2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型（举一反三）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题3.3勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【题型2勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型3勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型4勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【题型5勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【题型6勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．专题3.3勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答．【解答】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．所以AB＝73（cm）．因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．【点评】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=12×π×16π=8（cm所以AP=82+6故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202-1则该圆柱底面周长为24cm．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解答】解：如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122+1如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+102如图3中，MN=222+62∵20＜2106＜2130，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．【题型2勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．【解答】解：∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，∴AC＝60海里．∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，∴∠CAB＝90°．∵BC＝100海里，∴AB=100∵乙船也用2小时，∴乙船的速度是40海里/时．【点评】此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答．【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理解答即可．【解答】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=AB∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【分析】先根据方向角得出△ACD是直角三角形，在Rt△ACB中，根据勾股定理可求BC，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间．【解答】解：根据题意，得∠CAB＝32°，∠CBA＝58°，则∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，在Rt△ACB中，BC=AB则AC+CB＝32+24＝56（海里），56÷40＝1.4（小时）．故至少需要1.4小时长时间能把患病渔民送到基地．【点评】考查了方向角，勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长．【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．【解答】解：（1）由题意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×660=12（海里），BC＝50∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向为北偏东67°；（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×3603分钟后，甲乙两巡逻船相距为：62+2．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．【题型3勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【分析】由勾股定理计算出小汽车4秒行驶的路程，再计算出速度，比较即可．【解答】解：如图，AB＝21，BC＝75，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=BC272÷4＝18米/秒＝64.8千米/时＞60千米/时，∴超速了．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=1000∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD=150×200250=120（∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=EC2-C∴EF＝100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED=EC2-C∴EF＝140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20＝7（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【题型4勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°；根据勾股定理，得BC=17∴BD＝15+1.5＝16.5（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣1）2+42＝x2解得x＝8.5∴AC＝8.5m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．答：教学楼走廊的宽度是2.2米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=AB（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），根据勾股定理：OB′=A'B'所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【题型5勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺，水深12尺．【点评】此题主要考查学生对题意的理解，熟悉数形结合的解题思想．【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【分析】直接利用勾股定理进而得出AC的长．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，设AC＝x，则AB＝10﹣x，∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x=215答：AC的长为215．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【分析】设经x秒二人在B处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数．【解答】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x，甲共行AC+BC＝7x，∵AC＝10，∴BC＝7x﹣10，又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2+AB2，∴（7x﹣10）2＝102+（3x）2，∴x＝0（舍去）或x＝3.5，∴AB＝3x＝10.5，AC+BC＝7x＝24.5，答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解．【题型6勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，所以，CD＝15（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，答：风筝的高度CE为16.6米；（2）由题意得，CM＝9，∴DM＝6，∴BM=DM∴BC﹣BM＝7，∴他应该往回收线7米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，∴EP＝0.6（m），∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），∵2.4＞2.3，∴运输车通过储藏室的门．【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．专题3.4勾股定理章末重难点突破【苏科版】【考点1勾股定理的证明】【例1】（2021春•宁津县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【变式1-1】（2021春•巢湖市期末）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．【变式1-2】（2021春•前郭县月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝．【变式1-3】（2020秋•高邮市期中）数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【考点2赵爽弦图的应用】【例2】（2021春•潮阳区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【变式2-1】（2021春•长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【变式2-2】（2020秋•南山区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．214 B．215 C．