河北省邯郸市高三下学期第三次调研考试考试（一模）数学

邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若复数纯虚数，则实数（）A. B. C. D.23.已知向量与共线，则（）A. B. C. D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C.6 D.1925.已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（）A1 B.2 C.3 D.46.已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（）A.13 B.14 C.15 D.167.已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（）A. B.C. D.8.已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（）A B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线，则（）A.的取值范围是 B.的焦点可在轴上也可在轴上C.的焦距为6 D.的离心率的取值范围为10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A.共有18个顶点 B.共有36条棱C.表面积为 D.体积为11.已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.若为边中点，且，则的面积的最大值为C.若是锐角三角形，则的取值范围是D.若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．13.从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________．14.记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x12345招生人数y/千人0.811.31.72.2（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．17.在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．（1）求四棱锥的高；（2）求二面角的正弦值．18.已知椭圆经过，两点．（1）求的方程；（2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．19.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．（i）求的取值范围；（ii）求证：．邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合结合交集的概念即可得解.详解】，，所以．故选：C.2.若复数为纯虚数，则实数（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算化简，再利用复数的分类即可得解.【详解】因为，又为纯虚数，所以，解得.故选：C.3.已知向量与共线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.【详解】因为，所以，解得，所以．故选：B.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C.6 D.192【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．故选：A.5.已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出，即可得解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，所以，解得或（舍去），所以．故选：D6.已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】过及作准线垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.【详解】由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以的周长，当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13.故选：A7.已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解.【详解】因为是偶函数，，在上单调递减，所以在上单调递减．，，因为，，所以，，所以，所以，故．故选：B.8.已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意和几何关系，并在所在平面内建立平面直角坐标系，确定点的位置和坐标，即可求解.【详解】由题意知与均为等边三角形，连接，，则，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等边三角形．设为的外心，为的中点，连接，则点O，P，Q都在平面内，建立平面直角坐标系如图．设，则，，所以．又，所以，因为，易知，则，，从而，．故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合几何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面几何问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线，则（）A.的取值范围是 B.的焦点可在轴上也可在轴上C.的焦距为6 D.的离心率的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．故选：AC.10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A.共有18个顶点 B.共有36条棱C.表面积为 D.体积为【答案】BD【解析】【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案.详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为，故C错误；正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为，过作平面于，连接，如下图：因为平面，且平面，所以，正方形中，由边长为，则对角线长为，则，在中，，则，正八面体的体积为，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．故选：BD.11.已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.若为边的中点，且，则的面积的最大值为C.若是锐角三角形，则的取值范围是D.若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10【答案】ABC【解析】【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】由题意知，整理得，由余弦定理知，，，．对A，，，，，的取值范围为，故A正确；对B，为边的中点，，则，，当且仅当时，等号成立，，故B正确；对于C，，是锐角三角形，，，，故C正确；对于D，由题意得，即，整理得，即，，当且仅当时，等号成立，故D错误．故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用正弦函数的对称性与周期性得到关于的方程，解之即可得解.【详解】因为的图象关于点对称，所以，则，故，又，所以，，，…．.故答案为：（答案不唯一）.13.从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意分析离散型随机变量的所有取值，求出概率分布列计算期望即可．【详解】从分别写有数字的张卡片中任取张卡片的所有种结果中，，张卡片上的数字之和分别为：，所以．故答案为：14.记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.【详解】若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于等于2，所以，又当，时，，所以的最大值为2．若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于2，所以．综上，的最大值为2．故答案为：2.【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意首先得结合是公差为的等差数列可求得，根据之间的关系即可进一步求解；（2）首先得，由裂项相消法即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，即．当时，，又适合上式，所以．【小问2详解】，故．16.某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x12345招生人数y/千人0.811.31.72.2（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）证明见解析（2），2.8千人．【解析】【分析】（1）求出，代入求出相关系数即可；（2）根据公式求出，再求出，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可.【小问1详解】由题意知，，，所以，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．【小问2详解】，，所以关于的回归直线方程为．当时，，由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．17.在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．（1）求四棱锥的高；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）过作的平行线，与的延长线交于点，连接，，通过证明，来证明为四棱锥的高，从而求解；（2）建立空间直角坐标系求解即可.【小问1详解】如图，过作的平行线，与的延长线交于点，连接，．，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，，，四边形为矩形，，为棱的中点，，从而，又因为，，平面，平面，平面，平面，，，平面，平面，平面．为四棱锥的高，即，四棱锥的高为；【小问2详解】由（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设是平面的法向量，则可取，设是平面的法向量，则可取，所以，所以二面角的正弦值为.18.已知椭圆经过，两点．（1）求的方程；（2）若圆两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形的面积，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值.【小问1详解】因为过点，，所以解得故的方程为．【小问2详解】由题知的斜率存在且不为0．设．因为与圆相切，所以，得．联立与的方程，可得，设，，则，．所以，将代入，可得．用替换，可得．四边形的面积．令，则，可得，再令，，则，可得，即四边形面积的最小值为．19.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程