2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题24 正弦函数、余弦函数的图像与性质-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题24正弦函数、余弦函数的图像与性质题型一正弦函数、余弦函数的图像1．下列在(0,2π)上的区间能使cosx＞sinx成立的是（）A． B． C． D．∪【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当时，或，结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使成立的是和.故选：AC2．已知点在余弦曲线上，则m＝（）A． B．－ C． D．－【答案】B【解析】因为点在余弦函数的图象上，所以，故选：B．3．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像的交点坐标为__________．【答案】与【解析】由题，令，即，解得或，，当时，，当时，，所以函数和的图像的交点坐标为与.故答案为：与.4．已知函数（1）作出该函数的图象；（2）若，求的值；（3）若，讨论方程的解的个数．【答案】（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3．【解析】（1）的函数图象如下：（2）当时，，解得，当时，，解得或，综上，或或；（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，则由（1）中函数图象可得，当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3．题型二值域与最值问题5．函数取最小值时的的集合是___________，取最大值时的的集合是___________.【答案】，；，.【解析】解：当取最小值时，，即，所以；当取最大值时，，即，所以，故答案为：，；，.6．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②在区间上是增函数；③若，则；④函数在区间上有且仅有1个零点．其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】①③【解析】解：函数，对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；对于②：由于，，，，故函数在上不是单调增函数，故②错误；对于③：函数）的最大值为1，若，则，所以，，，故则；故③正确；对于④：当时，，由于，即，解得或，所以函数有两个零点，故④错误．故答案为：①③．7．函数，的值域为______.【答案】【解析】，，故的值域为，故答案为：.8．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．（1）求函数的解析式；（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，，得周期，∴当时，取得最大值4，即，得，得，得，又，当时，，即．（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.，，，由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，，当时，当时，，当时，，如图所示：又方程有两个实根，∴或得或，即实数的取值范围是：9．求函数的单调区间和值域．【答案】函数的单调减区间为，函数的单调增区间为；函数的值域为.【解析】，，，又，即函数的单调减区间为；，即函数的单调增区间为，，函数的值域为．10．已知函数的最大值为，最小值为，求实数的最大值、最小值．【答案】最大值为2，最小值为【解析】因为，且的最大值为，最小值为，当时,由题意得，解得.此时，，；当时,由题意得，解得.此时，，；综上所述，，.11．已知函数.（1）作出函数在的简图；（2）写出函数的最小正周期；当为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（3）若是的一个内角，且，试判断的形状.【答案】（1）图象见解析；（2），当时，函数的最大值是；（3）直角三角形【解析】（1）时，函数的简图如下：（2）函数的最小正周期是，当时，该函数有最大值，最大值是；（3）若是的一个内角，则有由得，即，即，则，解得，即为直角三角形.12．已知.（1）求函数的值域；（2）求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】解：（1），，当时，函数取最小值，当时，函数取最大值，函数的值域为，；（2）化简可得令，由（1）知，；代入可得由二次函数的性质可知，当时，取最小值，当时，取最大值．题型三单调性问题13．在区间中，使与都单调递减的区间是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在区间中，的减区间是，的减区间是；和的公共减区间是．故选：B．14．函数，下列关于该函数的叙述正确的是（）A．的最小正周期为B．的图象可以由向左平移得来C．图象关于直线对称D．函数在区间上是增函数【答案】B【解析】对于A，由周期公式可得：，故A错误；对于B，令，向左平移，得到，故B正确；对于C，由于，不是函数的最值，故C错误；对于D，，，而在上单调递减，故函数在区间上是减函数，故D错误；故选：B．15．函数在上单调递减，则的最大值是（）A．1 B． C． D．4【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，所以，所以.所以因为的单调递减区间为，所以，解得，由于，故.所以当时，得的最大区间：.故的最大值是.题型四奇偶性问题16．(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，其中正确的是（）A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(x)是偶函数C．存在φ，使f(x)是奇函数D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数【答案】BC【解析】解：因为φ=0时，f(x)=sinx是奇函数；φ=时，f(x)=cosx是偶函数，所以B，C正确，A，D错误，故选：BC.17．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：．18．函数是（）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】，因为，函数是偶函数.故选：B19．下列函数中是奇函数且最小正周期是π的函数是（）A．y=cos|2x|B．y=|sinx|C．y=sinD．y=cos【答案】D【解析】y=cos|2x|是偶函数，A错；y=|sinx|是偶函数，B错；y=sin=cos2x是偶函数，C错；y=cos=-sin2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T=π，D正确．故选：D20．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为的最小正周期是，所以，又因为是偶函数，所以，故选：B.21．下列函数中是偶函数，最小正周期为，且在上是严格减函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．的最小正周期为，不符合；B．是偶函数，最小正周期为，且在上是严格减函数，符合；C．是奇函数，不符合；D．在上是严格增函数，不符合；故选：B.22．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）．【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数．【解析】（1）由函数定义域为，所以故函数为偶函数（2）函数定义域为R，令所以，则故函数为非奇非偶函数题型五正弦、余弦函数的综合应用23．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）．的最小正周期；（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．24．已知函数f(x)=sin2x－cos2x－.（1）求f(x)的最小正周期和最大值；（2）讨论f(x)在上的单调性.【答案】（1），最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减.【解析】(1)f(x)=sin2x－cos2x－＝，因此f(x)的最小正周期为π，最大