2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题75 抛物线及其标准方程-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题75抛物线及其标准方程题型一利用抛物线定义求动点轨迹1．(多选)若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（）A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线【答案】BCD【解析】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点不在直线上，符合抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线，故选：BCD2．与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是_____.【答案】【解析】由圆可得，圆心，半径，设所求动圆圆心为，过点作直线，为垂足，则，可得，因此可得，点的轨迹是到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合.由抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线，定点为焦点，定直线是准线.所以抛物线的方程为故答案为：3．若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，求点的轨迹方程．【答案】．【解析】若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，所以动点到的距离与它到直线的距离相等．由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式，而，所以，，故点的轨迹方程为．题型二抛物线上的点到定点的距离及最值4．设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，据已知抛物线方程可得其准线方程为，又由点到轴的距离为，可得点的横坐标.由抛物线定义可知点到焦点的距离等于其到准线的距离，即.故选：C.5．设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，则（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、，连接、，由梯形的中位线知，，，所以.故选：D.6．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.【答案】5【解析】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3）抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.过作准线的垂线，垂足为，则有当且仅当三点共线时，等号成立，所以△PMF的周长最小值为55.故答案为：5.题型三根据抛物线方程求焦点或准线7．若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为，∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得，∴点到轴的距离为.故选：A8．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由抛物线得准线方程为y＝﹣，因此双曲线的一个焦点为，∴c＝．双曲线化为，∴a＝1，∴双曲线的离心率＝．故选：C．9．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为________.【答案】【解析】解析：如图，FPM是等边三角形.由抛物线的定义知PM⊥l，，在中，|QF|=2，∠QMF=30°，所以|MF|，即等边三角形边长为4，故等边三角形面积为.故答案为：.题型四抛物线标准方程的求解10．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．【答案】x2＝－4y【解析】由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.所以抛物线焦点坐标为(0，－)，所以抛物线方程为x2＝－4y.故答案为：x2＝－4y11．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）过点(3,-4)；（2）焦点在直线x+3y+15=0上.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）∵点(3,-4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为(p>0)或(p1>0).将(3,-4)的坐标分别代入方程中，∴由，得：；由，得.∴所求抛物线的标准方程为或.（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).∴所求抛物线的标准方程为或.12．已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.13．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.（1）求抛物线C的方程.（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，代入解得，所以抛物线的方程为；（2）抛物线，则，设,，所以切线PM的方程为，即,同理切线PN的方程为，联立解得点，设直线MN的方程为，代入，得，所以，所以点P在上，结论得证.题型五求抛物线的轨迹方程14．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．【答案】，【解析】解：设，则，整理，得，．动点的轨迹方程是，．故答案为：，．15．已知圆心在y轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程.【答案】【解析】因圆心在y轴上移动，且该圆过点和，则线段AC是圆的直径，圆心，而点在圆上，则，即，化简整理得，所以点的轨迹方程.16．已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点，可得，则可得出点的坐标为，得动点轨迹的方程为.（2）设过点的直线方程为，联立方程有，可得，则.，.17．（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，求抛物线的标准方程；（2）求到定点的距离，比到定直线的距离小1的点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由题意，因