225【变式2-3】（2021•宁波一模）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（）A．S1+2S3 B．S3-12S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2【考点3勾股数的应用】【例3】（2021春•江西月考）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242 B．200 C．128 D．162【变式3-1】（2021•邵阳县模拟）中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像3，4，5这样一组满足a2+b2＝c2的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知x+y的值为．a381524…xb46810…yc5101726…82【变式3-2】（2020秋•安徽月考）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数；11，；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4=32-12，12=52-12，24【变式3-3】（2021春•河间市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？【考点4勾股定理逆定理的应用】【例4】（2021春•浦北县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12．（1）求证：△ADB是直角三角形；（2）求BC的长度．【变式4-1】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式4-2】（2021春•肥乡区月考）如图，线段AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．【变式4-3】（2021春•增城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．【考点5勾股定理的应用（平方关系）】【例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别为BC、AC上的点．那么AD2+BE2与DE2+AB2的大小有什么关系？请说明理由．【变式5-1】如图，△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC和AB上，试说明BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．【变式5-3】已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2＝2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2﹣AC2＝2BC•MD．【考点6勾股定理的应用（勾股树）】【例6】（2021春•合肥期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（）A．171 B．79 C．100 D．81【变式6-1】（2021春•城厢区期末）如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为（）A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2•S3【变式6-2】（2020秋•郑州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．则下列关于面积的等式：①SA＝SB+SC；②SA＝SF+SG+SB；③SB+SC＝SD+SE+SF+SG，其中成立的有（写出序号即可）．【变式6-3】（2021春•南昌期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD有以下结论：①AB2+CD2＝BC2+AD2；②S四边形ABCD＝AD•BC；③S△OAB•S△OCD＝S△OBC•S△ODA；（1）以上结论中，正确的有（只要填序号即可）；（2）证明（1）中一个正确的结论．【考点7勾股定理的应用（最短路径）】【例7】（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．8【变式7-1】（2021春•天河区校级期中）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cmA．5 B．5π C．3+4π 【变式7-2】（2021春•九龙坡区校级月考）如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（）米．A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米【变式7-3】（2020秋•龙泉驿区期中）如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程的平方是多少呢？（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）【考点8勾股定理在生活中的应用】【例8】（2021春•历下区期末）济南的泉城广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．历下区某校七年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．（1）求风筝的高度CE．（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．【变式8-1】（2021春•荔湾区校级月考）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则：（1）E站应建在距A站多少千米处？（2）DE和EC垂直吗？说明理由．【变式8-2】（2020秋•成都期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-3】（2020秋•南丰县期中）如图，地面上放着一个小凳子，点A距离墙面4cm，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点A处，OA＝50cm．在图②中，木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上点C处．（1）求小凳子的高度；（2）若OC＝90cm，木杆的长度比AB长60cm，求木杆的长度和小凳子坐板的宽AB．专题3.4勾股定理章末重难点突破【苏科版】【考点1勾股定理的证明】【例1】（2021春•宁津县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×12ab+c2＝（a+b∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【变式1-1】（2021春•巢湖市期末）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．【分析】（1）直接写出勾股定理的内容即可；（2）分别表示出图1和图2的面积化简即可．【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；（2）图1的面积为：S1=1图2的面积为S2=1∵图1、图2的面积相等，∴12∴a2+b2＝c2．【变式1-2】（2021春•前郭县月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝．【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可；（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可；（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，根据题意得出方程解答即可．【解答】证明：（1）S小正方形S小正方形即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）∵AB+BC＝24÷4＝6，设AH＝BC＝x，则AB＝6﹣x，在Rt△HOG中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2，即32+（3+x）2＝（6﹣x）2，解得：x＝1，∴S=1（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，∵S1+S2+S3＝18，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝18，∴x+4y＝6，∴S2＝6．故答案为：6．【变式1-3】（2020秋•高邮市期中）数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【分析】（1）通过图形的面积的两种计算方法，即可得出结果；（2）通过大正方形面积的两种计算方法，即可得出结果．【解答】解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×12ab＝a2+b2+图形的面积也可表示为c2+2×12ab＝c2+∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×1∴（a+b）2＝c2+4×12a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【考点2赵爽弦图的应用】【例2】（2021春•潮阳区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案．【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，在Rt△ADE中，AE=A∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝HE＝2，故选：D．【变式2-1】（2021春•长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．【变式2-2】（2020秋•南山区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．214 B．215 C．225【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．【解答】解：∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2=21根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：S梯形NGFM=12（NG+FM=12（EM+MF=12FE=12×（2＝2x2=21故选：B．