2023年新高考数学大一轮复习 直线的方程(解析版)

专题33直线的方程

【考点预测】

知识点一：直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角

若直线/与X轴相交，则以X轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称为直线/的倾

斜角，通常用a,月，7,.•表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围ae[0,式）

2.直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则a的正切值称为直线的斜率，记为左=tane

（1）当。=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相

联系）

（4）闪越大，直线越陡峭

（5）倾斜角a与斜率％的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大；

当左＜0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角上随的增大而减小；

3.过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，4（芯，％）,B（X2,y2）^!\k=———

一一x2-Xj

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若者=々，则直线M的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4.三点共线.

两直线AB,AC的斜率相等-A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线，则直线AB,AC的斜

率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

知识点二：直线的方程

1.直线的截距

若直线/与坐标轴分别交于（a,0）,（0,6）,则称a,6分别为直线/的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为

与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

2.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-yi=k(x-xl)不含垂直于X轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—y二％一.

两点式不含直线x=X］（Fw%2）和直线y=X（MW%）

%—%々一%

x

截距式+y-]不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B2^0)

3.求曲目1（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两

个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利

用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4.线段中点坐标公式

若点片，巴的坐标分别为（不，%），（%,%）且线段4上的中点M的坐标为（x，y），则,2，此

U2

公式为线段的中点坐标公式.

5.两直线的夹角公式

若直线y+4与直线，=人了+仇的夹角为口，则tana=\.

1+勺左2

【题型归纳目录】

题型一：倾斜角与斜率的计算

题型二：三点共线问题

题型三：过定点的直线与线段相交问题

题型四：直线的方程

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

题型六：两直线的夹角问题

题型七：直线过定点问题

题型八：轨迹方程

题型九：中点公式

【典例例题】

题型一：倾斜角与斜率的计算

例1.（2022・全国•高三专题练习）求经过AQ%3）（其中mNi）、3（1,2）两点的直线的倾斜角a的取值范围.

【解析】由题意，当m=1时，倾斜角cr=9O。，

3-21

当相>1时，tana=--=-->0,即倾斜角a为锐角；

m-1m-1

综上得：0<aW90°.

例2.（2022•全国•高三专题练习）过点41,2）、8（-1,0）的直线的倾斜角为（）

A.45°B.135°C.1D.-1

【答案】A

2-0

【解析】过A、2的斜率为左=厂\=1,则该直线的倾斜角为45。，

一（-1）

故选：A.

24

例3.（2022•全国•高三专题练习）若sin9=不，且。为第二象限角，则角。的终边落在直线（）上.

A.24x—7y=0B.24x+7y=0C.7无+24y=0D.7x—24y=0

【答案】B

【解析】由，为第二象限角可得cosO=Jl/2[=-N,则tan，=T=一二，

\（25）25cos07

贝U角，的终边落在直线y=一2半4x即24x+7y=0上.

故选：B.

例4.（2022・全国•高三专题练习）如图，设直线4，4，4的斜率分别为K，匕,k3,则《，k2,匕的大小

关系为（）

A.匕<&<左3B.kx<k3<k:

C.k2<kx<fcD.k3<k2<kx

【答案】A

【解析】由斜率的定义可知，K<k2<k3.

故选:A.

例5.（2022.全国•高三专题练习）若一次函数>=-2%+1所表示直线的倾斜角为a,则sin2a+cos?2的值为

【答案】D

【解析】>=一2%+1的斜率为左=一2即tana=-2

2sinacosa+cosa2tana+13

sin2a+cosa=

sin2or+cos2atani+l5

故选：D.

例6.（2022•全国•高三专题练习）设直线/的斜率为k,且-百〈后Wl,则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

【答案】A

【解析】因为直线/的斜率为上且-相〈后41,

-73<tana<1,因为。€[0,兀），

/.ae

故选：A.

例7.（2022•全国•高三专题练习）已知直线/的方程为％sina+Gy-l=。,a£R，则直线/的倾斜角范围是（

5乃

B.c万5万

6

71

D.0,—U——、兀

33

【解析】由直线/的方程为xsina+gy—l=0,

sina1

所以y=一丁+京,

sincc

即直线的斜率左=一P“，由一IVsinaWl.

