2024年中考数学复习（全国版）第26讲 圆的相关概念及性质（练习）（原卷版）

第26讲圆的相关概念及性质目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01理解圆的相关概念题型02圆的周长与面积相关计算题型03圆中的角度计算题型04圆中线段长度的计算题型05求一点到圆上一点的距离最值题型06由垂径定理及推论判断正误题型07利用垂径定理求解题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解题型09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标题型10利用垂径定理求平行弦问题题型11利用垂径定理求同心圆问题题型12垂径定理在格点中的应用题型13利用垂径定理的推论求解题型14垂径定理的实际应用题型15利用垂径定理求取值范围题型16利用弧、弦、圆心角关系判断正误题型17利用弧、弦、圆心角关系求解题型18利用弧、弦、圆心角关系求最值题型19利用弧、弦、圆心角关系证明题型20利用圆周角定理求解题型21利用圆周角定理推论求解题型22已知圆内接四边形求角度题型23利用圆的有关性质求值题型24利用圆的有关性质证明题型25利用圆的有关性质解决翻折问题题型26利用圆的有关性质解决多结论问题题型27圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距题型28圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角题型01理解圆的相关概念1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（

）A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（

）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；

②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形题型02圆的周长与面积相关计算5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，12对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（

A．2π-4 B．π-2 C6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（

）A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R-r=1，则半径为RA．a+1 B．a+2 C．a+8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积．题型03圆中的角度计算9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则A．90° B．95° C．100° D．105°10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为BCA．10° B．20° C．30°11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'

题型04圆中线段长度的计算12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3

A．403 B．8 C．245 D13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙OA．403 B．8 C．245 D14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（

）A．4 B．10 C．13 D．26题型05求一点到圆上一点的距离最值15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O的面积为2π，MN=1，△AMN

16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON=t（1<t<2），点P的坐标为-4,0，将点P沿OM方向平移2个单位，得到点P'，再将点P'作关于点N的对称点Q，连接

17．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点

18．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为

题型06由垂径定理及推论判断正误19．（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠A．CE=EO B．C．∠OCE=45° D20．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC D21．（2018·内蒙古包头·校联考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD题型07利用垂径定理求解22．（2023·云南·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（

）A．713 B．1213 C．71223．（2023·陕西西安·校考二模）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(

)A．363 B．243 C．183 D．72324．（2022·北京丰台·统考一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝°．25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是．题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解26．（2022·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD（1）求证：∠BAD（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC27．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角形，D点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为28．（2022·广东广州·统考一模）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为．29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作AE⊥BE交BD的延长线于点E30．（2021·四川成都·统考二模）如图，在半径为32的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是题型09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标31．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A0,-2，B0,4，与x轴交于C，D，则点DA．4-26,0 B．-4+26,0 C32．（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A10,0,B8,0，点C,D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形A．2，3 B．2,4 C．1,2 D33．（2017·山东临沂·校考一模）如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E，若圆心A的坐标为（-4，6），点B的坐标为（-12，0），则DE的长度为（）A．221 B．421 C．8 D．1634．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=6x(x>0)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦题型10利用垂径定理求平行弦问题35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是．36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，则AB题型11利用垂径定理求同心圆问题38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，则AB的长是39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=6，则圆环的面积为40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．题型12垂径定理在格点中的应用41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则AE的长为（

）A．3π4 B．π2 C．542．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O均在格点上，则sin

43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．（1）线段AC的长等于；（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点题型13利用垂径定理的推论求解45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB=30°，ACA．32 B．3 C．1 D．46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是AB的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD=3，DC=2，则AB47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，AC=BC，连接AC，(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点E在DO的延长线上，连接AE．若∠

(1)求证：AE是⊙O(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求题型14垂径定理的实际应用49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）50．（2022·河南开封·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接请解答下列问题，(1)求证：∠PAC(2)请求出水槽AP的长度．51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；【问题解决】（3）如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，则CD的长度题型15利用垂径定理求取值范围53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤554．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则OP55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．56．（2022·湖南长沙·校考二模）在半径为5的圆中，弦AB=8，点C是劣弧AB上的动点（可与A、B重合），连接OC交AB于点P(1)如图1，当OC⊥AB时，求(2)如图2，过C点作CM⊥AB，垂足为点M，设CM=m，求OP的长度（用含(3)如图3，设CM=m，连接OM．求题型16利用弧、弦、圆心角关系判断正误57．（2020·安徽芜湖·校联考三模）在⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定58．（2018·湖北襄阳·统考一模）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB59．（2018·福建三明·统考一模）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是(

