键.

16.(3分)如图，在等边△ABC中，8F是AC上中线且8F=4,点。在线段上，连接

AD,在的右侧作等边△AOE,连接EF,则AE+EP的最小值为生应+4.

A

【分析】根据等边三角形的性质可得A2=AC,AD=AE,/BAC=/ZME=60°,据此

得出NABO=ZACE,作点A关于CE的对称点M,连接FM交CE于E',此时AE+EF

的值最小，止匕时AE+E尸证明△ACM是等边三角形，得出尸例=/8=4,于是得到

结论.

【解答】解：:△ABC、△AOE都是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,NR4C=NZME=60°,

：.NBAD=NCAE,

.♦.△BA。段△CAE(SAS),

NABD=ZACE,

'：AF=CF,

...NABO=NCBO=NACE=30°,

...点E在射线CE上运动(NACE=30°),

作点A关于CE的对称点仞，连接尸M交CE于E',

此时AE+EF的值最小，此时

；CA=CM,ZACM=60°,

**•△ACM是等边三角形，

；.FM=FB=4,

3_

：.AE+EF的最小值是4尸+尸加=生巨+4,

3

故答案为：生区+4.

3

【点评】本题考查的是轴对称的性质-最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形

的判定和性质是解题的关键.

三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18、19、20题各8分，共30分）

17.（6分）如图，点A,B,C,。在同一条直线上，CEHDF,EC=BD,AC=FD.求证:

AE=FB.

【分析】根据CE〃。凡可得/ACE=/。，再利用S4S证明得出对应

边相等即可.

【解答】证明：••♦（?£〃£>£

：.ZACE^ZD,

在△ACE和△FC8中，

'AC=FD

-ZACE=ZD«

EC=BD

.♦.△ACE丝△FOB（SAS）,

:.AE=FB.

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性

质，证明三角形全等是解决问题的关键.

18.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC边上一点，AD=BD,AC^DC.求/

54c的度数.

A

BDC

【分析】设N8=a,根据等腰三角形的性质得N8=NC=a,N8=N84O=a,进而得

ZCDA=ZB+ZBAD=2af则NC4O=NC£>A=2a,ZBAC=3a,进而根据NC+NCAD+

ZCDA=180°可解得a=36°,据此可得N84C的度数.

【解答】解：设N3=a,

・.・A8=AC,

/B=NC=a,

9：AD=BD,

/.NB=NBAD=a,

：.ZCDA=ZB+ZBAD=2af

•：AC=CD,

：.ZCAD=ZCDA=2a,

：.ZBAC=ZBAD+ZCAD=3a,

在△CAD中，NC+NC4O+NOM=180°,

/.a4-2a+2a=180°,

解得：a=36°,

・・・NBAC=3a=3X36°=108°.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形

的性质，灵活三角形内角和定理进行角度计算是解决问题的关键

19.（8分）如图为某单摆装置示意图，摆线长04=08=0。，当摆线位于位置时，过

点B作8O_L0A于点。，测得0。=1507b当摆线位于0C位置时，08与。。恰好垂直，

求此时摆球到0A的水平距离CE的长（C£J_O4）.

【分析】利用A4S证明△C0E0△03。，得CE=OO=15cm.

【解答】解：・・・OB，OC,

：.ZBOD+ZCOE=90°,

VCE10A,BDA,OA,

：.ZCEO=ZODB=90°,

，/80。+/8=90°,

：.NCOE=NB,

在△COE和△08。中，

，ZCOE=ZB

<ZCEO=ZODB-

OC=OB

:.XCOEQXOBD(A4S),

CE~—OD—•15cHi,

.••摆球到04的水平距离CE的长为｝5cm.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COEW^OB。是解题的关键.

20.(8分)如答题卡中的图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建

立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,-1).

(1)请以x轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1,并直接写出点Ai、Bi、。的

坐标；

(2)点P(a+1,b-2)与点C关于)，轴对称，则。=-5,b=1.

【分析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案.

(2)关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得“+1=-4,b-2

=-1,求出。，匕的值即可.

【解答】解：⑴如图，AA1B1C1即为所求.

