简单随机抽样 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

简单随机抽样名称定义总体所要

的全体叫作总体

个体总体中的每一个考察对象叫作个体样本从总体中所抽取出的

叫作总体的一个样本

样本容量样本中个体的

叫作样本容量

考察对象在初中学过的一些统计知识一部分个体数目复习引入一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴.儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家.“火柴能划燃吗？”爸爸问.“都能划燃.”“你这么肯定？”儿子递过一盒空的火柴盒，兴奋地说：“我每根都试过啦.”思考1：

在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？思考2：这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？普查抽样调查

这就需要了解统计的有关知识！探究一：统计的有关知识2020年我国进行了第七次人口普查，对全国人口普遍地、逐户逐人地进行一次性调查登记.调查内容包括每位居民的姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等.这里，居民为调查对象，而居民的性别、年龄、民族、受教育程度等是要调查的指标.

统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题.由于不同调查对象的指标值往往不同，它是一个变化的量，所以常把指标称为变量.统计的有关概念统计学：是通过搜集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.统计的基本思想：用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况.归纳总结全面调查：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查；总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体；个体：组成总体的每一个调查对象称为个体；抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查；样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本；样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量．调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.优点：数据精确;缺点：费时费力成本高;优点：花费少、效率高;缺点：数据没有全面调查精确;在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？（１）调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；（２）调查一个地区结核病的发病率；（３）调查一批炮弹的杀伤半径；（４）调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.请你再举一些不宜用全面调查的例子，并说明理由.练习解：（１）总体是全班学生，个体是这个班的每一位学生，适合用全面调查.（２）总体是整个地区的居民，个体是这个地区的每一位居民，适合用抽样调查.课本177页（３）总体是这批炮弹，个体是这批炮弹的每一发炮弹，适合用抽样调查.（４）总体是这个水库里所有的鱼，个体是这个水库中里的每一条鱼，适合用抽样调查.不宜用全面调查的例子：火柴的质量问题，原因是全面调查具有破坏性；全国高三毕业生的视力，原因是费时，费力.抽样调查的目的是为了了解总体情况，希望抽取的样本数据能很好地反映总体的情况，即样本含有和总体基本相同的信息.探究二：简单随机抽样思考３：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？我们可以从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球,如此重复n次.根据初中的概率知识可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即口袋中红球所占的比例.因此我们可以通过放回摸球，用频率估计出红球的比例.总体：袋中所有小球，个体：每一个小球，变量：小球的颜色.同一个小球有可能被摸中多次，极端情况是每次摸到同一个小球，而被重复的小球只能提供同一个小球颜色信息.这样的抽样结果误差较大.我们可以从袋中随机摸出一个球后不再放回袋中，每次模球都在余下的球中随机获取.思考４：放回摸球有什么不足吗?你还有其他的方法吗?特别地，当样本量n=1000时,不放回摸球己经把袋中的所有球取出,这就完全了解了袋中红球的比例,而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例得出准确的判断.一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.归纳总结简单随机抽样定义：注意：从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的.与放回简单随机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此，实践中人们更多采用不放回简单随机抽样，除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样，指不放回简单随机抽样.说明：简单随机抽样的特点：1.总体的个体数有限；样本数n小于等于样本总体的个数N（有限性）；2.样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体（逐个抽取）；3.是不放回抽样（不放回）；4.每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性（等可能性）．实验室的笼子里共有１00只小白鼠，现从中抽取１０只作试验用.下列两种情况是否属于简单随机抽样？请说明理由.（１）每次不经任何挑选地抓一只，抓满１０只为止；（２）将笼中的１00只小白鼠按１~100编号，任意选出编号范围内的１０个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠.解：（１）属于简单随机抽样；（２）属于简单随机抽样.理由：（１）（２）都满足简单随机抽样的四个特征：①有限性；②逐个抽取；③不放回；④等可能性.练习课本177页问题1：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？分析：在这个抽样中，总体、个体、变量分别是什么？总体是树人中学全部高一年级的学生；个体是每一位学生；我们可以对高一年级进行简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高.变量是学生的身高.实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．给712名同学从1到712进行编号用小纸片（卡片、小球等）制作编号为1到712的号签（共712个）将712个号签放在一个不透明的盒里，搅拌均匀从中盒中不放回地逐个抽取n个号签抽足与号签上的编号对应的学生进入样本抽签法的一般步骤：(1)将总体中的N个个体编号；(2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上;(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；(4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽出n次；（总体个数N，样本容量n）(5)将总体中与抽到的号签编号一致的n个个体取出.归纳总结优点：简单易行，当总体个数不多时,号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时,号签很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形你认为抽签法有什么优点和缺点?当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？高一某班有50名同学，现从中抽出8名同学去参加一个座谈会，每位同学的机会均等．请你设计一个抽样方法，并说明其合理性．因为这样的抽取方法使得大家的机会是均等的，因此抽取结果也非常合理．练习解：（1）将50名同学的学号作为编号；（2）将这50名同学的学号写在小纸条上，揉成小球作为号签；（3）将这些小球放在不透明的的袋子中，并搅拌均匀；（4）从袋子中逐个不放回地抽取8个号签；（5）将总体中与抽到的号签编号对应的8名学生取出作为样本.先给712名学生编号，例如1~712进行编号；用随机数工具产生1~712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；

重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数．（注：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新产生随机数，直到抽足样本所需要的人数）．

上述的简单随机抽样的方法即为随机数法．随机数法随机数法的步骤：（１）编号：将总体中的所有个体编号；（２）选号：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数；（３）取样：把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．随机数法一般适用于总体中个体数较多的情形随机数法的产生：1.用随机试验生成随机数准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中；从袋中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位随机数；

如果这个三位数在1～712范围内，就代表对应编号的学生被抽中，否则舍弃编号.这样产生的随机数可能会有重复．2.用信息技术生成随机数（１）用计算器生成随机数，调出生成随机数的函数为：（２）用电子表格软件生成随机数：（３）用R统计软件生成随机数：当总体容量较小时，选择抽签法；当总体容量较大时，选择随机数法．在重复试验中，试验次数越多，频率越接近概率的可能性越大．与此相似，用简单随机抽样的方法抽取样本，样本量越大，结果越准确．一般来说，样本量大的要比样本量小的好，增加样本量可以较好地提高估计的效果．但在实际情况中，样本量会导致人力、费用、时间等成本的增加．因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不一定是越大越好．思考５：对比抽签法与随机数法，如何选取合适的方法？思考６：用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？练习课本177页课本177页1.下列5个抽样中,简单随机抽样的个数是(

)①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;②仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;③某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作;④一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签;⑤箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出1个零件进行质量检验后,再把它放回箱子里.A.0 B.1 C.2 D.3随堂检测解析：根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样,虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③不是简单随机抽样,因为50名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.④是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.⑤不是简单随机抽样,因为它是有放回的抽样.综上,只有④是简单随机抽样.答案：Ｂ7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

01983204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481４.2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京市和张家口市联合举行,这是中国历史上第一次举办冬季奥运会.组委会计划从某高校报名的20名志愿者中选取5人组成奥运志愿小组,请用抽签法设计抽样方案.解:(1)将20名志愿者编号,号码分别是01,02,…,20;(2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上,揉成团,制成号签;(3)将所得号签放在一个不透明的袋子中,并搅拌均匀;(4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签,并记录下上面的号码;(5)所得号码对应的志愿者就是奥运志愿小组的成员.

抽签法随机数表法步骤①将总体中的个体编号为1~N;②将所有编号1~N写在形状、大小相同的号签上;③将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀;④从