)A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝12∠BOD D．∠A＝12题型17利用弧、弦、圆心角关系求解60．（2022·福建泉州·一模）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A．33 B．32 C．3 D61．（2022·江苏扬州·统考二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、HA．AD=AE BC．AF=DG D62．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中点，P是直径A．4 B．5 C．6 D．763．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠64．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知半圆直径AB=2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面积为题型18利用弧、弦、圆心角关系求最值65．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．266．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则67．（2022·山东济南·统考二模）如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为题型19利用弧、弦、圆心角关系证明68．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC与（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．69．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是(1)求证：AB平分∠OAC(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=170．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE

(1)求证：BE=(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB71．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠(1)求∠AEB(2)连接CE，求证：2B题型20利用圆周角定理求解72．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠73．（2022·山西晋中·统考一模）如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是74．（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是．75．（2022·江西·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．（1）求证：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA题型21利用圆周角定理推论求解76．（2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，77．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是．78．（2023·山东济宁·统考一模）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为．

79．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D(1)求证：BD=(2)若⊙O与AC相切，求∠B(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）题型22已知圆内接四边形求角度80．（2021·重庆南岸·统考一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°81．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD

A．128° B．64° C．32° D．116°82．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等的角(不包括∠题型23利用圆的有关性质求值83．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D

A．6.4 B．7 C．7.2 D．884．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点

(1)若∠ABC=20°，则∠(2)若BE=BD，则tan85．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F(1)求证△CFA(2)当E从B运动到A时，F运动路径的长为______．题型24利用圆的有关性质证明86．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，过D作DE⊥

(1)若AB为直径，证明：DE是⊙O(2)若AB不是⊙O的直径，如图2，DE交⊙O于点F①求证：CDBF②若AB=BC+87．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点（不与点A，B重合），过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD

(1)①在图1的情形下，证明：BC⋅②当点P处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC88．（2022·山西大同·校联考三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：如图1，以AB为直径作半圆O，弦AC是一个内接正五边形的一条边（即：∠AOC=72°），点D是AC的中点，连接CD并延长与直径BA的延长线交于点E，连接AC,DB交于点F，过点F作FM⊥下面是勤奋小组的部分证明过程：证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点∵∠AOC∴∠ABC=1∵点D是AC的中点，∴AD=∵∠AOC∴∠AOD∴∠ABD=∠CBD∵以AB为直径作半圆O，∴∠ACB=∠ADB∴∠BCD∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，∴∠BAD=180°-∠DCB∵∠ADE∴∠ADE∵FM⊥AB于点∴FM=∵BF=∴△BCF∵BC=∵BC=∴△BCD∴DC=……通过上面的阅读，完成下列任务：(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出∠A题型25利用圆的有关性质解决翻折问题89．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D．再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，设∠ABCA．21.9°<α<22.3° BC．22.7°<α<23.1° D90．（2023·福建泉州·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦（不是直径），将AB沿AB翻折交AC于点D．若AB=AC，AD91．（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段题型26利用圆的有关性质解决多结论问题92．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=12AB，下列结论：①若CD⏜=AD⏜+BC⏜，则AB=2CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则PAPD=3−1；④ADA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④93．（2022·福建莆田·统考一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AC=8，B为AC上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．94．（2020·湖南岳阳·校考二模）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN=90°；②AM=BM题型27圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距95．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC296．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为题型28圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角97．（2022·江苏常州·常州市第二十四中学校联考一模）图，点A1,2、点B都在反比例函数y=kxx>0的图象上，当以OB为直径的圆经过98．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°

99．（2018·湖南张家界·校联考一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=°．一、单选题1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

A．2 B．5 C．6 D．82．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D

A．8 B．4 C．3.5 D．35．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m

A．300πm B．200πm C．6．（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠

A．20° B．40° C．50° D．80°7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°

A．23° B．24° C．25° D．26°8．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则

A．15° B．17.5° C．20° D．25°9．（2023·西藏·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠

A．65° B．115° C．130° D．140°10．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空题12．（2023·黑龙江·统考中考真题）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C