上海市杨浦区2024届高三年级上册模拟质量调研数学试题（含答案解析）

上海市杨浦区2024届高三上学期模拟质量调研数学试题

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一、填空题

1.已知全集为R,集合/=（2,内），则A的补集可用区间表示为.

2.若复数z满足iz=-2+i（其中i为虚数单位），则匕|=.

3

3.若sina=《，则cos2a=.

4.函数>=|x-3|+|5-x|的最小值为.

5.等差数列｛%｝中，若q+。2=6,々+。3=1。，则｛。“｝的前10项和为.

6.若椭圆q+/=l（a>l）长轴长为4,则其离心率为.

7.已知向量£=（3,0）,^（-2,273）,则石在々方向上的投影为.

8.甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8,两人各射击一次，假设

事件“甲命中”与“乙命中''是独立的，则至少一人命中目标的概率为.

9.已知（1+工广+（1+幻”=旬+平+/4+-+7+/"+"（相、〃为正整数）对任意实数x

都成立，若4=12,则出的最小值为.

10.函数y（x）=cos（吸+夕）°e（O,2兀）在xeR上是单调增函数，且图像关于原点对称,

则满足条件的数对（。,e）=.

11.已知抛物线/=2px（p>0）的焦点为尸，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满

足忸尸司=4,|”|=4亚.若线段”中点的纵坐标为4,则抛物线的方程

为.

12.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（bie）腌（nao）”的几何体，

它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，

所组成的四面体中“鳖01”的个数是.

二、单选题

13.已知实数。，6满足a>6,则下列不等式恒成立的是（）

223｝

A.a>bB.a>bC.同>例D.a-'>b~'

试卷第1页，共4页

14.在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、...、

10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4.........10.1,如下茎叶图所示.从这组数据来看，下

列说法正确的是（）

甲乙

857

97783467

6492459

94310

A.甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定B.甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定

C.甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定D.乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定

15.等比数列｛%｝的首项%=±,公比为0,数列也｝满足2=108.5%（〃是正整数）,

若当且仅当〃=4时，｛勾｝的前〃项和纥取得最大值，则q取值范围是（）

A.（3,273）B.（3,4）C.（2A/2,4）D.（2后,3&）

16.函数了=/（尤）满足：对于任意xeR都有/卜）=/（底），（常数a＞0,awl）.给出

以下两个命题：①无论。取何值，函数了=/（x）不是（0,+的上的严格增函数；②当

0＜。＜1时，存在无穷多个开区间乙/，…,/”…，使得An/2n……，且集合

｛引V=/（x）,xe/,｝=｛y|y=/（x）,xe/"+J对任意正整数”者B成立，则（）

A.①②都正确B.①正确②不正确C.①不正确②正确D.①②都不正确

三、解答题

17.如图所示，在四棱锥P-48CD中，PAV^^ABCD,底面48CD是正方形.

（1）求证：平面PAD_L平面以C；

Q

（2）设48=2,若四棱锥尸-N8CD的体积为求点A到平面的距离.

试卷第2页，共4页

18.设函数/（%）=e“,XGR.

⑴求方程（Y（X））2=/（X）+2的实数解；

（2）若不等式x+6（/（x）对于一切xeR都成立，求实数6的取值范围.

19.某数学建模小组研究挡雨棚（图1）,将它抽象为柱体（图2）,底面/3C与4瓦G

全等且所在平面平行，“8C与△/4G各边表示挡雨棚支架，支架/4、BB\、CG垂

JT77

直于平面雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为:（即4。8=:），挡雨棚

66

有效遮挡的区域为矩形4400（。、已分别在C4、£4延长线上）.

图1图2图3“

（1）挡南板（曲面的面积可以视为曲线段BC与线段34长的乘积.已知04=1.5

米，/C=0.3米，=2米，小组成员对曲线段3c有两种假设，分别为：①其为直线

段且乙4c2=5；②其为以O为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精

确到0.1平方米）；

7T

（2）小组拟自制”3C部分的支架用于测试（图3）,其中NC=0.6米，ZABC=-,

ZCAB=0,其中;<8<W，求有效遮挡区域高。/的最大值.

62

22

20.已知双曲线「：?一色=1,/（2,2）是双曲线「上一点.

（1）若椭圆C以双曲线「的顶点为焦点，长轴长为46，求椭圆C的标准方程；

⑵设尸是第一象限中双曲线「渐近线上一点，。是双曲线「上一点，且刀=而，求

△尸。。的面积S（。为坐标原点）；

（3）当直线/：y=-4x+m（常数加eR）与双曲线「的左支交于M、N两点时，分别记

直线//、NN的斜率为左、k2,求证：占+能为定值.