所以一当女话,又直线的倾斜角的取值范围为［00,

TT、5冗兀\

由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为0,三—.

666/

故选：B

IT

例8.⑵22.全国.高三专题练习）设直线/的方程是­=。倾斜角为a.若不<&<7则5的取值范

围是（

A.

/

D.—oo,—U（l,+8）

【答案】B

【解析】.直线/的方程是x+8y-4=0倾斜角为a,

jr

当a二一时,直线/的斜率不存在，则8=0；

2

1

当Y时,tana=----

B

,贝Utana=—■—>,求得—fi<B<0；

62B3

rr37r1

若一<a<—,贝|Jtana=——<-1,求得0v5Vl.

24B

综上可得，3的取值范围为上月,1）

故选：B.

例9.（多选题）（2022.全国・高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（

A.若直线的倾斜角为0,贝Usin”0

B.直线的倾斜角。的取值范围为。（万

C.若一条直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tan。

D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为。

【答案】ACD

【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是[0中），即。所以sinONO,

7T

当0中3时直线的斜率左=tanO,故A、C均错误；B正确；

对于D：若直线的斜率％=tanq=6,此时直线的倾斜角为故D错误；

故选：ACD

例10.（2022・全国•高三专题练习）己知直线/经过点（2,1）,，加+：-2]两点，则直线/的斜率为；

若机>0,则直线/的倾斜角。的取值范围为.

【答案】-加-工+3忖0°轰以45°或90°<6<180°}.

【解析】由题易知直线/的斜率存在，故6*90°.

|__2|_]2।]

则m）_（r1K1r当且仅当即根=»。时,等

k—tanu-----------j——-------------=-IYYI-\—l+3=_Iy/in—-；=I+1,,1sjrn

号成立.

所以0°嬲45°或90。<8<180。，即直线/的倾斜角。的取值范围是忖o°娜45°或90°<6<180°}.

故答案为：—m--+3；{^|0°W45°或90°<6<180°}.

例11.（2022.全国•高三专题练习）若直线y=3x的倾斜角为小则sin2a的值为.

3

【答案】I

【解析】由题可知，tana=3,a«0,万）,

e.cc.2sinacosa2tancr2x363

贝I]sin2a=2sinorcosa=——z----------=——?-----------=——=——=一.

sina+cosatan«+l3+1105

3

故答案为：—.

【方法技巧与总结】

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式左=y"，根据该公式求出经过两点

尤1一尤2

的直线斜率，当玉=々,“二当时，直线的斜率不存在，倾斜角为90，求斜率可用人=tana©#90）,其中a

为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割.牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率

要谨记，存在与否要讨论”.这可通过画正切函数在上的图像来认识.

题型二：三点共线问题

例12.(2022・全国•高三专题练习)若三点4(2,2),8(°,0),C(0,6)共线，则。的值为

【答案】3

【解析】由三点12,2),点氏0),。(0,6)共线

故故=

故答案为：3.

例13.(2022•全国•高三专题练习)若4-2,3),8(3,-2),C(”)三点共线，则，”=()

A.—B.—C.—2D.2

22

【答案】A

【解析】由于A(-2,3)、5(3,-2),C(g,附三点共线，

3+2_m-3

则心8=心—即一2-3一l上,，解得加=亍

2

故选：A.

例14.(2022•北京•高三期末)已知4(4,8)、3(2,4)、C(3,y)三点共线，则V的值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

利用KB=Kc可得出关于>的等式，由此可求得实数y的值.

【详解】

由于4(4,8)、3(2,4)、C(3,y)三点共线，贝UL=L，即^=/，解得了=6・

故选：C.

【方法技巧与总结】

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上

任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.

题型三：过定点的直线与线段相交问题

例15.(2022.全国•高三专题练习)经过点P(O,-1)作直线/,且直线/与连接点A。,-2),3(2/)的线段总有

公共点，求直线/的倾斜角a和斜率k的取值范围.