点Ai(1,4),B\(5,4),Ci(4,1).

y

-

r-一-

4

I^

51

Lf+--

_

_^

r-

I

L

-

_

_

r-!2--

—L-h-

—5

r_L_

I

L4^f

_

_3

r

I

L^

4

(2)•・•点P与点。关于y轴对称，C(4,-1),

・••点P的坐标为(-4,-1),

/.a+1—~4,b~2—~1)

解得a--5,b=l.

故答案为：-5；1.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

四、解答题(本题共2小题，其中21题8分，22题10分，共18分)

21.(8分)如图，在△4BC中，/B4C的平分线与8c的中垂线。E交于点E,过点E作

4c边的垂线，垂足M过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.

(1)求证：BM=CN；

(2)若A8=2,AC=8,求8M的长.

【分析】(1)连接BE,CE,根据角平分线的性质得到EM=EM根据线段垂直平分线的

性质得到BE=CE,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到AM=AN,设BM=CN=x,列方程即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接BE,CE,

平分/BAC,EM1AB,ENLAC,

:.EM=EN,

・・・QE垂直平分BC,

：.BE=CE,

ARtABEM^RtACETVQHL),

：.BM=CN；

(2)解：VZM=ZANE=90°,

•••RtzMME丝RCANE(HL),

：.AM=ANf

设：BM=CN=x,

\'AB=2,AC=8,

；・x+2=8-x,

，x=3,

：.BM=3,

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性

质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

22.(10分)已知：如图，AC//BD,请先作图再解决问题.

(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹，(不要求写作法)

①作BE平分NABO交AC于点E；

②在BA的延长线上截取AF=BA,连接EF；

(2)判断aBE尸的形状，并说明理由.

【分析】（1）①根据要求作出图形即可；

②根据要求作出图形即可；

（2）证明AE=AF=A3,再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可.

【解答】解：（1）①如图，射线8E即为所求；

理由：・・・5£：平分NABC,

，NABE=NEBD,

\'AC//BDf

：./AEB=/EBD,

：.ZABE=NAEB,

：.AB=AE,

*：AB=AF9

：.AE=AF=AB,

：.ZAFE=ZAEF,ZABE=ZAEB,

VZABE+ZAFE+ZBEF=180°,

：.2ZAEF+2ZAEB=\S0°,

/.ZAEF+ZAEB=90°,

AZBEF=90°,

...△BEF是直角三角形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，直角三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

五、解答题（本题共2小题，其中23题10分，24题12分，共22分）

23.（10分）如图，长方形ABCQ中，AB=4cm,BC=6cm,现有一动点P从A出发以2cm/

秒的速度，沿矩形的边A-8-C-O-4返回到点A停止，设点尸运动的时间为/秒.

（1）当t=3时，BP=2cm；

（2）当/为何值时，连接CP,DP,是等腰三角形；

（3）Q为AO边上的点，且。Q=5,当，为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点

的三角形与△OCQ全等.

DCZJCDC

【分析】（1）当f=3时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；

（2）分三种情况讨论，①当点P在A8上时，②当点P在BC上时，③当点P在AO上

时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案；

（3）根据题意，要使一个三角形与△OC。全等，则点P的位置可以有四个，根据点P

运动的位置，即可计算出时间.

【解答】解：（1）当，=3时，点P走过的路程为：2X3=6,

：AB=4,

.•.点P运动到线段上，

:.BP=6-4=2,

故答案为：2；

（2）①当点P在AB上时，△（；£＞「是等腰三角形，

在矩形ABC。中，AD=BC,ZA=ZB=90°,

:.丛DAPq4cBp(HL),

：.AP=BP,

2

②当点尸在BC上时，△COP是等腰三角形,

：.CD^CP=4,

:.BP=CB-CD=2,

.f=AB+BP_4+2=3,

―2-2，

③当点P在AD上时，是等腰三角形,

：.DP=CD=4,

•『AB+CByD+DP_4+4+4+4=g

"―2=~~T~

综上所述，r=l或3或9时，△COP是等腰三角形；

（3）根据题意，如图，连接C0,则AB=C£>=4,N4=NB=NC=NO=90",DQ=5,

...要使一个三角形与aOCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ,

①当点P运动到P时，CP\=DQ=5,此时△£>CQgZ\CDP,

.•.点P的路程为：AB+BPi=4+1=5,

.•./=5+2=2.5,

②当点P运动到P2时，BP2=DQ=5,此时△COQgZ\ABP2,

，点P的路程为：AB+BP2=4+5=9,

；./=9+2=4.5,

③当点P运动到P3时，4尸3=。。=5,此时△CDQ丝△ABP3,

点P的路程为：AB+BC+CD+DP3=4+6+4+1=15,

.1=15+2=7.5,

④当点尸运动到P4时.，即P与。重合时，DPA=DQ=5,此时△C£）Q附△CQP4,

点P的路程为：AB+8C+CD+OP4=4+6+4+5=19,

Ar=194-2=9.5,

综上所述，时间的值可以是：f=2.5,4.5,7.5或9.5,

故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段

的动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行

分类讨论.