试卷第3页，共4页

21.设函数〃x)=x+/sin:,xeR(其中常数"R,">0),无穷数列｛4｝满足:

首项q>0,4+1=/(%).

⑴判断函数y=〃x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若数列｛6｝是严格增数列，求证：当2<4时，数列｛%｝不是等差数列；

(3)当4=8时，数列｛%｝是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的

值；若不可能，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.(f,2]

【分析】根据补集的概念直接求解出结果.

【详解】因为全集为R,集合/=(2,+8),

所以7=(-*2],

故答案为:(f2].

2.垂)

【分析】计算z=l+2i,再计算模长得到答案.

【详解】iz=-2+i,则z=[^=l+2i,故⑸=々+22=收

故答案为：V5

3.—

25

【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.

【详解】cos2a=1-2sin2a=1-2x.

故答案为：焉.

4.2

【分析】将函数写成分段函数形式，再结合分段函数的单调性，可得最小值.

-2x+8,x<3

【详解】由已知了=|尤-3|+|5-尤|=卜34尤<5,

2x-8,x>5

所以当xe(-%3)时，函数>=,一3|+|5-X单调递减，且y>2,

当xe[5,+s)时，函数y=|x_3|+|5_x|单调递增，且yN2,

当xe[3,5)时，y=|x-3|+|5-x|=2,

所以函数〉=归-3|+|5-司的最小值为2,

故答案为：2.

5.110

答案第1页，共12页

【分析】根据等差数列公式得到q="=2,再求和即可.

【详解】等差数列｛%｝,%+。2=2%+1=6,4+。3=勿1+纭=10，解得q=d=2,

故氏=2〃，则｛%｝的前10项和为品)=10%+四(^^=20+90=110.

故答案为：110.

【分析】根据长轴长确定。=2,计算c=6,得到离心率.

2

【详解】椭圆会+/=1(。＞1)长轴长为4,即2a=4,a=2,°=而二1=3

故答案为:

7.-2

【分析】直接利用向量的投影公式计算即可.

【详解】向量£=(3,0),6=(-2,2>/3),

a-b-63

则石在工方向上的投影为可=3=一2

H3

故答案为：-2

8.0.94/——

50

【分析】利用独立事件的乘法公式分别求出“仅有一人命中目标”的概率和“两人同时命中目

标”的概率，即可得出结果.

【详解】根据题意可知“至少一人命中目标”包括“仅有一人命中目标”和“两人同时命中目标”

两个基本事件；

可得“仅有一人命中目标”的概率为4=(1-0.7)x0.8+0.7x(l-0.8)=038；

“两人同时命中目标”的概率为巴=0.7x0.8=0.56；

所以至少一人命中目标的概率为尸=4+4=0.94.

故答案为：0.94

9.30

答案第2页，共12页

【分析】由题得%=q+c；=加+〃=i2,4=c,+a，根据组合数公式和基本不等式即可求解.

【详解】％=C：+C；=加+〃=12,

2万2m(m~1)-m2+n2-(m+n)m2+n2-12m2+H1,

02=C/n+Cn=।===6

2加〃22222

_(m+n)2-2mn/122-2mn,“

--------------6=---------6=66-mn,

22

因为相+〃=1222痂？，所以加＜36,当且仅当加=〃=6时等号成立，

所以。2=66-加〃230,出的最小值为30,

故答案为：30.

【分析】由函数在R上单调增得出。=0,再由函数图像关于原点对称得出/(x)=coso=0,

即可得出答案.

【详解】当0/0时，/(x)=cos(m+e)夕＜0,2兀)在xeR上必有增有减，不合题意，

故。=0,此时〃x)=cos?夕40,2兀)，为常值函数，由其图像关于原点对称，

所以/(x)=cos0=0,所以夕二卷或写，故满足条件的数对为(0卷］,(0,2，

故答案为：1。，》。，为

11.y2=8x

【分析】先根据焦半径公式得到再,力的关系，然后根据弦长公式求解出人.，结合两点间斜

率公式以及点在抛物线上求解出P的值，则抛物线方程可求.

【详解】设/(国,凶),川与％)，

答案第3页，共12页

因为忸尸|-卜可=4,

所以（马+金-1+gj=4,所以Xz-X]=4,

又因为|/理=J1+磕x卜一刃=4逝,所以心=1，

因为48都在第一象限，所以3=1,

k「％一%%一%2P1

M

又因为x2-Xjy\yiyt+y2且M+%=4X2=8,

2p2p

所以功=8,所以p=4,所以抛物线方程为V=8x,

故答案为：_/=8x.

12.24

【分析】先以平面ZHCD为基准，在平面A8CD内取三点4B、C,然后判断一次一共可

以确定多少个“鳖（bie）li（nao）”，然后类比推理，将重复计算的舍去即可.

