2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题72 椭圆的简单几何性质-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题72椭圆的简单几何性质题型一利用椭圆的标准方程研究几何性质1．已知椭圆C：1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是_____.【答案】x+y﹣1＝0【解析】椭圆C：1的右焦点为F（1，0），直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0.故答案为：x+y﹣1＝0.2．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．【答案】①③【解析】由椭圆的对称性及，所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，则点P为椭圆与椭圆的交点，因为椭圆G的长轴顶点，短轴的绝对值小于，椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，点P靠近坐标轴时（或），越大，点P远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，此时两椭圆方程为：，，两方程相加得，即的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点P不在坐标轴上，∴，④错误．故答案为：①③．3．若椭圆焦距为，焦点在轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．【答案】【解析】设椭圆方程为，如图所示，为等腰直角三角形，为斜边的中线(高)，且，，所以，所以，故所求椭圆的标准方程为，故答案为：.4．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【答案】长轴长和短轴长分别是8和6，离心率，焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．【解析】把已知方程化成标准方程为，所以a＝4，b＝3，c＝＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝；两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．题型二根据几何性质求椭圆的方程5．已知椭圆的左焦点为，则（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】依题意，椭圆焦点在x轴上，且，所以，又，所以．故选：B6．（多选）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（）A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．C． D．【答案】AB【解析】依题意，，即，所以，所以，因此B正确；又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；设，其中，则有，即有，则，因此C错误；，即有，则，因此D错误．故选：AB．7．求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.【答案】【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求椭圆的标准方程为.8．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】(Ⅰ)＝1；(Ⅱ)是，定值为4.【解析】(Ⅰ)由题意得，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＝1．(Ⅱ)k1+k2为定值4，证明如下：(ⅰ)当直线l斜率不存在时，l方程为x＝﹣1，由方程组易得，，于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4为定值．(ⅱ)当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0，由韦达定理得(*)∴k1+k2＝＝＝＝2k+(k﹣4)•，将(*)式代入上式得k1+k2＝4为定值.题型三求椭圆的离心率或离心率的取值范围9．在中，，如果一个椭圆通过､两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设另一个焦点为，如图所示，∵，，，则，设，则，，∴，，，∴，故选:D.10．已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，由题意得、、，设，由得，则①，又由，中点为，得，则②，由①②得，即，则，故选：A.11．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为A（0，b），直线x＝﹣上存在一点P满足（+）•＝0，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．（0，]【答案】C【解析】由题意可得A（0，b），F（﹣c，0），设点P（﹣），则，，，因为（+）•＝0，所以，即a4﹣3a2c2+c4＝﹣m2c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得，即，又因为椭圆离心率e＜1，所以椭圆的离心率为[），故选：C．题型四点和椭圆的位置关系12．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B.13．点在椭圆的内部，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点在椭圆的内部，所以有，即，解得，则的取值范围是．故选：B.14．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.【答案】点在椭圆外【解析】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.故答案为：点在椭圆外.15．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上．【答案】证明见解析.【解析】由题得，，所以，所以直线的方程为，（1）由题得，所以，所以直线的方程为，（2）联立方程（1）（2）解之得所以直线的交点为，代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上．题型五由椭圆的离心率求参数的取值范围16．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【解析】由椭圆的性质可知，椭圆的离心率为，则，即所以椭圆C的长轴长为．故选：C.17．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】当焦点在x轴时，，当焦点在y轴时，所以实数的取值范围是.故选：D.18．已知椭圆离心率的最小值为，其左､右焦点分别为，若P是椭圆上位于y轴右侧的一点，则______.【答案】5【解析】由题意，点P是椭圆上位于y轴右侧的一点，可得，设，则，由椭圆的定义可知，因此，又因为是右焦点，所以，即，整理得，所以，解得.故答案为：5.19．若椭圆的焦点在轴上，离心率为，则__________．【答案】9【解析】由已知，，所以，所以，解得.故答案为：9题型六弦长及中点弦问题20．过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（）A．－2 B．2C． D．－【答案】D【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过点M的直线l的方程为y－0＝k1(x＋2)，与椭圆方程联立可得据此可知x1＋x2＝，则点P的横坐标为，点P的纵坐标为k1(x1＋2)＝.据此得k2＝－.综上可得k1k2＝－.故选：D21．已知椭圆＝1上一点到椭圆两焦点的距离之和为4．（1）求a的值及椭圆的离心率；（2）顺次连结椭圆的顶点得到菱形A1B1A2B2，求该菱形的内切圆方程；（3）直线l与（2）中的圆相切并交椭圆于A，B两点，求的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1）∵椭圆上的点到椭圆两焦点的距离之和为，∴，即，而b＝2，则c＝2，∴.（2）由（1）知：菱形内切圆的半径，所以内切圆方程为.（3）①当直线斜率不存在时，直线方程为，代入椭圆方程得，此时；②当直线斜率为0时，直线方程为，代入椭圆方程得，此时；③当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为，由直线与圆相切得，即，直线代入椭圆方程，可得，设，则，，∴.22．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．（1）求此弦所在的直线方程；（2）求此弦长．【答案】（1）x＋2y－4＝0；（2）2.【解析】（1）设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－，直线方程为，即x＋2y－4＝0.（2）由（1）将k＝－代入①得，x2－4x＝0，∴，∴|AB|＝＝＝2．题型七椭圆的实际应用23．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，与底面交于点B,D，,过C作交于E,C,则，在中，，，,，，求出离心率.那么椭圆中，,.故选：B24．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.【答案】【解析】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，所以，又，解得所以截口所在椭圆的离心率为故答案为：25．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为__千米.【答案】【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.故答案为：85.26．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取