【解析】因为％=一2一（”=一1,⑥B=V二2=1,由/与线段A3相交,

1—02—U

所以OWtanaWl或一lVtana<0,

由于；y=tanx在呜）及g乃均为增函数，

-%]「3万、

所以直线/的倾斜角a的范围为：0,7u二-，万.

L4jL4）

一7]「3%）

故倾斜角的范围为0,-u丁/,斜率左的范围是-I〈心1.

L4jL4）

例16.（2022・全国•高三专题练习）已知直线/：（根+3）x+（根一2），一加一2=0,点A（-2,-1）,3（2,-2）,若

直线/与线段A3相交，则加的取值范围为（）

3

A.(―00,—4]u[4,+8)B.(—2,2)C.[——,8]D.(4,+oo)

2

【答案】C

【解析】直线/方程变形得:(x+y—1)机+(3%—2y—2)=0.

_4

x+，T=°得rm

由・•・直线/恒过点。

3%-2,-2=0

113

由图可知直线/的斜率上的取值范围为：k<--^k>-9

m+3

又左=—

m-2

m+311_p.m+33口门八八一3八

..------<---或------>—,艮2<加<8或——<m<2,

m-26m-272

4

又机=2时直线的方程为冗=不，仍与线段A石相交,

3

・••加的取值范围为-展8

故选：C.

例17.(2022・陕西西安中学高三阶段练习(理))已知点〃伍，儿)在直线力+，+2=0上,且满足/〉为-1,

则口的取值范围为.

%

【答案】(一8,-3)(—―,+°0)

【解析】如图，作出直线3x+y+2=0及x-y+l=O,它们的交点为A(_3=1),

44

直线3x+y+2=。上满足无>>-1的点在A点右下方，

],

%=4=一1，又直线3x+y+2=°的斜率为一3，-=k0M,

_33%

~4

由图可得20M的范围是(-00,-3).(-§,+00).

故答案为：(-°0,-3)§,+oo).

例18.（2022.全国•高三专题练习）已知A（2,4）,8（3,3）,点网函是线段AB（包括端点）上的动点，则亍

的取值范围是.

【答案】"，2]

【解析】设则左可以看成过点尸（。，与与坐标原点。的直线的斜率.

a

当点尸在线段AB上由B点运动到A点时，直线OP的斜率由后B增大到后A，如图所示.

又％=3沁-0=1，4—-0=2,所以14发＜2，即b巴的取值范围是口，2].

3-02-0a

故答案为：[,2]

例19.（2022.全国•高三专题练习）点M（x,y）在函数y=2尤+4的图象上，当xe[2,5]时，当的取值范围是

X+1

【答案】B

【解析】因为点"（x，y）在函数＞=2无+4的图象上,

所以％=2时，y=8；当兀=5时，y=14；

故设42,8),4(5,14)

而安可看作函数y=2x+4的图象上的点与点P(-1,-2)连线的斜率，

故xe[2,5]时，kPB<^^<kPA,

X+1

而7_107_88-2+yJO

而"乂=牙/P5=W，所以T--TT<W

333x+13

故选：B.

例20.(2022•全国•高三专题练习)已知两点4(2,-3),8(-3,2),直线/过点P(l,l)且与线段A3相交，则

直线/的斜率上的取值范围是()

1133

A.-4<k<一一B.k<-4^k>C.-44k4—D.--<k<4

4444

【答案】B

【解析】如下图示，

由图知：k<^^k>--.

4

故选：B

【方法技巧与总结】

一般地，若已知尸(%,％)，过尸点作垂直于x轴的直线/'，过尸点的任一直线/的斜

率为3则当/'与线段9不相交时，%夹在原A与与B之间；当/'与线段AB相交时，上在%与0的两边•

题型四：直线的方程

例21.(2022・全国•高三专题练习)下列四个命题中真命题有个.

①经过定点尸（七,%）的直线都可以用方程y-%=左（彳％）表示；

②经过任意两点4（4另）,鸟（々，%）的直线都可以用方程（，-乂）（々-%）=（彳-%）（%-乂）表示；

③不经过原点的直线都可以用方程二+；=1表示；

④经过定点（OS）的直线都可以用方程>=依+6表示.