【详解】（1）

如图以平面/BCD为基准，在平面NBCD内取三点4B、C,显然（1）（2）合题意，（3）

（4）不合题意，同理，将4B、C换成4B、D,D、B、C,4D、C,各能找到两个鳌

（bie）席（nao）”,所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖（bid）席（nao）",

共有6个面，所以可确定6x8=48个“鳖（bie）席（nAo）但上图（1）在以平面48/百为

基准时又被算了一次，图（2）在以平面8C4c为基准时又被算了一次，所以每一种情况都

被重复计算了一次，故共能确定三=24个“鳖（bie）席（nao）

2

故答案为：24.

答案第4页，共12页

13.B

【分析】根据函数的性质判断即可.

【详解】因为/（x）=x2j（x）=|x|是定义在R上的偶函数,

所以当实数。力满足a>b时，问〉同不一定成立，故A,C不符合题意;

因为/（力=尤3是定义在R上单调递增的奇函数，

所以当实数满足时，则/>〃，故B符合题意;

因为/（》）=”在（-00,。）［。,"^）上单调递减,

所以当实数。,6满足时，不一定成立，不符合题意.

故选：B.

【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带

特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大

小.对于选择题我们一般采用排除法.

14.B

【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案.

7.5+7.8+8.7+8.7+8.9+9.4+9.6+10.3+10.4+10.9小

【详解】甲的平均值为:-9n.22,

10

中1vl士辛1(7.5-9.22)2+(7.8-9.22f+•••+/109_922j

甲的万差为：------->----------』----------------->—BI.12

10

,,8.3+8.4+8.6+8.7+9.2+9.4+9.5+9.9+10.1+10.1

乙的平均值为：-------------------------------------------=9.22,

乙的方差为：--9.22/+(84-9.22"…+Q。」-9.22JO43.

10

故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定

故选：B

15.C

..|Z>>0

【分析】求出｛勾｝的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出；4，代入通项

।a<u

公式即可求解.

【详解】

答案第5页，共12页

nl

b,,=log05an=log05(%・q"7)=log05log05q=6+£-1)og05»log05^+6-log05q

所以也}是以4=6为首项，d=log05q为公差的等差数列，

若当且仅当〃=4时，{2}的前〃项和8"取得最大值，

也>016+3四小q>0bgo.54>2logos4>logo.50-5

所以4n043nl3

H<016+4log,5q<0|log0,q<--Eg。$q<^05^

_3

=0.5「5<”0.5-2即，242Vq<4,

故选：c.

16.A

【分析】对于①，由题得/(1)=/(。)，然后反证法推出矛盾即可；对于②令乙=(0,1),然

后根据/(无)=/(箱)分别得出，2,…，&…，判断为正确.

【详解】对于①：由题得/⑴=/(。)，若函数了=/(x)是(0,+的上的严格增函数，因为a>0,

"1,则当a>l时，/(!)</(«),当0<a<l时，均与矛盾，所

以无论。取何值，函数7=/(x)不是(0,+。)上的严格增函数，故①正确；

对于②：因为对于任意xeR都有/(x)=/(a),令乙=(0,1),当xe人=(0,1)时，

e(a,l)=Z2(=(0,l),且{y|y=/(x),xe/|}={j|y^f(x),xel2},

xa

当xw/?=(a,l)时，ae(a,a)=13d2,且{y|y=f(x),xel2]={y|y=f(x),xel3},

当％E/3=Qq")时，疝£(4"",4。)=/4匚，3,且

[y\y^f(x),xel3}^{y|y=/(x),xe/4},

以此类推，故当0<。<1时，存在无穷多个开区间乙/，…，&…，使得…•••,

且集合{My=/(x),xe/„}={y|y=/(x),xe/用}对任意正整数"都成立，故②正确，

故选：A.

17.(1)证明见解析

3

答案第6页，共12页

【分析】(1)先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；

(2)利用等体积法求解即可.

【详解】(1)因为平面48cu平面/BCD,

所以尸N_L8D，

因为底面N8CD是正方形，所以

又P/c/C=4尸4/Cu平面&C,

所以8D工平面R4C,又平面尸BD,

所以平面尸8。_L平面融C.

O

(2)因为四棱锥尸-4BCD的体积为§,AB=2

1O

所以七一祖8=§*/4,尸/=§,解得p/=2,

又4B,4Du平面48CD,所以尸/_LN8,PN_L/。，

所以%=PD=dP4+Aa=V4+4=142，BD=y[2AB=272,

所以正三角形面积为以网0=%D2=28，

设点A到平面PBD的距离为〃，

则由七一ABD=^A-PBD可得：~P4'S2BD=/XPBD，

即2X、22=26/Z,解得人巫

23

即点A到平面PBD的距离为友.

