空间位置关系与空间几何体的基本计算课件高三数学二轮复习

专题四立体几何玩转小题第13讲空间位置关系与空间几何体的基本计算

考点梳理考情回顾高考预测空间几何体的面

积与体积2023新高考Ⅰ卷第14题2022新高考Ⅰ卷第4题2022新高考Ⅱ卷第11题1.热点：计算空间几何体

的体积、空间角，以选择

题、填空题呈现.2.重点：判断空间点、

线、面的位置关系，以多

选题呈现.空间角与距离2023新高考Ⅱ卷第9题2022新高考Ⅰ卷第9题空间点、线、面

的位置关系2021新高考Ⅰ卷第12题2021新高考Ⅱ卷第10题

1.（2022·上海卷）如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

，

Q

，

R

，

S

分别为棱

AB

，

BC

，

BB

1，

CD

的中点，连接

A

1

S

，

B

1

D

.

规定空

间中任意两点

M

，

N

，若线段

MN

上不存在点在线段

A

1

S

，

B

1

D

上，则

称

M

，

N

两点可视.下列各点中，与点

D

1可视的为（

D

）A.点PB.点BC.点RD.点QD

CA.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m33.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，则下

列说法中，正确的是（

ABD

）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°ABD4.（2019·全国Ⅰ卷改编）如图，直四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的底面是

菱形，

AA

1＝4，

AB

＝2，∠

BAD

＝60°，

E

是

BC

的中点，则点

C

到平

面

C

1

DE

的距离为

⁠

1.判断空间点、线、面位置关系的常用方法（1）

根据空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理

和性质定理逐项判断，解决问题.（2）

必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观

察点、线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.

（3）

平面与平面的夹角的求法①

几何法：找到二面角的棱的一个垂面，即可确定平面角，常利用三

垂线定理作二面角的平面角.

4.（1）

旋转体的侧面积和表面积①

S

圆柱侧＝2π

rl

，

S

圆柱表＝2π

r

（

r

＋

l

）（

r

为底面半径，

l

为母线长）.②

S

圆锥侧＝π

rl

，

S

圆锥表＝π

r

（

r

＋

l

）（

r

为底面半径，

l

为母线长）.③

S

球表＝4π

R

2（

R

为球的半径）.（2）

空间几何体的体积公式①

V

柱＝

Sh

（

S

为底面面积，

h

为高）.

热点1

空间点、线、面的位置关系判断[典例设计]例1（1）

（多选）已知

m

，

n

是两条不同的直线，α，β是两个不同的

平面，则下列说法中，正确的是（

BD

）A.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB.若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥βC.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βBD解：对于A，两个平行平面内的两条直线，可能平行，也可能异面.故A

错误.对于B，若

m

⊥α，

n

⊥β，则直线

m

，

n

对应的方向向量

a

，

b

可分

别看作α，β的法向量.因为

m

∥

n

，所以

a

∥

b

.因为α，β是两个不同的平

面，所以α∥β.故B正确.对于C，无法判断

m

，

n

的位置关系.故C错误.对

于D，因为

m

⊥α，

m

∥

n

，所以

n

⊥α.因为

n

∥β，所以在平面β内存在

直线

c

，使得

n

∥

c

.所以

c

⊥α.又因为

c

⊂β，所以α⊥β.故D正确.综上所

述，符合题意的是BD.（2）

（多选）如图所示为一个正八面体，它的每个面均为正三角形.若

G

，

H

，

M

，

N

分别是该正八面体的棱

DE

，

BC

，

AD

，

BF

的中点，则

下列结论中，正确的是（

AC

）ACA.四边形AECF是平行四边形B.GH与MN是异面直线C.GH∥平面EABD.GH⊥BC

因为

GM

∥

AE

，

GM

⊄平面

EAB

，

AE

⊂平面

EAB

，所以

GM

∥平面

EAB

.

易证

MH

∥

AB

，又因为

MH

⊄平面

EAB

，

AB

⊂平面

EAB

，所以

MH

∥平面

EAB

.因为

GM

⊂平面

MNHG

，

MH

⊂平面

MNHG

，

GM

∩

MH

＝

M

，所以平面

MNHG

∥平面

EAB

.

