2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题53 频率与概率-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题53频率与概率题型一频率与概率概念理解【例1】在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】当n很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案【解析】在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，所以可以用近似的代替，即，故选：A【变式1-1】对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（）A．①B．②C．③D．④【答案】ACD【解析】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.故选：ACD.【变式1-2】下列四个命题中正确的是（）A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是【答案】D【解析】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.故选：D【变式1-3】气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（）A．本市明天将有的地区降雨B．本市明天将有的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定会淋雨D．明天出行不带雨具可能会淋雨【答案】D【解析】本市降雨的概率是，是说明天下雨发生的可能性很大，但不一定就一定会发生．所以只有合题意．故选：D．【变式1-4】“某彩票的中奖概率为”意味着（）A．买张彩票就一定能中奖B．买张彩票中一次奖C．买张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是【答案】D【解析】由概率的意义可知，“某彩票的中奖概率为”意味着“购买彩票中奖的可能性是”.【变式1-5】（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（）A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次【答案】BD【解析】A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C错误；D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．故选：BD．题型二用随机事件的频率与概率计算【例2】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9【答案】D【解析】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，所以此人中靶的频率是.故选：D【变式2-1】容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013141513129第3组的频数和频率分别是（）A．和14B．14和C．和24D．24和【答案】B【解析】由题意可得：第3组的频数为，故第3组的频率为，故选：B【变式2-2】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4【答案】C【解析】某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，所以出现正面朝上的频率为，因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，所以出现正面朝上的概率是0.5，故选：C【变式2-3】2021年东京奥运会中国体育代表团共有人，其中未完成疫苗接种的有人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中国体育代表团成员的疫苗接种率约为．故选：A【变式2-4】从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在内的频率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5【答案】D【解析】由题知，抽取的10只苹果中，质量落在内的有5只，频率为.故选：D.【变式2-5】长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（）A．0.125B．0.25C．0.375D．0.4【答案】C【解析】玩手机不超过1小时的学生占，设其近视率为，则有，解得，根据近视率可得任意调查其中一名学生，则他近视的概率约为.故选：C题型三游戏的公平性【例3】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜【答案】B【解析】A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；B项，P（点数之和大于7）＝，P（点数之和小于等于7）＝；C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．故选：B.【变式3-1】(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（）A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜【答案】ACD【解析】对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.故选：ACD【变式3-2】下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（）取球方式结果游戏1有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜游戏2有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球.取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.游戏3有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球.取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.A．游戏1和游戏3B．游戏1C．游戏2D．游戏3【答案】D【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平；对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.故选D.【变式3-3】小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则____.(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平【解析】当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜.所以不公平.故答案为不公平【变式3-4】张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是____.①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜【答案】②【解析】在②中，张明获胜的概率是，而张华获胜的概率是，故不公平，而①③④中张明、张华获胜的概率都为，公平.故答案为②【变式3-5】玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?_____.(填“公平”或“不公平”)

【答案】不公平【解析】如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平；故答案为不公平题型四随机数的产生及模拟应用【例4】要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？【解析】可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．【变式4-1】已知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：75270293704098570347437386366947141746980301623326168045600136619597742476104001据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(5,20)C．eq\f(1,4)D．eq\f(4,5)【答案】D【解析】∵4件产品中有1件或2件合格品的有：7040，0301，6001，4001，∴所求概率P＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).]【变式4-2】某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5【答案】A【解析】由10组随机数知，4～9中恰有三个的随机数有569，989两组，故所求的概率为P＝eq\f(2,10)＝0.2.【变式4-3】池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：9533952200187472001838795869328178902692828084253990846079802436598738820753893596352379180598900735464062988054972056951574800832166470508067721642792031890343据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.故选：B.【变式4-4】袋子中有四个