3

18.(I)ln2

⑵Hl

【分析】(1)转化为关于e*的一元二次方程求解即可；

(2)分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.

【详解】⑴由〃x)=e，知，方程(/(x)y=/(x)+2为(eT=e'2,

即3-2乂/+1)=0,

解得e"=2,即x=ln2.

(2)不等式、+6V〃x)即x+6W

答案第7页，共12页

原不等式可化为6We，-x对于一切xeR都成立，

令g(x)=ev-x,则g'(x)=e%-1,

当x>0时，g'(x)>0,当x<0时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在(-巩0)上递减，在(0,+功上递增,

故当x=0时，(女M=8(0)=1,

所以bVl.

19.(1)①1.2平方米②1.9平方米

(2)0.3米

【分析】(1)分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解;

(2)根据正弦定理求出0/,再由三角恒等变换求最大值即可得解.

【详解】(1)①其为直线段且=1时，NC=0.3米，

TT

所以在中，AC=BCcos-,即5C=2ZC=0.6(米).

3

所以S=5C/2]=0-6X2=1.2(平方米)；

②其为以。为圆心的圆弧时，此时圆的半径为04+40=1.8(米),

717T37r

圆心角4403=g所以圆弧8C的长/=1.8x4=三，

6610

37T

所以S=/4月=>441=2x正。1.9（平方米）

7T

（2）由题意，AB=ACcos0=0.6cos0,Z-ABO=0—,

6

OAAB

由正弦定理可得：

即OA=1.2cos0sin^-^-j=1.2cos6—sin0--cos0=1.2-sin0cos0--cos20

22

=0.6|—sin26>--cos26>--|=O.6sinf26>--Ko.3,其中工<8〈q，

、222]\6J62

TTTT7T

当2。-巴=1，即6=小时，041a、=0-6-0-3=0.3（米）.

623

即有效遮挡区域高OA的最大值为0.3米.

答案第8页，共12页

22

20.(l)Ul

129

9

⑵5

(3)证明见解析

【分析】(1)先确定双曲线的顶点坐标，由此求解出c的值，结合。的值可求下,/,则椭圆

方程可求;

(2)先设出尸点坐标，然后表示出。点坐标，将。点坐标代入双曲线可求尸,0坐标，计算

出\OP\以及。到OP的距离则S可求;

(3)设出坐标，联立直线与双曲线得到对应韦达定理形式，然后将左+e表示为坐标

形式，结合韦达定理完成证明.

22

【详解】(I)因为双曲线的方程为_=1,所以双曲线的左右顶点为(土内,0)

r2

设椭圆方程为9=l(a>6>0),所以2a=c=,

b2

a2=12v2v2

所以6-9,所以椭圆。的标准方程为方卜1；

(2)因为双曲线的渐近线方程为＞=±2x,不妨设尸&2。。＞0),

x^—2=2—t

又⑸=而，所以ye-2=2-2f所以°(4一，4一2。,

9

又因为。是双曲线「上一点，所以(4一疗_(4一2＞=1,解得/=“

312

答案第9页，共12页

y=-4x+m

联立:x2y2可得12/一8加x+/+12=0,

------二1

〔312

*28m2mm+12

所以//=TT--——，再/=------

1231212

222

_aA=64m-4xl2x(m+12)>0,gpm>36,

__2m

又因为M,N为左支上两点，所以西+%=m<0,所以加<一6,

必-2+/22_-4项+加-2।-4X2+m-2_-4^+8+m-10—4x>+8+777—10

所以左+左2=卜X-2，

再一2%―2$-2x?一2X]—22

77o加一10m-100/1八、再+工2-4

所以4+左2=—8+——+——=-8+(m-l0)x

/"^2Lx{x2—2(玉+x2)+4，

2m.)

-4j(%6

伍

所以左+&=-8+(m-10)x根2+]23--------------=-8+—10*

c2mA'r

-2x——+4

12312

所以《i+左2=-8+8=0,

所以左+左2为定值0.

答案第10页，共12页

【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与双曲线性质的综合运用，其中涉及共焦点问题、三角形

面积问题以及定值问题，难度较大.解答本题第三问定值问题的关键在于：利用联立思想得

到的坐标的韦达定理形式去化简勺+勺.

21.(1)奇函数，理由见解析

(2)见解析

(3)存在公比为负数的无穷等比数列｛%｝，其公比只能是-1

【分析】(1)利用奇偶性的定义即可判定;

(2)反证法，假设假设数列缶“｝是等差数列，公差为d,然后结合等差数列的性质推出矛

盾；

(3)根据递推关系得到巴与乡的关系，讨论公比与-1的大小关系，然后根据等比数列的性

质即可得出答案.

【详解】(1)任取xeR,都有/(-x)=-x+/sinsin(羡