2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷(含答案)

年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）A．2.5 B． C． D．02．（3分）据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）A．4.15×104 B．0.415×104 C．0.415×105 D．4.15×1053．（3分）下列计算正确的是（）A．a+2a2＝3a2 B．a10÷a2＝a5 C．a4•a2＝a8 D．（a3）2＝a64．（3分）某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是85．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π6．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺7．（3分）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕EF，EH翻折，AE；第三步：将△GEM和△HEN分别沿EM，EN翻折，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD＝，则MD的长是（）A．10cm B．cm C．cm D．cm8．（3分）如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，且满足∠BPC＝30°，则BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）9．（3分）﹣64的立方根是．10．（3分）使代数式有意义的x取值范围是．11．（3分）若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的中位数为．12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针．13．（3分）已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为．14．（3分）已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为．15．（3分）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，连接CE，交⊙O于点D，若点D恰为线段CE中点，则tan∠ABD为．16．（3分）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC＝4，BC＝3，得到△DEF，若△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上，则CH＝．三、解答题（本题满分0分）17．计算：．18．解方程组．19．先化简，再求值：，其中a满足．20．如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是；（2）若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）21．2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况．他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为；众数为；（2）若日平均气温在18℃至21℃的范围内（包括18℃和21℃）为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数．22．如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，AB＝CD．求证：EF∥AD．23．如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西α的方向，且AC＝2海里海里，已知cosα＝，求A、B两艘轮船之间的距离．（结果保留根号）24．如图，以x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCD，矩形长AD、BC交直线y＝﹣x+3于点F、E的图象正好经过点F、E．（1）线段EF长为；（2）求k值．25．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一个动点，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F．连接CE、EF（1）求证：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF26．如图1，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），对称轴为直线x＝1与x轴的交于点B．（1）求抛物线L的解析式；（2）点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；（3）如图2，将抛物线L向上平移k（k＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N．P为线段OM上一点．若△PMN与△POB相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．27．已知矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F．（1）如图1，若BE＝，求AE•AF的值；（2）如图2，连接AC交DF于点G，若＝，求cos∠FCE的值；（3）如图3，延长DF交AB于点G，若G点恰好为AB的中点，过A作AK∥FC交FD于K，设△ADK的面积为S1，△CDF的面积为S2，则的值为．参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）A．2.5 B． C． D．0【解答】解：2.5，﹣，0是有理数；是无理数．故选：B．2．（3分）据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）A．4.15×104 B．0.415×104 C．0.415×105 D．4.15×105【解答】解：41500＝4.15×104．故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a+2a2＝3a2 B．a10÷a2＝a5 C．a4•a2＝a8 D．（a3）2＝a6【解答】解：A、原式＝a+3a2，不符合题意；B、原式＝a8，不符合题意；C、原式＝a6，不符合题意；D、原式＝a6，符合题意；故选：D．4．