2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题56 空间向量基本定理-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题56空间向量基本定理题型一对空间向量基本定理的解读1．下列结论错误的是（）.A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面【答案】C【解析】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；C选项，∵满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，故选C.2．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】，，，共面，①，，不能作为空间向量的一个基底．，，，，，不共面，②，，可作为空间向量的一个基底．同理，，，不共面，，，不共面，③，，；④，，都可作为空间向量的一个基底．故选:C．3．已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四点共面.【解析】因为向量，，不构成空间的一个基底，所以向量，，共面，由向量，，有公共点O，所以O，A，B，C四点共面.4．如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．（1）是否构成空间的一个基底？（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．【答案】（1）能；（2）；；；【解析】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底；（2），，，.5．已知，，为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？若能，试以此基底表示向量；若不能，请说明理由.【答案】能，．【解析】解：假设存在不全为0的实数，，使得成立，则，此方程组无解，即不存在不全为0的实数，，使得成立，因此假设不成立．因此能以作为空间的一组基底．设则有因为，，为空间的一个基底，所以解得故题型二空间向量基本定理的应用6．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是A． B．C． D．【答案】C【解析】解：故选：．7．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，为的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，.故选：C.8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．（1）用向量表示，；（2）若，求实数x，y，z的值．【答案】（1），；（2）．【解析】解：（1）,（2）所以9．如图，已知空间四边形，分别是边的中点，点在上，且，设，，，试用表示向量.【答案】.【解析】所以：10．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．【答案】x=，y=，z=．【解析】∵=+=+=++=∴x=，y=，z=．故答案为：x=，y=，z=．题型三应用空间向量基本定理解决平行和垂直问题11．如图所示的平行六面体中，已知，N为上一点，且.若，则的值为________；若M为棱的中点，平面，则的值为________.【答案】【解析】①取空间中一组基底：，因为，所以，因为，所以，所以，所以；②在上取一点使得，连接，因为且，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，且，所以平面平面，所以平面，又因为平面平面，且平面，所以，所以，所以，所以.故答案为：，.12．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.（1）求证：，，，四点共面；（2）求证：平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解【解析】（1）如图，连接则由共面向量定理的推论，知，，，四点共面（2）∵△ABD中，分别是边，的中点，即EH为中位线∴，又面，面∴平面（3）由（2）知，同理∴，即四边形是平行四边形∴对角线，交于一点且为它们的中点，又，分别是，的中点空间中任取一点，并连接，，，，，，，如图所示故，在△OEG中在△AOB中；在△COD中；∴.13．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；