2024届高考数学复习：历年真题、好题专项 数列求和 练习（附答案）

2024届高考数学复习：精选历年真题'好题专项(数列求和)练习

一.基础小题练透篇

1.[2023•贵州省六校联盟高三联考]若数列｛斯｝满足田=2,a“+a,+i+a“+2=2(〃GN*),

则其前2023项和为()

A.1360B.1358C.1350D.1348

2.记Sn为数列｛斯｝的前〃项和，若。]=1,°2=2,且斯+2—=1+(—1)"।,则S[oo

的值为()

A.5050B.2600C.2550D.2450

3.设数列｛斯｝的前麓项和为冬,若「「9则$99=()

y〃十1十

A.7B.8C.9D.10

［四+2,〃是奇数，

4.已知数列｛。〃｝中，?=口=1，斯+2=1旦/申物则数列｛"〃｝的前20项和为

12斯，〃是偶数，

)

A.1121B.1122C.1123D.1124

4〃2+8〃+5

5.设数列｛。〃｝满足a1=3,-4〃，若bn—，且数列也〃｝的前九项

1

和为s,”则s,=()

A-"(1-6〃+9)-4,2〃

B-3+同

C”(1+帚D.〃(1+高)

6.已知数列｛”“｝满足2°1+2%2H------F2"a“=〃("6N*),数可此唱“?依“/―的前〃项和

为S”则&S2S3••…为=()

A。1±0aB-15

D

C°，1-1Lu-211

7.［2023•山东省潍坊市联考］己知数列｛斯｝满足m=l,即a“+i=2",则数列｛为｝的前

2n项和S2n=.

8.若｛a”｝是等差数列,首项。］>0,009+0oio>O，009，。1oio〈O,则使其刖〃项和S”

>0成立的最大自然数〃是.

二.能力小题提升篇

“2023・湘豫名校联考摸底考试］已知数列｛a”｝是递增的等差数列，6是④与的等比

中项，且做=5.若占=用%+1—丽，则数列｛儿｝的前〃项和S〃=()

A.73〃+2-/B..3〃+5—y/2

C.73.+2~y［5D.<3.+5~y［s

2.［2023•四川省成都市中学考试］已知数列｛斯｝的前n项和S〃满足Sfl=n(4n+

1)(〃GN*),若数列他｝满足“尸空,则我+盒+…+品嬴=()

5052020

A・20212021

皿2021

20228088

3.[2023•黑龙江省大庆铁人中学月考]将等比数列｛乩｝按原顺序分成1项,2项,4项，…，

2"T项的各组，再将公差为2的等差数列｛斯｝的各项依次插入各组之间，得到新数列匕,｝：

b\9(1\,⑦，仇，。2，64，为，bs，b],。3，…，新数列｛c〃｝的刖〃顼和为S〃.若C]=1,。2=2,

13

S3=彳»则$200=()

A.|]72—(£)384B.|130—e)386

384

C.1172一(£)386D.130-(1)

n2

4.[2023•河南省豫南九校联考]已知数列数〃｝的通项公式为an=(—1)(n—n),前n

项和为S〃，则满足S2〃+]W-2023的最小正整数〃的值为()

A.28B.30C.31D.32

5.[2023•江苏省南京高三一模]在等差数列｛许｝中,0=1,前〃项和S”满足攀=”詈，

n=\,2,…，则白+2~\---I-J-=.

»2*>2021-----------

6.[2023•山西省临汾市高三考试]设数列｛斯｝的前〃项和为S”,且。i=l,做〃=斯一1，

〃2〃+1=〃-4”，则Sioo=,

三.高考小题重现篇

1.[2021•浙江卷]已知数列｛〃〃｝满足勾=1,即+1=；心户(〃£>1*).记数列｛斯｝的前n项和

1+、斯

为S〃，则()

A.2vSioo<3B.3<Sioo<4

-99c

C.4<S|oo^D.2vSio()v5

2.[2020•全国卷H]0—l周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列田。2…即…满足

田£｛0,2,…)，且存在正整数处使得4+m=4(i=l,2,…)成立，则称其为0

—1周期序列，并称满足曲〃尸碰2,…)的最小正整数机为这个序列的周期.对于周

1

期为加的0—1序列。阕2…恁…，C(k)=—£。角+4k=T,2,•••,加-1)是描述其性质的重

〃7/=]

要指标.下列周期为5的0—1序列中，满足C/悬伏=1,2,3,4)的序列是()

A.11010-B.11011-

C.10001-D.11001-

3.[全国卷I]几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学

习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面

数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中

第一项是2°,接下来的两项是2°,2',再接下来的三项是2°,21,22,依此类推.求满足如

下条件的最小整数MN>100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码

是()

A.440B.330C.220D.110

4.[2020•浙江卷]我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如

H

数列｛"42)]就是二阶等差数列.数列[〃("£1)｝(〃WN*)的前3项和是.