24.(12分)在△ABC中，AB=AC,ZBAC^a,射线A。，AE的夹角为工a，过点8作

2

于点F,直线交AE于点G,连结CG.

(1)如图1,射线40,AE都在N54C内部.

①若a=120°,ZCA£=20°,则NC8G=20°；

②作点8关于直线的对称点”，在图1中找出与线段GH相等的线段，并证明.

(2)如图2,射线AO在NBAC的内部，射线AE在NBAC的外部，其它条件不变，探

究线段8尸，BG,CG之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)①先根据角的运算得出NBA。的度数，根据三角形内角和求出/ABC的度

数；再根据直角三角形两锐角互余可得出NABG的度数，作差可得结论；

②连接4H,可得出AB=AH=AC,再根据/8AC=a,ZDAE=la,可得出/84F+/

2

CAE=」a,ZHAF+ZHAG^^a,所以NC4E=NHAG；进而可得△AG”丝△AGC(SAS),

22

再由全等三角形的性质可得结论：

(2)在8G延长线上取点H,使“尸=8立连结由垂直平分线的性质可得48=4”,

ZBAF=ZHAF；设NCAO=x,ZCAE=y,所以ND4E=x+y,由此表达N84C,ZBAF,

ZHAF,由NHAE=NDAE+NHAE,可得x+2y=x+y+N/ME,所以/”AE=y,即//ME

=/CAE；由此可得aACG也△AHG(SAS),所以CG=HG,由此可得结论.

【解答】解：(1)①；/B4C=a=120°,Z£)A£=Aa=60°,ZCAE=20°,

2

：.ZBAD=]20°-60°-20°=40°,

VBF±A£),

・・・NAFB=90°,

AZABF=90°-40°=50°,

・.・A8=AC,

・・・ZABC=ZACBf

：.ZABC=30°,

：.ZCBG=ZABF-ZABC=5O0-30°=20°

故答案为：20.

②GH=GC,理由如下：

证明：如图1,连结A”，

・.•点8与点”关于直线AO对称，AFLBH,

:・BF=HF,

；・AD是BH的垂直平分线，

：.AB=AH,ZBAF=ZHAFf

•・・4B=AC,

：.AH=ACf

VZBAC=a,ZDAE=Aa,

2

：.ZBAF+ZCAE=l-a,NHAF+/HAG=』a,

22

：.ZCAE=ZHAG；

u

：AG=AGf

：.AAGH^AAGC(SAS).

:・GH=GC；

(2)BG=2BF-CG；

证明：如图2,在BG延长线上取点”，使HF=BF.连结AH.

图2

'：AF±BH,BF=HF,

：.AB=AH,ZBAF^ZHAF-.

设NC4£>=x,NC4E=y,

ZDAE=x+yf

'：ZDAE=1.ZBAC.

2

・•.ZBAC=2x+2yf

：.ZBAF=ZBAC-ZCAD=2x+2y-x=x+2y.

・・・NHAF=ZBAF=x+2yf

丁NHAE=NDAE+NHAE,

x+2y=x+y+ZHAE,

：.ZHAE=yf即N/ME=NCAE；

*：AB=AC,AB=AH,

：.AC=AHf

9：AG=AG.

：.^ACG^/\AHG(SAS).

:.CG=HG；

*：BG=BH-GH,BH=2BF,

：.BG=2BF-CG.

【点评】本题在三角形背景下考查旋转的相关知识，属于三角形的综合应用，熟练掌握

三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键.

六、解答题（本题12分）

25.（12分）综合与实践

阅读材料:

材料1：如图1,在RtZ\ABC中，NACB=90°,乙4=60°,以C为圆心，C4长为半

径画弧，交AB边于点D,连结CZ),则△ACQ是等边三角形，△BC。是等腰三角形.

材