【答案】1

【解析】①由于直线过定点尸（为,%）,当直线斜率存在时，可用方程y-y°=Mx-%）表示，

当直线斜率不存在时，方程是x=M，①不正确；

②当占=当时，经过任意两个不同的点4（%,%）,4（%,%）的直线方程是尤=%，满足方程

（丁一%）（当一%）=（无一玉）（%一%），

当占片马时，经过任意两个不同的点耳（％,X）,£（.，％）的直线的斜率是学三学，

则直线方程是>一整理得（了一刈伍—不）=（%—不）（%—%），②正确；

③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是x=%,不可以用方程2+；=1表示，

ab

当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程土+;=1表示，③不正确；

④当直线斜率不存在时，经过点（。/）的直线方程是x=0,不可以用方程>=依+6表示，

当直线的斜率存在时，经过点（0,6）的直线可以用方程>=依+万表示，④不正确，

所以给定的4个命题中，真命题只有1个.

故答案为：1

例22.（2022.全国•高三专题练习）设直线/过点PQ,2）,在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的

直线I的条数为条.

【答案】3

【解析】当坐标轴截距为0时，设方程为'=履，

将P（l,2）代入y=自得：左=2,所以方程为y=2x；

当坐标轴截距不为0时，设方程为±+：=1,

ab

12,

则有｛〃b,解得：a=b=3,或。=—1力=1,

\a\=\b\

从而方程为x+y=3或y-x=l

所以满足题设的直线/的条数为3条.

故答案为：3

例23.（2022•全国•高三专题练习）己知直线/的倾斜角为60，且经过点（0,1）,则直线/的方程为（）

A.y=#:xB.y=百x-2C.y=6x+1D.y=Qx+3

【答案】C

【解析】由题意知：直线/的斜率为6,则直线/的方程为y=Gx+l.

故选：C.

例24.（2022•全国•高三专题练习）过两点（-2,4）和（4,-1）的直线在y轴上的截距为（）

•14147

A.—B.-----C.-D.—

5533

【答案】C

【解析】由题可知直线方程为：＞+1=??・（*一4）,HPy=-|（x-4）-l,

77

令尸0,则y=y,故直线在y轴上的截距为1.

故选：C.

例25.（2022•全国•高三专题练习）已知直线/过点G（l,-3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（）

A.4x+y+7=0B.2x—3y-11=0C.4%+3y+5=0D.4x+3y-13=0

【答案】C

【解析】由直线的两点式方程可得，

直线/的方程为岩=早7，即4x+3y+5=o.

故选：C.

例26.（2022・江苏•高三专题练习）已知直线/%+4丁+1=0和直线%入+%,+1=。都过点42,1）,则过点

片（％,可）和点2（%屹）的直线方程是（）

A.2无+y+l=0B.2x—y+l=0C.2%+y—1=0D.x+2y+l=0

【答案】A

【解析】把A（2,l）坐标代入两条直线qx+4y+l=0和&x+4y+l=0,得

2%+by+1=0,2%+b?+1=0,

过点片（%4）,4（出也）的直线的方程是：之寸=一^,

y—瓦——2（x—q），则2x+y—（2〃1+Z?J=0,

2%+伉+1—0,2%+4=-1,

••・所求直线方程为：2x+y+l=0.

故选:A.

例27.(2022.全国•高三专题练习)已知直线分+y-2+a=。在两坐标轴上的截距相等，则实数()

A.1B.-1C.-2或1D.2或1

【答案】D

【解析】当a=o时，直线y=2,此时不符合题意，应舍去；

当4=2时，直线/:2x+y=0,在X轴与y轴上的截距均为o,符合题意；

当〃力0且。片2,由直线/：6+>-2+。=0可得：横截距为三，纵截距为2-a.

a

由三=2-a,解得：a=l.

a

故。的值是2或1.

