2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题62 直线的方程-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题62直线的点斜式方程、两点式方程题型一直线的点斜式方程及辨析1．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．【答案】【解析】解：由直线，得斜率为，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，又直线过点，所以直线的点斜式方程为．故答案为：．2．已知直线与轴交于点，与的终边（始边为轴正半轴）交于点，为坐标原，若点横坐标为，，则直线的方程为________．【答案】【解析】由题意知，直线的终边，交于点，为坐标原，即，又由点横坐标为，可得，所以，又因为，则，所以，即，又由，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故答案为：.3．已知直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．【答案】或.【解析】解：当直线的斜率不存在时，的方程为，经检验符合题目要求；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．当时，显然不符合题意；当时，令，得，由三角形的面积为2，得，解得，故直线的方程为，即：，综上，直线的方程为或.4．已知直线过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线的倾斜角等于；（2）直线在轴、轴上的截距之和等于0．【答案】(1)(2)或.【解析】解：（1）设直线的斜率为，由题意得.又直线过点，由直线的点斜式方程可得即直线的方程为：（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，，由题意得，即①若时，则直线过点（0，0），可得直线的方程为：.②若时，则直线的方程为：将代入得：，即.直线的方程为：.所以直线的方程为：或.题型二直线的两点式方程及辨析1．若直线过点和，且点在直线上，则的值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】A【解析】解：因为直线过点和，由直线的两点式方程，得直线的方程为，化简得：，由于点在直线上，将点代入方程，得，解得：.故选：A.2．已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】解：把坐标代入两条直线和,得,,,过点,的直线的方程是：,,则,,,所求直线方程为：．故选B3．△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求边AC和AB所在直线的方程（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．【答案】（1）边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0；（2）2x﹣y+10=0【解析】（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），∴直线AC的截距式方程得：，化简得x﹣2y+8=0∵B（﹣2，6），A（0，4）∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即x+y﹣4=0综上所述，边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，可得，∴AC中点D坐标为（﹣4，2）再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为，化简得2x﹣y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．4．已知的三个顶点分别为，（1）求AB的垂直平分线所在的直线方程；（2）过点A作直线，它把的面积分成1：3两部分，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）的三个顶点分别为，则，中点为即则垂直平分线方程为：整理得到（2）过点A作直线，它把的面积分成1：3两部分则直线过的四等分点，即或当时：解得此时的直线方程为：整理得到当时：解得此时的直线方程为：整理得到综上所述：直线方程为或题型三直线图像的辨析1．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有()A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2【答案】A【解析】根据图象得：.k1<k2且b1<b2故选A.2．若直线不过第一象限，则实数取值范围是__________．【答案】【解析】由题,整理直线为,因为直线不过第一象限,则,解得,故答案为：3．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________.【答案】[，＋∞)【解析】直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则即答案为[，＋∞).4．如图，直线l：y－2＝(x－1)过定点P(1,2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程.【答案】x＝1或x－y＋2－1＝0.【解析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝(x－1)知，直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝(x－1)，即x－y＋2－1＝0.综上，所求直线l′的方程为x＝1或x－y＋2－1＝0.题型四直线与坐标围成图形的面积问题1．过点的直线与两坐标轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的方程为，则有因为，所以，即所以，当且仅当，即时，取“=”.即当时，的面积最小.此时的方程为，即.故选：A2．过点作直线，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为原点．（1）若的面积为9，求直线的方程；（2）若的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程．【答案】（1）或；（2）8，．【解析】解：（1）设，，其中，，则由直线的截距式方程得直线的方程为．将代人直线的方程，得．依题意得，，即，所以，从而，所以，整理得：，解得，，因此直线的方程为或，整理得，或．（2）根据题意，结合（1）得：，当且仅当，即，时取等号，因此直线的方程为，即．3．已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为．若分别等于3，5时，则相应的直线分别有几条？【答案】分别有两条和四条【解析】设，则可求得与轴的交点，与轴的交点..当时，整理得或.由解得；无解.所以这样的直线有两条.当时，整理，得或.由解得；由解得.所以这样的直线有四条4．经过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为_____.【答案】x