2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题69 直线与圆的位置关系-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题69直线与圆的位置关系题型一判断直线与圆的位置关系及参数求解1．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【解析】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以的直线方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交,故选A.2．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，∵圆与圆外切，∴，∴，∵圆与直线相切，∴，解得，故选:B3．赵州桥的跨度是m，圆拱高约为m．求这座圆拱桥的拱圆的方程．【答案】【解析】解：根据题意，以拱高所在直线为，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：，，此时圆心在轴上，圆心为，半径为，则，所以在中，，即，解得：，所以设所求圆的方程为，即拱圆的方程为：4．已知为圆：上任意一点.(1)求的最大值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.【解析】解：(1)∵的圆心，半径，设，将看成直线方程，∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，解上式得：，∴的最大值为.(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，∴，可得，∴的最大值为，最小值为；(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，则，；题型二直线与圆相交——韦达定理的应用5．设直线与圆相交于A、B两点，若（O为坐标原点），且点M在圆C上，则实数k的值为（）A．1 B．2 C． D．0【答案】D【解析】联立直线的方程与圆的方程，得方程组消去y得，设，则，则，因为点M在圆C上，所以，解得，故选：D.6．已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆心为C，则，设直线与圆的交点的坐标为，联立可得：，即，所以=又，所以圆的半径即，解得：.故选：A7．圆的任意一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则____.【答案】【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：设切点为P，则且，则所以因为，所以题型三与圆有关的切线问题8．过点作圆C：的切线l，直线m：与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为（）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】圆C：的圆心为，半径为，设，因此，因此直线l与m间的距离为，故选：A.9．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.10．已知圆M的圆心在x轴上，且在直线的右侧，若圆M截直线所得的弦长为，且与直线相切，则圆M的标准方程为_________．【答案】【解析】由已知，设圆M的圆心坐标为，半径为r，因为圆M截直线所得的弦长为，所以，又圆与直线相切，所以，解得，所以圆M的标准方程为．故答案为：11．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+1）2＝1，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A．若a＝1，则直线l截圆C所得弦的长度为__；若过l上一点P作圆C的切线，切点为Q，且，则实数a的取值范围是__．【答案】【解析】当a＝1时，圆心C（1，0），r＝1，则圆心C到直线l的距离d，所以弦长＝22；由题得圆心C（a，a﹣1），即有C在直线y＝x﹣1上运动，不妨设P（﹣m，﹣m+2），过P作PB⊥x轴，则有|PA||PB|，又因为|PA||PQ|，所以|PQ|＝|PB|，因为PQ2＝PC2﹣r2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，则有（﹣m+2）2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，整理得m2﹣2m+2a2﹣6a+4＝0，问题可转化为上述方程有解，则＝22﹣4（2a2﹣6a+4）＝﹣8a2+24a﹣12≥0解得a∈，故答案为：．12．已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线，与圆相切于，两点．（1）当点坐标为时，求以为直径的圆方程，并求直线的方程；（2）当时，切线，与直线分别相交于点，，求的取值范围．【答案】（1）以为直径的圆方程为，直线方程：．（2）．【解析】（1）已知圆标准方程为，∴圆心为，半径为，当时，中点为，，以为直径的圆方程为，又，∴四点共圆，线段是两圆的公共弦，两圆方程相减整理得即为直线方程．（2）设切线方程为，即，∴圆心到切线的距离为，整理得(*)，时，，，在中，令得，∴，又，∴，∴当时，．当时，方程(*)只有一解，此时直线方程是，，，，综上，．题型四与圆有关的弦长及方程或参数13．如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围100米以内会收到噪声影响．（1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由；（2）已知拖拉机的速度为每小时18千米，如果受影响，影响学校的时间为多少？【答案】（1）会受到影响，理由见解析；（2）24秒．【解析】（1）过点作于，，，，，该所中学会受到噪声影响；（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，则，在中，，，，，，，学校受影响的时间为：（秒．14．求圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．【答案】：或.【解析】设圆的标准方程为，可得圆心坐标为，半径为，由圆心在直线上，可得，即，又由圆与轴相切，可得，所以圆的方程为，则圆心到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得，化简得，解得，所以所求圆的方程为或.15．设直线l的方程为，圆O的方程为．（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）当时，直线与圆O交于M，N两点，若，求实数t的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）直线的方程整理可得，所以过定点，要直线与圆都有公共点，只要点在圆内或者圆上，即，又，所以.（2）设弦的中点为，则.由垂径定理可得，所以，即为，则，，又，所以，即.题型五直线与圆中的定点定值问题16．已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．【答案】（1）（x﹣3）2+y2＝25；（2）x＝0或7x+24y﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，.【解析】（1）圆以为圆心，为半径，所以圆的标准方程为.（2）①不存在时，直线的方程为：，，满足题意；②存在时，设直线的方程为：，，所以直线的方程为：，综上所述，直线的方程为或.（3）设直线：，，，①联立方程，所以，代入①得，化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.（4）设直线AM：y＝kx+4，联立方程，所以M点的坐标为，同理N点的坐标为．所以，故直线l的斜率是定值，且为．17．已知圆和直线.（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；（2）求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程；（3）已知点在圆C上，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2），（3）【解析】（1）由得，由，得，即直线经过定点，因为，所以点在圆内，所以不论为何实数，直线都与圆相交于两点.（2）由可知，圆心，半径为，设，设圆心到直线的距离为，则，当且仅当时，圆心到直线的距离为最大，此时直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（3）设坐标原点为，则，所以，所以的最大值为.18．平面直角坐标系中，已知点，圆与x轴的正半轴的交于点Q．（1）若过点P的直线与圆O相切，求直线的方程；（2）若过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B．①设线段的中点为M，求点M纵坐标的最小值；②设直线，的斜率分别是，，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）和；（2）①；②是定值，．【解析】（1）圆的圆心为，半径为2，若过点直线垂直于x轴，则方程为，与圆相切，符合题意；若过点直线不垂直于x轴，设直线的斜