2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题89 离散型随机变量及其分布列（原卷版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题89离散型随机变量及其分布列题型一随机变量的概念例1．（2022·全国·高二专题练习）一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（

）A．所取球的个数B．其中含红球的个数C．所取白球与红球的总数D．袋中球的总数规律方法解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．例2．（2022·河南南阳·高二期末（理））从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（

）A．至多取到1个黑球 B．至少取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到的球的个数题型二离散型随机变量的判断例3．（2022·全国·高二课时练习）下列X是离散型随机变量的是（

）①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④规律方法判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果．(2)将随机试验的结果数量化．(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．例4．（2022·全国·高二课时练习）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④例5．（2022·全国·高二课时练习）给出下列各量：①某机场候机室中一天的游客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某同学离开自己学校的距离；④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；⑤体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④题型三用随机变量表示事件的结果例6．（2022·全国·高三专题练习）袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（

）A．25 B．10C．7 D．6规律方法解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．例7．（2022·全国·高二课时练习）若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（

）A．1 B．0C．－1 D．1或0例8．（2022·全国·高二课时练习）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（

）A．6 B．5 C．4 D．2题型四求离散型随机变量的分布列例9．（2022·湖南·高二课时练习）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．规律方法求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列．例10．（2022·湖南·高二课时练习）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.题型五分布列的性质及其应用例11．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）已知随机变量X的分布列如表所示，则（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．规律方法离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．例12．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量X的概率分布为，则实数______．例13．（2022·全国·高二课时练习）设随机变量的分布列为，则___________.题型六两点分布例14．（2022·全国·高二单元测试）设随机变量X服从两点分布，若，则______．规律方法两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．例15．（2022·湖南·高二课时练习）将10个质地、大小一样的球装入袋中，其中6个白球，4个红球．现从袋中任取一个球，用X表示“取到白球”，即X=1,当取到白球时例16．（2020·吉林长春·模拟预测（理））武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设.试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中，正确的是（

）A．随机事件个数与随机变量一一对应B．随机变量与区间一一对应C．随机变量的取值是实数D．随机变量与自然数一一对应2．（2022·全国·高二课时练习）抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（

）A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z3．（2022·全国·高二课时练习）设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（

）A．Y＝5 B．Y＝4C．Y＝3 D．Y＝24．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次5．（2022·全国·高二课时练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（

）A． B． C． D．46．（2022·辽宁辽阳·高二期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（

）X012P0.080.140.78X012P0.060.240.56X012P0.060.560.38X012P0.060.380.56ABCDA．A B．B C．C D．D7．（2022·安徽亳州·高二期末）若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．108．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·全国·高二课时练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.110．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布列如下表所示.ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是（

）A． B．C． D．11．（2022·全国·高二课时练习）已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．则下列结论正确的是（

）A．共有24对相交棱 B．C． D．12．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设随机变量的分布列为，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则a＝______.X123P0.2a0.514．（2022·全国·高二课时练习）若随机变量的所有可能取值是－2，0，3，5，且，，，则______________．15．（2022·广东中山·高二期末）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数，则___________.16．（2020·全国·高三专题练习）邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为(单位：克)，如果,，那么等于_________.四、解答题17．（2022·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量试写出随机变量的分布列(用表格格式);(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．18．（2022·湖南·高二课时练习）写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.19．（2022·湖南·高二课时练习）一批产品共100件，其中有5件次品，现在从中任取10件检查，求取到次品件数X的分布列（精确到0.00001）．20．（2022·山东潍坊·一模）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.21．（2022·全国·高二单元测试）已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．22．（2020·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在