故选：D

例28.(2022.全国•高三专题练习)过点42,-3)且与两坐标轴上的截距相等的直线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

3

【解析】①当直线的两坐标轴上的截距为。时，设直线方程为y=依，由题意有-3=23则左=-］,・••直

3

线方程为〉=-满足条件；

②当直线的两坐标轴上的截距不为。时，设/的方程为±+'=1.把点尸(2,-3)代入直线方程得2+口=1.解

aaaa

得a=—1,从而直线方程为无+y+i=。.

故满足条件的直线方程为x+y+l=0和尸-

故选：B.

例29.(2022.北京西城.高三阶段练习(理))已知直线(2f-3)x+y+5=。不通过第一象限，则实数/的取值

范围__________.

【答案】［，+，］

【解析】

由题意得直线(2-3)》+，+5=0恒过定点(0,-5),且斜率为-(2»-3),

•.•直线(2/-3)x+y+5=0不通过第一象限，

3

.・・—(2-3)<0,解得出申

故实数r的取值范围是

答案：

例30.（2022.全国•高三专题练习）若直线/的方程y=中，而>0,ac<0,则此直线必不经过（）

bb

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由,=—■7%一7，ab>0,ac<0,

bb

知直线斜率％=-£<。，在y轴上截距为-；>。，

bb

所以此直线必不经过第三象限.

故选：C

例31.（2022・福建・莆田二中高三开学考试）直线尤+3+）=0经过第一、二、四象限，则（）

A.tz<0,b<0B.a<0,Z?>0

C.a>0,b<0D.a>0,b>0

【答案】c

【解析】因为直线x+»+6=。经过第一、二、四象限，则该直线的斜率-4<0,可得。>0,

a

b

该直线在y轴上的截距-一>o,可得人<0.

a

故选：C.

例32.（多选题）（2022.全国•高三专题练习）过点A（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）

A.3x-2y=0B.2x-3y=0C.x+y=5D.x-y=-l

【答案】AC

【解析】当截距为0时，过点A（2,3）和原点，直线方程为y=即3%-2y=0,

当截距不为0时，设直线方程为二+上=1,可得工+』=1,

aaaa

：.a=5,所以直线方程为x+y=5,

故选：AC.

例33.（多选题）（2022.全国•高三专题练习）过点尸（2,3）,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（

A.3x-2y=0B.x-y+l=0

C.x+y-5=0D.4x-2y+5=0

【答案】AB

【解析】若直线/过原点，则直线的方程为，=履,

将点尸（2,3）代入得左q3,所以直线方程为》=声3，即3%-2y=0；

若直线/不过原点，根据题意，设直线方程为

aa

将点尸（2,3）代入得a=-l,故直线/的方程为X-y+1=0；

所以直线/的方程为：3x-2y=0或x-y+l=0.

故选：AB.

例34.（2022•全国•高三专题练习）已知直线/的倾斜角为60,且/在V轴上的截距为-1,则直线/的方程为

（）

A.y=--x-lB.y=-^-.x+1

3J3

C.y=yfix-1D.y=-J3x+1

【答案】C

【解析】因为直线/的倾斜角为60,所以直线/的斜率k=tan60=6,

又直线I在y轴上的截距为-1,所以直线/的方程为y=氐-1；

故选：C

【方法技巧与总结】

要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，

尤其是点斜式、斜截式和一般式.

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

例35.（2022•江苏•高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线/：y=Mx-2）+3与坐标轴分别交于点A,B,

则下列选项中错误的是（）

A.存在正实数加使得面积为加的直线/恰有一条

B.存在正实数加使得△。钻面积为加的直线/恰有二条

C.存在正实数加使得△（MB面积为加的直线/恰有三条

D.存在正实数加使得△（MB面积为优的直线/恰有四条

【答案】A

【解析】由题意，直线/：y=Mx-2）+3与x轴、＞轴交点分别为4（2-1,0）,8（0,3-2人），

1319

：.SOAB=-x\2--\x\3-2k\=-x\4k+--12\f作出其图象如图所示，

*2K2K

由图知，当0〈机＜12时，％有两解；当用=12时，%有三解；当相＞12时，々有四解.