（3分）某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是8【解答】解：平均数＝（10+8+6+2+8+7+2）÷7＝8，按从小到大排列为：3，7，8，8，8，9，10，∴中位数是8；∵8出现了3次，次数最多，∴众数是2；方差S2＝[（10﹣8）2+（7﹣8）2+（5﹣8）2+（5﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（3﹣8）2]＝5.25．所以D错误．故选：D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母线长l＝2，∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π．故选：C．6．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）3﹣h2＝（10÷2）4，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：B．7．（3分）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕EF，EH翻折，AE；第三步：将△GEM和△HEN分别沿EM，EN翻折，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD＝，则MD的长是（）A．10cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝20cmcm，∴∠A＝90°，由第一步折叠可得，AD∥EF，由第一步折叠可得，AE＝A′E＝10cm，∴AE∥AG，∴四边形AEA′G为平行四边形，∵AE＝A′E，∠A＝90°，∴平行四边形AEA′G为正方形，∴AG＝AE＝10cm，∴GD＝AD﹣AG＝cm，在Rt△AEG中，＝＝（cm），根据第三步折叠可得，∠GEM＝∠G′EM，∵GD∥EF，∴∠GME＝∠G′EM，∴∠GEM＝∠GME，∴GE＝GM＝cm，∴MD＝GD﹣GM＝＝cm．故选：D．8．（3分）如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，且满足∠BPC＝30°，则BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．【解答】解：①如图1，当点P与点A重合时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝12，∠BPC＝30°，∴BC＝＝＝4，此时BC是满足题意的最大值；②如图3，当点P是AD的中点时，此时BC最小，过点B作BE⊥CP于E，设BE＝a，AP＝x，∵∠BPC＝30°，∴BP＝2BE＝2a，PE＝a，∴，解得：x＝24+12（舍）或24﹣12，∴BC＝2x＝48﹣24，综上，48﹣24，即6.432≤BC≤6.928．故选：B．二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）9．（3分）﹣64的立方根是﹣4．【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴﹣64的立方根是﹣2．故选﹣4．10．（3分）使代数式有意义的x取值范围是x≥1．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣1≥8，解得：x≥1．故答案为：x≥1．11．（3分）若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的中位数为5．【解答】解：∵数据1、3、x、5、8的众数为8，∴x＝5，则数据重新排列为1、3、5、8、8，所以中位数为8，故答案为：5．12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针．【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故答案为．13．（3分）已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为12．【解答】解：如图，连接OA，OG；∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周长＝6a＝12．故答案为：12．14．（3分）已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为2≤a≤6．【解答】解：如图，当点Q在圆外且O，Q，线段OQ的长度的最大；当点Q在圆内且O，Q，P三点共线时，最小值为4﹣2＝6，所以，线段OQ的长度a的范围为2≤a≤6．故答案为：3≤a≤6．15．（3分）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，连接CE，交⊙O于点D，若点D恰为线段CE中点，则tan∠ABD为．【解答】解：连接OE、AD，设⊙O的半径为r，∵O、B两点是线段AC的三等分点，∴OB＝CB，∵点D恰为线段CE中点，∴BD为△OCE的中位线，∴BD＝OE＝r，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝＝＝r，∴tan∠ABD＝＝＝．故答案为：．16．（3分）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC＝4，BC＝3，得到△DEF，若△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上，则CH＝．【解答】解：连接CD，∵AC＝4，BC＝3，由勾股定理得，AC＝2，∵点G为AC的中点，∴AG＝CG，∵△DEF的锐角顶点D恰好落在△ABC的斜边AB上，∴AG＝DG，∴∠A＝∠ADG，∠GCD＝∠GDC，∴∠ADC＝＝90°，∵cosA＝，∴，∴AD＝，∵∠AHD＝∠DHG，∠HDG＝∠HAD，∴△HDG∽△HAD，∴，设GH＝5x，则DH＝5x，∴，解得x＝，经检验，x＝，∴AH＝7x+2＝，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣＝，故答案为：．三、解答题（本题满分0分）17．计算：．【解答】解：＝1+4﹣3＝7．18．解方程组．【解答】解：，②×3+①得：7x＝14，解得：x＝2，将x＝3代入②得：y＝﹣1，则原方程组的解为．19．先化简，再求值：，其中a满足．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝，∵，∴a2﹣5＝﹣2a，∴a2+7a＝2，∴原式＝．20．如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是；（2）若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）【解答】解：（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种、②①、③②、④③，∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为＝．