又因为

GH

⊂平面

MNGH

，所以

GH

∥平面

EAB

.

故C正确.易知

EH

⊥

BC

，

MH

⊥

BC

，又因为

EH

∩

MH

＝

H

，

EH

⊂平面

EMH

，

MH

⊂平面

EMH

，所以

BC

⊥平面

EMH

.

因为

GH

⊄平面

EMH

，

GH

∩平面

EMH

＝

H

，

BC

∩平面

EMH

＝

H

，所以

GH

与

BC

不垂直.故D错误.综上所述，符合题意的是AC.[对点训练]1.（1）

（多选）在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，直线

A

1

C

与平面

AB

1

D

1的交点为

M

，

O

为线段

B

1

D

1的中点，则下列说法中，正确的是

（

ABD

）A.A，M，O三点共线B.M，O，A1，A四点共面C.B，B1，O，M四点共面D.A，O，C，M四点共面ABD123456789101112131415161718192021222324解：根据题意，作出图形如图所示.连接

AC

，

A

1

C

1，

OA

.

易知

A

1

C

1∩

B

1

D

1＝

O

.

因为

AA

1∥

CC

1，所以

A

，

A

1，

C

1，

C

四点共面.因为

M

∈

A

1

C

，所以

M

∈平面

ACC

1

A

1.因为

M

∈平面

AB

1

D

1，所以点

M

在平面

ACC

1

A

1与平面

AB

1

D

1的交线上.因为平面

ACC

1

A

1∩平面

AB

1

D

1＝

OA

，所以

A

，

M

，

O

三点共线，从而

M

，

O

，

A

1，

A

四点共面，

A

，

O

，

C

，

M

四点共面.故ABD正确.由长方体的性质，易得

OM

，

BB

1是异面直线，所以

B

，

B

1，

O

，

M

四点不共面.故C错误.综上所述，符合题意的是ABD.（2）

设点

E

为正方形

ABCD

的中心，

M

为平面

ABCD

外一点，△

MAB

为等腰直角三角形，且∠

MAB

＝90°.若

F

是线段

MB

的中点，则下列说

法中，正确的是（

B

）A.ME≠DF，且直线ME，DF是相交直线B.ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线C.ME≠DF，且直线ME，DF是异面直线D.ME＝DF，且直线ME，DF是异面直线B

热点2

空间角与距离的简单计算[典例设计]例2（1）

在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，若

P

为

B

1

D

1的中点，则

直线

PB

与

AD

1所成的角为（

D

）A.B.C.D.D

（2）

（2022·全国甲卷）在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，已知

B

1

D

与

平面

ABCD

和平面

AA

1

B

1

B

所成的角均为30°，则下列说法中，正确的是

（

D

）A.AB＝2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC＝CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°D

（3）

如图，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2

AD

，

E

为侧

棱

DD

1上一点.若直线

BD

1∥平面

AEC

，则二面角

E

－

AC

－

B

的正切值

为（

B

）BA.B.－C.D.－

总结提炼

空间角的计算通常运用向量法或几何法.解题时应根据实际情况灵

活选用方法，提高解题效率.[对点训练]2.（多选）（2022·广州模拟）在长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

2，

AA

1＝3，

AD

＝4，则下列命题中，为真命题的是（

ACD

）A.若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则tanφ＝B.若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与平面BCC1B1

交于点M，则AM＝C.若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则sinθ＝D.若经过点A的平面β与长方体所有面所成的锐二面角都为μ，则sinμ

＝ACD[典例设计]例3（1）

（2022·广州模拟）如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，

PB

⊥平

面

ABCD

，

AB

⊥

BC

，

PB

＝

AB

＝2

BC

＝2，则点

C

到直线

PA

的距离为

（

A

）AA.B.C.D.2

总结提炼

求点到平面的距离有两种方法，一是向量法，二是等体积法.向量

法的本质是坐标运算，等体积法的本质是对体积实施两次运算建立所

求距离的方程求解.[对点训练]

热点3

空间几何体的表面