2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题35 复数的四则运算-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题35复数的四则运算题型一复数的加减运算类型1直接进行加减运算【例1-1】（1）计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i)).（2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.【答案】（1）z＝4＋i（2）z＝4＋i【解析】（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i.（2）法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.【变式1-1】（1）－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.【答案】－10i【解析】－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.【变式1-1】（2）已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.【答案】3【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－3＝0，,a2－1≠0，))解得a＝3.类型2需要设复数标准式的加减运算【例1-2】设，（为虚数单位），且，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，得，又，，即．【变式1-2】（1）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.【答案】eq\f(3,4)＋i【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2).∴x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.【变式1-2】（2）已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．【答案】±2eq\r(3)－2i【解析】因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2eq\r(3)，所以z＝±2eq\r(3)－2i.题型二复数加减的几何意义【例2】在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则AB等于()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(10)D．4【答案】B【解析】∵复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB∴OA=(1，1)，OB∴AB∴AB【变式2-1】若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3B．2C．1D．－1【答案】D【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.【变式2-2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：（1）AO表示的复数；（2）对角线CA表示的复数；（3）对角线OB表示的复数．【答案】（1）－3－2i（2）5－2i（3）1＋6i【解析】（1）因为AO=−OA，所以（2）因为CA=OA−（3）因为对角线OB=所以对角线OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.【变式2-3】△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】A【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．【变式2-4】，分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点.若，则一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据复数加（减）法的几何意义及，知以OA，则此平行四边形为矩形，故为直角三角形.【变式2-5】已知平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．（1）求eq\o(AD,\s\up7(→))对应的复数；（2）求eq\o(DB,\s\up7(→))对应的复数．【答案】（1）－2＋2i（2）5【解析】（1）由于四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，于是eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq\o(AD,\s\up7(→))对应的复数是－2＋2i.（2）由于eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以eq\o(DB,\s\up7(→))对应的复数是5.【变式2-6】已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量eq\o(BA,\s\up7(→))对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up7(→))对应的复数为3－i，求：（1）点C，D对应的复数；（2）平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）C对应的复数为4－2i，点D对应的复数为5（2）7【解析】（1）∵向量eq\o(BA,\s\up7(→))对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up7(→))对应的复数为3－i，∴向量eq\o(AC,\s\up7(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵eq\o(OC,\s\up7(→))→＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，∴向量eq\o(AD,\s\up7(→))对应的复数为3－i，即eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3，－1)．设D(x，y)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0.))∴点D对应的复数为5.（2）∵eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cosB，∴cosB＝＝eq\f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),10).∵0<B<π，∴sinB＝eq\f(7\r(2),10)，∴S▱ABCD＝|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinB＝eq\r(5)×eq\r(10)×eq\f(7\r(2),10)＝7，∴平行四边形ABCD的面积为7.题型三复数的乘除运算类型1简单的复数乘除运算【例3-1】（1）设，，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.（2）设为虚数单位，则的虚部为______．【答案】−1【解析】.【变式3-1】已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【答案】A【解析】法一：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(－\r(3)i2＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(i1－\r(3)i,1－\r(3)i2)＝eq\f(i,1－\r(3)i)＝eq\f(i1＋\r(3)i,4)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(i,4)，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(i,4)，∴z·eq\x\to(z)＝eq\f(1,4).法二：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，∴|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)))＝eq\f(|\r(3)＋i|,|1－\r(3)i2|)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴z·eq\x\to(z)＝eq\f(1,4).【变式3-2】计算:（1）;（2）.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）（2）.【变式3-3】（1）设是虚数单位，若复数a−103−i(a∈R)A．-3B．-1C．1D．3【答案】D【解析】因a−103−i=a−10【变式3-3】（2）已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为))，所以因为，所以，选B.【变式3-3】（3）若复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数_________.【答案】−7【解析】因为，且复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，所以3a解得a=−7.类型2需要设复数标准形式乘除法运算【例3-2】若复数z满足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i【答案】B【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝3，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴z＝1－2i.【变式3-4】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.【答案】z＝－15＋8i【解析】解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，代入方程z＋|z|＝2＋8i，得x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋8i，由复数相等的条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2,y＝8))，解得x＝－15，y＝8，所以复数z＝－15＋8i.解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i因为|z|∈R，所以2－|z|是z的实部，于是有|z|＝eq\r(2－|z|2＋82)，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17，代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.【变式3-5】复数z满足z+12−i=2z【答案】2【解析】设z=a+bi，a,b∈R因为a+bi+所以a+2解得a=25，b=−【变式3-6】在复数范围内解方程（为虚数单位）【答案】z=−【解析】设，则，解得：题型四i的乘方运算【例4】（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.【变式4-1】已知i为虚数单位，则的虚部为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，虚部为．【变式4-2】的所有能取到的值构的集合为_____________.【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，．【变式4-3】计算:______.【答案】25【解析】题型五复数方程的解法【例5】（1）在复数集，方程的解为________.【答案】【解析】利用−4=4∙i2，则x（2）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，由韦达定理得，解得.故选：B.【变式5-1】若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（）A．29B．C．D．3【答案】B【解析】由题意可得，，所以，故，，则.【变式5-2】在复数范围内分解因式：______．【答案】【解析】由可得：，所以.【变式5-3】已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（）A．4B．2C．0D．【答案】C【解析】因为复数是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，所以也是方程的一个根，故，即，所以，【变式5-4】已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．【答案】1【解析】由题意，得或，设两根为、，则，，得，．所以．【变式5-5】对于一元二次方程（其中，）下列命题不正确的是（）A.两根满足，；B.两根满足；C.若判别式时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式时，则方程有两个相等的实数根；【答案】B【解析】若一元二次方程，则方程有两个相异实根由韦达定理得：，，则A，C正确；当为虚根时，，则B错误；若一元二次方程，方程有两个相等实根，D正确.【变式5-6】（难）设，关于的方程的两个根分别是和.（1）当时，求与的值；（2）当时，求的值.【答案】（1），，；（2）4【解析】（1）当时，，，.（2）依题意，，其得，所以.（或，由，所以）【变式5-7】（难）是关于的方程的一个根.（1）若且求实数的值；（2）若且为虚数，求实数的值.【答案】（1）2±2（2）