2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题89 离散型随机变量及其分布列（解析版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题89离散型随机变量及其分布列题型一随机变量的概念例1．（2022·全国·高二专题练习）一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（

）A．所取球的个数B．其中含红球的个数C．所取白球与红球的总数D．袋中球的总数【答案】B【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；对于B：从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量，故选项B正确；对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；故选：B.规律方法解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．例2．（2022·河南南阳·高二期末（理））从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（

）A．至多取到1个黑球 B．至少取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到的球的个数【答案】C【解析】【分析】根据随机变量的定义，判断选项.【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C，取到白球的个数，可以是0，1，2.故选：C题型二离散型随机变量的判断例3．（2022·全国·高二课时练习）下列X是离散型随机变量的是（

）①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.【详解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，故选：B.规律方法判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果．(2)将随机试验的结果数量化．(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．例4．（2022·全国·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】【分析】根据离散型随机变量的概念逐一判断即可.【详解】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.故选：C.例5．（2022·全国·高二课时练习）给出下列各量：①某机场候机室中一天的游客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某同学离开自己学校的距离；④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；⑤体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④【答案】A【解析】【分析】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.【详解】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.故选：A.题型三用随机变量表示事件的结果例6．（2022·全国·高三专题练习）袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（

）A．25 B．10C．7 D．6【答案】C【解析】【分析】根据题意列举出X的所有可能取值.【详解】X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9.故选：C规律方法解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．例7．（2022·全国·高二课时练习）若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（

）A．1 B．0C．－1 D．1或0【答案】A【解析】【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.【详解】不等式≥1，可化为不等式，即，解得0<x≤1.而当x∈(0，1]时，ξ＝1.故选：A.例8．（2022·全国·高二课时练习）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【解析】【分析】根据逐次试验可得正确的选项.【详解】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选：B.题型四求离散型随机变量的分布列例9．（2022·湖南·高二课时练习）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．【答案】012【解析】【分析】写出随机变量的所有取值，分别求出对应概率，写出分布列即可.【详解】解：可取，，，，故分布列如下：012规律方法求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列．例10．（2022·湖南·高二课时练习）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)【解析】【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列；（2）由（1）的分布列可得概率.(1)由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列为(2)由（1）得.题型五分布列的性质及其应用例11．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）已知随机变量X的分布列如表所示，则（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据分布列的性质计算可得；【详解】解：依题意，解得，所以；故选：C规律方法离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．例12．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量X的概率分布为，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，，由分布列的性质得，解得，所以实数.故答案为：例13．（2022·全国·高二课时练习）设随机变量的分布列为，则___________.【答案】##【解析】【分析】由分布列的性质列式求解，再根据的含义代入概率公式求解.【详解】由题意，，所以，得，所以.故答案为：题型六两点分布例14．（2022·全国·高二单元测试）设随机变量X服从两点分布，若，则______．【答案】0.6【解析】【分析】根据两点分布的性质即可求出答案.【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得．故答案为：0.6.规律方法两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．例15．（2022·湖南·高二课时练习）将10个质地、大小一样的球装入袋中，其中6个白球，4个红球．现从袋中任取一个球，用X表示“取到白球”，即X=1,当取到白球时【答案】01【解析】【分析】根据题意分别求出对应随机变量的概率，再写出分布列即可.【详解】解：由题意可知，，，故分布列如下：01例16．（2020·吉林长春·模拟预测（理））武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设.试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案】（1）分布列见解析；（2），总次数为690次；，总次数为604次；，次数总为594次；减少406次【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，可得，再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，随机变量即可得出分布列.（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令求出期望即可求解.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，依题意可知，所以的分布列为：

（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:所以当时,，此时1000人需要化验的总次数为690次，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时,，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中，正确的是（

）A．随机事件个数与随机变量一一对应B．随机变量与区间一一对应C．随机变量的取值是实数D．随机变量与自然数一一对应【答案】C【解析】【分析】根据随机变量的定义直接得到答案.【详解】根据随机变量的定义知：随机变量的取值是实数，C正确；随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的，A错误；离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；连续型随机变量与自然数不是一一对应，D错误.故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（

）A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z【答案】D【解析】【分析】根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.【详解】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为故的取值范围是故选：D.3．（2022·全国·高二课时练习）设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（