故选：A

例36.(2022•全国•高三专题练习)已知过定点直线依-y+4-后=。在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之

和最小，则直线的方程为()

A.x-2y-7=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【解析】直线丘7+4T=o可变为Mx-l)-y+4=0,所以过定点p(l,4),又因为直线辰-y+4-%=。在两

坐标轴上的截距都是正值，可知左＜0,

令元=0产=4一左，所以直线与y轴的交点为4(0,4-左)，

令y=0,x=l-：，所以直线与x轴的交点为

所以4一1+1_[=5+()+1_1)25+2J(—(一q]=5+4=9,

4

当且仅当-左=-7即左=—2时取等，所以此时直线为：2x+y-6=0.

k

故选：C.

例37.(2022・全国•高三专题练习)已知直线/经过点尸(4,3),且与无轴正半轴交于点4与y轴正半轴交

于点B,O为坐标原点.

(1)若点。到直线I的距离为4,求直线I的方程；

(2)求△048面积的最小值.

【解析】】(1)由题意可设直线/的方程为y-3=©x-4),即履一k4左+3=0,

则〃=若号=4,解得左=-(.

7k+124

故直线/的方程为一三7x—y—4X(—三7)+3=。，即7x+24y—100=0；

(2)直线/的方程为丘一丁一4左+3=0,

/31--+4>0

.•.AI--+4,OI,B(0T/+3),依题意k，解得k＜0,

—4左+3>0

1131Q

贝！IOAB的面积为S=券IOA卜|OB1=-(--+4).(^+3)=-(---16A:+24).

则菅*2卬嬴=24（当且仅当时,等号成立）.

故，。18面积的最小值为；x（24+24）=24.

例38.（2022・江苏•高二专题练习）已知点A（0,l）、8（1,1）,设过点P（0,T）的直线/与AQB的边A8交于点

加（其中点〃异于A、8两点），与边08交于N（其中点N异于。、8两点），若设直线/的斜率为％.

⑴试用k来表示点M和N的坐标；

（2）求一OMN的面积S关于直线/的斜率k的函数关系式;

（3）当上为何值时，S取得最大值？并求此最大值.

【解析】（1）由已知得直线/斜率存在，设/：＞=履-1（左＞0）.

由得呜小所以心

y=x

由得N

y=kx—1

1211k-2

(2)S=SAOPM_S/\CPN=-xlx----x1x=—7r(k>i\

940PM4OPN2k2k-l2M"I)'''

(3)设心一2,则r>0.

at1-13-2忘

2(r+2)(r+l)2^+-+3^2(20+3)2，

当且仅当，后n%=0+2时’等号成立.

例39.（2022・湖北孝感・高二期中）己知直线/的方程为无+⑺-加-3=0.点p的坐标为（2,0）.

（1）证明：直线/一定经过第一象限;

（2）设直线/与x轴、y轴分别交于A,B两点，当点P到直线/的距离取得最大值时，求的面积.

【解析】（1）直线/：尤+〃2y—加一3=0,整理可得：x-3+m（y-l）=0,

.•.直线恒过x-3=0和丁-1=0的交点，即直线恒过定点（3,1）在第一象限,

二直线/一定经过第一象限；

（2）由（1）可得：直线恒过定点M（3,1）,

当尸M与/垂直时，P到直线的距离最大，为1PM=J（3_2y+F=应,

1-01

又kpM=-=l，故直线/的斜率为-1，即-一=T，可得〃7=1,

3-2m

直线/的方程为：x+y-4=0,

令y=0得:x=4；令x=0得：y=4,即A(4,0),3(0,4),

A|AB|=742+42=472,

SPAB=1.|AB|.|PM|=|x4V2xV2=4.

例40.(2022・全国•高二专题练习)设直线/的方程为(a+l)x+y+2-a=0(xeR).

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求/的一般式方程；

(2)若/与x轴正半轴的交点为A,与，轴负半轴的交点为3,求-AOB(O为坐标原点)面积的最小值.