21．2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况．他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为19.5；众数为19；（2）若日平均气温在18℃至21℃的范围内（包括18℃和21℃）为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数．【解答】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为＝19.5，众数为19，故答案为：19.2，19；（2）∵×30＝20（天），∴估计苏州今年7月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天．22．如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，AB＝CD．求证：EF∥AD．【解答】证明：∵EA∥BF，EC∥FD，∴∠A＝∠FBD，∠ACE＝∠D，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（ASA），∴EC＝FD，∵EC∥FD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴EF∥CD，∴EF∥AD．23．如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西α的方向，且AC＝2海里海里，已知cosα＝，求A、B两艘轮船之间的距离．（结果保留根号）【解答】解：过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D，∴AE∥CH∥BD，∴∠CAE＝∠ACH＝α，∠CBD＝∠BCH＝β，则四边形FEDB为矩形，∴EF＝BD，FB＝ED，在Rt△AEC中，∠CAE＝α，∵cosα＝，∴α＝45°，∵AC＝5海里，∴AE＝CE＝AC＝2（海里），在Rt△BCD中，∠CBD＝β海里，∴CD＝sinβ•BC＝＝7（海里），由勾股定理得，BC2＝BD2+CD3，即（）2＝BD2+52，解得，BD＝1，∴AF＝AE﹣EF＝3（海里），BF＝EC+CD＝2+3＝4（海里），则AB＝＝（海里），答：A，B两艘轮船之间的距离为．24．如图，以x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCD，矩形长AD、BC交直线y＝﹣x+3于点F、E的图象正好经过点F、E．（1）线段EF长为；（2）求k值．【解答】解：（1）∵点F、E在直线y＝﹣x+3图象上，∴设F（m，﹣m+3），﹣（m+6）+3），﹣m+2）∴EF＝＝．故答案为：；（2）∵反比例函数的图象正好经过点F、E，∴k＝m（﹣m+3）＝（m+2）（﹣m+2），解得m＝1，∴k＝m（﹣m+8）＝1×2＝4．25．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一个动点，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F．连接CE、EF（1）求证：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，∵∠FCB＝∠DEF，∴∠B＝∠DEF，又∠BAC+∠B＝90°，∵CD是圆O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（2）连接FD，并延长和AB相交于G，∵CE＝EF，∴∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，AC＝AG＝6，∵∠ACB＝90°，AB＝10，∴BC＝＝8，在Rt△BDG中，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣4＝4，∵BG2+DG3＝BD2，∴45+x2＝（8﹣x）8，∴x＝3，即CD＝3．26．如图1，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），对称轴为直线x＝1与x轴的交于点B．（1）求抛物线L的解析式；（2）点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；（3）如图2，将抛物线L向上平移k（k＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N．P为线段OM上一点．若△PMN与△POB相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．【解答】解：（1）由题意知：，解得：，∴抛物线L的解析式为：y＝﹣x2+2x+7；（2）由题意得：x轴平分∠ABC，即∠ABO＝∠CBO，∵△ABC的内心恰好在x轴上，∴△ABC的三个内角的角平分线交点在x轴上，由此可知点C在y轴的左侧，过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：由题意知：OA＝1，OB＝1，∴∠ABO＝∠DBC＝45°，∴DC＝DB，设C（a，﹣a2+2a+1），则有CD＝a4﹣2a﹣1，BD＝6﹣a，∴a2﹣2a﹣5＝1﹣a，解得：a1＝﹣4，a2＝2（不符合题意，舍去），∴点C（﹣6，﹣2）；（3）如图2，设抛物线L2的解析式为y＝﹣x2+2x+3+k，∴M（0，1+k），8+k），0），设P（0，t），当△PMN∽△BOP时，，∴，∴t7﹣（1+k）t+2＝8①；当△PMN∽△POB时，，∴，∴②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，Δ＝（1+k）2﹣3＝0，解得：（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根：，方程②有一个实数根：，∴；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：，解得：k＝6（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根：t1＝1、t2＝2，方程②有一个实数根：t＝1，∴k＝6，综上，当△PMN与△POB相似，则或2．27．已知矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F．（1）如图1，若BE＝，求AE•AF的值；（2）如图2，连接AC交DF于点G，若＝，求cos∠FCE的值；（3）如图3，延长DF交AB于点G，若G点恰好为AB的中点，过A作AK∥FC交FD于K，设△ADK的面积为S1，△CDF的面积为S2，则的值为．【解答】解：（1）∵E是BC的中点，