）A．Y＝5 B．Y＝4C．Y＝3 D．Y＝2【答案】B【解析】【分析】由题意可知遇到第5盏信号灯，说明已通过4盏信号灯，从而可得答案【详解】由题意可知遇到第5盏信号灯时首次停下，说明已通过4盏信号灯，所以Y＝4，故选：B4．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．5．（2022·全国·高二课时练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】【分析】列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，由，随机变量的取值为，故对应，∴，故选：C.6．（2022·辽宁辽阳·高二期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（

）X012P0.080.140.78X012P0.060.240.56X012P0.060.560.38X012P0.060.380.56ABCDA．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】先得出X的取值范围，进而得出相应的概率，列出分布列即可.【详解】X的取值范围为，，故X的分布列为X012P0.060.380.56故选：D7．（2022·安徽亳州·高二期末）若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】根据分布列即可求出．【详解】因为，所以．故选：D．8．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由分布列的性质得出m的值.【详解】由分布列的性质得故选：B二、多选题9．（2022·全国·高二课时练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】CD【解析】【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为，故的分布列为：111设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需即，即，即又，，故选：CD10．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布列如下表所示.ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列性质可得，即可求出.【详解】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以，所以，又，，根据分布列的性质，得，，所以.故选：AC.11．（2022·全国·高二课时练习）已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．则下列结论正确的是（

）A．共有24对相交棱 B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故，于是，故C正确，D错误．故选：AC．12．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设随机变量的分布列为，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】根据离散型随机变量分布列的概念和性质，逐项分析即可求解.【详解】对于选项A，∵随机变量的分布列为，，解得，故A正确；对于选项B，易知，故B正确；对于选项C，易知，故C错误；对于选项D，易知，故D错误.故选：AB.三、填空题13．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则a＝______.X123P0.2a0.5【答案】0.3##【解析】【分析】根据离散型随机变量X的分布列的性质即概率之和为1，即可求得答案.【详解】由得a＝0.3,故答案为：0.314．（2022·全国·高二课时练习）若随机变量的所有可能取值是－2，0，3，5，且，，，则______________．【答案】【解析】【分析】根据随机变量的总概率为1即可解答﹒【详解】．故答案为：﹒15．（2022·广东中山·高二期末）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数，则___________.【答案】【解析】【分析】记“笼内还剩下只果蝇”为事件，进而得，进而根据求解即可.【详解】解：根据题意，的可能取值为只考虑飞出的两只苍蝇，记“笼内还剩下只果蝇”为事件，当事件发生时，共飞走只果蝇，第只飞出的是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以，故答案为：16．（2020·全国·高三专题练习）邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为(单位：克)，如果,，那么等于_________.【答案】0.3【解析】【分析】根据随机变量的概率之和为1，即可求出.【详解】根据随机变量的概率分布的性质,可知,故.【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质，属于中档题.四、解答题17．（2022·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量试写出随机变量的分布列(用表格格式);(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）抛掷一颗骰子两次,共有种不同结果，当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时，有种情况，所以，由对立事件概率公式得，即可写出随机变量的分布列；（2）利用条件概率公式，即可得出结论.试题解析：(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有6种情况,所以,由互斥事件概率公式得,)所以所求分布列是01(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为或18．（2022·湖南·高二课时练习）写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】【分析】(1)所取球的编号X是离散型随机变量，可能取1，2，，10，如表示取出的是1号球；(2)从中任取4个球，所含红球的个数为离散型随机变量，可能取1，2，3，4，如表示取出2个红球，2个白球；(3)骰子两次的点数之和为离散型随机变量，可能取2，3，，12，如表示第一次的点数为1，第二次的点数为1.(1)的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；表示取出k号球；(2)的可能取值为：0，1，2，3，4；表示取出k个红球，个白球，其中；(3)的可能取值为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；若以表示投掷甲、乙两枚均匀骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则表示，表示，表示，表示，表示，表示，表示，表示，表示，表示，表示.19．（2022·湖南·高二课时练习）一批产品共100件，其中有5件次品，现在从中任取10件检查，求取到次品件数X的分布列（精确到0.00001）．【答案】0123450.583750.339390.070220.006380.000250.00001【解析】【分析】写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再写出分布列即可.【详解】解：可取，，，，，，，故分布列如下：0123450.583750.339390.070220.006380.000250.0000120．（2022·山东潍坊·一模）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，