【变式2-3】（2021•宁波一模）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（）A．S1+2S3 B．S3-12S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：设阴影面积为a，八个全等的直角三角形中一个的面积为x，则S2﹣S1＝4x，S3﹣a﹣S1＝8x，∴S3﹣a﹣S1＝2（S2﹣S1），∴S3﹣a﹣S1＝2S2﹣2S1，∴S3﹣S1﹣2S2+2S1＝a，∴S3+S1﹣2S2＝a，由于a已知，故S3+S1﹣2S2已知，即可求出S3+S1﹣2S2，故选：D．【考点3勾股数的应用】【例3】（2021春•江西月考）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242 B．200 C．128 D．162【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝18求出b、c的值，进而可得答案．【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，解得：b＝80，则c＝80+2＝82，则b+c＝162．故选：D．【变式3-1】（2021•邵阳县模拟）中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像3，4，5这样一组满足a2+b2＝c2的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知x+y的值为．a381524…xb46810…yc5101726…82【分析】依据每列数的规律，即可得到规律，进而得出x+y的值．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，8＝32﹣1，6＝2×3，10＝32+1，15＝42﹣1，8＝2×4，17＝42+1，24＝52﹣1，10＝2×5，26＝52+1，……80＝92﹣1，18＝2×9，82＝92+1，∴x＝80，y＝18，∴x+y＝98，故答案为98．【变式3-2】（2020秋•安徽月考）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数；11，；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4=32-12，12=52-12，24【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为a2则用含a的代数式表示第三个数为a2-12故答案为：a2【变式3-3】（2021春•河间市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：正确．理由：∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c为勾股数．当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．【考点4勾股定理逆定理的应用】【例4】（2021春•浦北县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12．（1）求证：△ADB是直角三角形；（2）求BC的长度．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形，即∠ADB＝90°；（2）在Rt△ADC中利用勾股定理可得出CD的长度从而求出BC长．【解答】解：（1）在△ABD中，∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴BD2+AD2＝AB2∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即△ADB是直角三角形；（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD=A∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．【变式4-1】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解方程即可得出CE的长．【解答】解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE=D∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【变式4-2】（2021春•肥乡区月考）如图，线段AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．【分析】首先确定5秒时P、Q的位置，此时P与D重合，Q在AB边上，且BQ＝4厘米，然后根据勾股定理的逆定理判定△BPQ为直角三角形，且∠BQP＝90°，再由邻补角定义得到∠AQP＝90°，从而得出△APQ为直角三角形．【解答】解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），因为DC＝BC＝BA＝5cm，所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．【变式4-3】（2021春•增城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出CD，再求出答案即可；（2）分为两种情况：①∠BDC＝90°时，②∠CBD＝90°，求出t即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：AC=B当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；（2）△CBD能为直角三角形，理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，∵S△ABC=1∴BD=AB×BC由勾股定理得：CD=B所以t=9②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，t=25∴t的值是4.5或12.5【考点5勾股定理的应用（平方关系）】【例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别为BC、AC上的点．那么AD2+BE2与DE2+AB2的大小有什么关系？请说明理由．【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：AD2+BE2＝DE2+AB2．理由：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2①，DE2＝CE2+CD2②，AD2＝AC2+CD2③，BE2＝CE2+BC2④，∴①+②得，AB2+DE2＝AC2+BC2+CE2+CD2，③+④得，AD2+BE2＝AC2+CD2+CE2+BC2，∴AD2+BE2＝DE2+AB2．【变式5-1】如图，△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC和AB上，试说明BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2．【分析】在直角三角形ABD与直角三角形ACE中，利用勾股定理列出关系式，表示出BD2+CE2，在直角三角形ABC与直角三角形AED中，利用勾股定理列出关系式，表示出BC2+ED2，整理即可得证．【解答】证明：在Rt△ABD和Rt△ACE中，根据勾股定理得：BD2＝AB2+AD2，CE2＝AE2+AC2，∴BD2+CE2＝AB2+AD2+AE2+AC2，在Rt△ABC和Rt△AED中，根据勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，ED2＝AD2+AE2，∴BC2+ED2＝AB2+AC2+AD2+AE2，∴BD2+CE2＝BC2+ED2，则BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，∴在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．【变式5-3】已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2＝2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2﹣AC2＝2BC•MD．【分析】（1）利用勾股定理得出AB2+AC2＝2AM2﹣2DM2+BD2+CD2，进而由BD2＝MC2+2MC•DM+DM2，CD2＝MC2﹣2MC•DM+DM2，求出即可；（2）由勾股定理可得出AB2＝BD2+AD2，AC2＝AD2+DC2，则AB2﹣AC2＝BD2﹣DC2，由平方差公式可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2＝2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2＝AM2﹣DM2，则AB2+AC2＝2AM2﹣2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM＝MC，∴BD2＝（BM+DM）2＝（MC+DM）2＝MC2+2MC•DM+DM2，CD2＝（MC﹣DM）2＝MC2﹣2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2＝2AM2﹣2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2﹣2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2＝2AM2+2BM2＝2（AM2+BM2）．（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2＝BD2+AD2，AC2＝AD2+DC2，∴AB2﹣AC2＝BD2﹣DC2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC（BM+MD﹣CD），∵AM是中线，∴AB2﹣AC2＝BC（CM+MD﹣CD）＝BC（MD+MD）＝2BC•MD．【考点6勾股定理的应用（勾股树）】【例6】（2021春•合肥期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（）A．171 B．79 C．100 D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝125﹣46＝79，故选：B．【变式6-1】（2021春•城厢区期末）如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和A