【解析】(1)对于直线/的方程为3+1)%+＞+2—〃=0(%£火),

当直线/经过原点时，0+0+2-4=0,求得。=2,此时它的方程为3x+y=o；

当直线/不经过原点时，它的方程即彳+一=纥1,由于它两坐标轴上的截距相等,

a+1。+1

故有。+1=1,求得。=0,它的方程为x+y+2=0,

综上可得，/的一般式方程为3x+y=0,或x+y+2=0.

a—2Az；-9、

(2)因为(a+l)%+y+2—〃=0(xeH),令x=0,贝！Jy=Q—2,令y=0,贝口=----,所以A-,0,B(0,tz-2),

/与1轴正半轴的交点为A,与＞轴负半轴的交点为3,

”的横坐标六B的纵坐标0-2＜。，求得”4

1a-2小、(Q—2)2[—3+3+i)r

所以S.(2-a)=-------—

2a+1-------------2a-2_2・(Q+1)

2

9+(a+1)—6(Q+1)96/+1__I9a+1_/

-----------------------=------------1-------F3..2I------------------F3=6当且仅当a+l=-3时取等号,

-2(a+l)-2(a+l)-252(〃+1)-2

故iAO8(O为坐标原点)面积的最小值为6.

例41.(2022•江苏•高二专题练习)直线4：、=如+1,6：x=-冲+1相交于点尸，其中|叫41.

(1)求证：4、，2分别过定点A、B,并求点A、5的坐标;

(2)求人45尸的面积S；

(3)问加为何值时，S最大？

【解析】(1)在直线4的方程中令x=0可得y=i,则直线乙过定点4(0,1),

在直线6的方程中令y=0可得x=l，则直线6过定点8(1,0)；

1-m

X—

y=mx+l1-mm+1

(2)联立直线4、4的方程,,解得犷即点p

x=—my+1m+1m2+1m2+1

y=2

m+1

BP|=TW〔"昌）=曙T

cL\AP\.\BP\==1"=u_2__11

所以,=2''''2（m2+l）2（m2+l）2.[m2+1

（3）且—IVMWI,因此，当机=0时，S取得最大值，即

例42.（2022,江苏.苏州中学高二期中）已知见,应为实数，过原点。分别作直线4：xcos%+ysin4-l=0,

《：xcosa2+ysin%-l=0的垂线,垂足分别为耳，名.

（1）若%且直线4与X轴、y轴交于A,3两点，当公加?面积最小时，求实数%的值;

（2）若直线乜也过点尸设直线4与4的交点为Q,求证：点。在一条直线上.

【解析】（1）%10,引,sin%w0,cos%w°

直线4:xcosax+ysina{-1=0,

令％=0,y=」一,B（0,—一）,

sinaxsinax

令y=0,x=---,B（---,0）,

cosaxcosax

_111_1

JcAOB~T•—~~Z

2sm%cos/sin2a[

71

0</<—0<2^<TC,

TT

当sin2%=1,%=i时，（5池）3=1，

JT

AQ4B面积最小时，实数内的值为:；

4

11

（2）原点。的直线4距离为/2.2=1，

，cosax+sin%

同理原点。的直线4距离为1，所以44为圆Y+y2=i的切线，

d，凡为切点，直线乜也过点尸&,0）,且直线4与4相交于。,

也不在X轴上，设“1（石,弘）,乜（孙％）,%片。,％工°，

所以直线《化为y-X=-\"(x-X]),整理得中+%y=1,

同理人方程为wx+y2y=1，设4与4的交点为。(%，为)，

所以有占%+%%=1,x2x0+%%=1，

所以直线用也方程为X。尤+%y=l,且过点尸(；,0),

二；无0=1,%=2,即点。在直线x=2上.

例43.(2022•江苏•高二课时练习)过点尸(1,2)作直线/分别与x,y轴正半轴交于点A,B.

(1)若&AOB是等腰直角三角形，求直线I的方程；

(2)对于①|。4|+|0/最小，②AO3面积最小，若选择作为条件，求直线/的方程.

【解析】(1)因为过点尸(1,2)作直线/分别与x,y轴正半轴交于点4、8,旦AO3是等腰直角三角形，

所以直线/的倾斜角为3冲兀，

4