2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题65 两点间的距离公式-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题65两点间的距离公式题型一求平面两点间的距离1．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选：BC.2．某地街道呈现东-西､南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，，为报刊零售点.为使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.发行站应确定在格点（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为，则，这五个点的横坐标与纵坐标的平均值分别为：..记，.画图可知发行站的位置应该在点附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在处取得最小值.故答案为.故选：D.3．坐标原点在动直线上的投影为点，若点，那么的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线，可化为，故直线过定点，坐标原点在动直线上的投影为点，故，所以在以为直径的圆上，圆的圆心为，即，半径为，根据点与圆的关系，，故，故选：A.4．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点､.（1）当的中点为时，求直线的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，设，，，，且，；当的中点为时，有，解得，，，，直线的方程为，化为一般式为；（2）当斜率不存在时，，此时，当存在时，设直线的方程为：.直线与相交：可得，，直线与轴正半轴相交与，可得，那么：，令，可得，当时，由于，的最小值为：；当且仅当时取等号.即.当时，由于，的最小值为：；当且仅当时取等号.即.；故得的最小值为：(当且仅当时取等号.即.题型二由顶点坐标判断三角形的形状1．已知点，，，求证：是等腰三角形．【答案】证明见解析.【解析】证明：由题可知，，，，，，，，又由坐标可知，，，三点不共线，是等腰三角形．2．在中，D是边上任意一点（D与不重合），且.求证：为等腰三角形.【答案】证明见解析.【解析】作，垂足为O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立直角坐标系（如图所示）.设.因为，所以，由距离公式可得，即.又，故，即.所以，即为等腰三角形.题型三由距离求点的坐标1．（多选）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】设，根据题意可得即解得或所以或.故选：AC．2．已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．【答案】【解析】设点P(x，0)，则有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－，即所求点P为.故答案为：3．在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________.【答案】【解析】设直线上一点，则到点，的距离相等，∴，解得，∴，∴点的坐标为，故答案为.4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知的顶点，其“欧拉线”的直线方程为，则的顶点的坐标__________.【答案】【解析】设，由重心坐标公式得的重心为，代入欧拉线方程得整理得①，因为AB的中点为，，所以AB的中垂线的斜率为，所以AB的中垂线方程为即，联立，解得，∴的外心为，则②，联立①②得或，当时，点B、C两点重合，舍去；∴即的顶点的坐标为.故答案为：.5．已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为___________，直线的方程为___________.【答案】或或.【解析】根据题意，点在直线上，设的坐标为，又由，则，解可得：或5，时，的坐标为，直线的方程为，时，的坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，变形可得，则的坐标为或，直线的方程为或，故答案为：或；或.题型四用两点间的距离公式求函数最值1．已知点，，点在轴上，则的最小值为（）A．6 B． C． D．【答案】B【解析】点，，点在轴上，点关系轴的对称点为，.故选：B.2．已知，．（1）求证：，并求使等式成立的条件．（2）说明上述不等式的几何意义．【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.【解析】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC|∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥（当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），即x＝y时取等号．∴．（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.3．（1）已知点P是平面上一动点，点，是平面上两个定点，求的最小值，并求此时P的坐标；（2）求函数的最小值．【答案】（1）最小值为5，此时；（2）．【解析】（1）设，则，，即P到距离最小时，最小当，时，的值最小．故的最小值为5，此时．（2）设，，，如图，则上述问题转化为求的最小值．点A关于x轴的对称点为，即可转化为P在x轴移动过程最短问题的最小值为．4．已知两定点，及两平行直线，，试在直线，上分别求出点P，Q，使得，且折线段APQB的长度最短，并写出此时三条折线所在直线的方程．【答案】，，直线AP，PQ，QB的方程分别为，，．【解析】（如图）作点B关于L2的对称点B′，作点A关于L1的对称点A′，再在AA′的延长线上取点M，使得A′M等于两平行线L1、L2之间的距离d，连结B′M与L2的交点为Q，过Q作QP垂直L1于点P，可得图中的点P、Q就是所求作的点．结合已知可求得P（2，﹣4），Q（5，0），可得直线的方程分别为AP：4x﹣5y﹣28＝0PQ：4x﹣3y﹣20＝0，QB：4x﹣5y﹣20＝0题型五距离新定义1．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（）A．若点在线段上，则有B．若是三角形的三个顶点，则有C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为【答案】AC【解析】对A，若点在线段上，设，则在之间，在之间，则，故A正确；对B，在中，，故B错误；对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为，则，解得，故C正确；对D，设，则，即的最小值为，故D错误.故选：AC.2．在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（）．A．若，则点的轨迹是正方形B．若，则与重合C．D．【答案】A【解析】由得，所以点的轨迹是以为中心的正方形，故A正确；记，，则，，若，则，显然有，满足此等式，可取点，，显然与不重合，故B错误；取点，，，则，此时，故C错误，也可得D错误．故选：A.3．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.（1）求证：对任意三点、、，都有；（2）已知点和直线，求；（3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所围成图形的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）证明：设，则，同理可得，所以，（2）解：设为直线上一点，则，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，