10

5.[201少全国卷1]记5”为等比数列｛。"｝的前〃项和.若。|=§，%=。6,则$5=

6.[2021•新高考I卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条

对称轴而纸对折，规格为20dmX12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmX12dm,

20dmX6dm两种规格的图形,它们的面积之和S】=240dn?,对折2次共可以得到5dmX12

dm,10dmX6dm,20dm义3dm三种规格的图形，它们的面积之和必=180dn?.以此类推，

则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次，那么isk=

k—\

________dm2.

四.经典大题强化篇

1,2023•河南省十所名校考试］已知数列｛册｝的前〃项和为刃=1,S“+i=4斯.

(1)证明：数歹!］］寻:为等差数列；

(2)求数列｛SJ的前〃项和

2.［2023•湖北省襄阳市部分学校试题］已知数列｛斯｝满足2”1+22敢+…+2%“=〃X2,,+

2-2n+'+2.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)设3"”二+4一,证明：言2H----­

2。〃+］。〃即+］斯+2672”120

参考答案

一基础小题练透篇

1.答案：C

答案解析：:&=2,2+“1+&+2=2,

•・$023=琰+(也+a+2)+(2+a+&)+…+(/021+4022+a023)=dl+674X2

=1350,故选C.

2.答案：B

答案解析：当"为奇数时，a/La“=2,数列｛全一｝是首项为1,公差为2的等差数

列；

当"为偶数时，a„+2-a„=0,数列｛品〃｝是首项为2,公差为0的等差数列，即常数列.

,50X49

贝IIS«)=(ai+aH------Fas)+(a2+a,+-+a,oo)=50+―-—X2+50X2=2600.

3.答案：C

答案解析：因为@“=/招1—y]n+l—\[n,

所以■&=(^2—1)+("\y3-)+…+(^\^99—*\y98)+(yj100-^99)=

亚丽-1=10—1=9,故选C.

4.答案：C

答案解析：由题意可知，数列｛期｝是首项为1,公比为2的等比数列，数列｛期~1｝是首

/19】。)1AXZQ

项为1,公差为2的等差数列，故数列｛4｝的前20项和为———+10X1+——X2

1—ZL

=1123.

5.答案：D

答案解析：由&+i=34—4〃可得用,+[—(2〃+3)=3[&-(2/?+1)],

・.,&=3,Aax-(2X1+1)=0,

则可得数列｛&一(2〃+1)｝为常数列0,即—一(2/7+1)=0,

•・2〃+1,

.4//+8/?+5(2/?+1)(2/?+3)+2

'•=(2〃+1)(2〃+3)=~(2〃+1)(2〃+3)-

2,11

=1+----------------------------=1+-------------------

(2/7+1)(2〃+3)2/?+12/?+3'

(\1,11,,11)

・•・$=〃+上次—/…+市?一赤1

=〃+§-2〃+3=/(1+6/?+9)•

6.答案：C

答案解析：・・・2d+2，+…+2〃&=〃

.•.2a+22a2+…+2"=〃-1(〃22),

・・.2”4=1(〃22),当〃=1时也满足，故,故^----f--------=;—1,)〜皿

2Iog2&log2a+1log22log22

111八1,11,,111n

=：———---------=1——-4-————-4-•••—1-——---------=1——---------=---------

n(n+1)n刀+1''223n〃+1z?+ln+1'

1239101

，S•£•S.........So=-X-X-X•••X—X—=—,选C.

乙o£i1UL111

7.答案：3(2"-1)

答案解析：由&=1,a晶+1=2",得我=2.

•.t^n—1„,,>3nQn-\-12/I—W“+1-

当〃22时，&-1&=2,所以^~=,)〃-]=2,即^=2,

an—1Qn幺3n~l

所以｛a｝的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为

公比的等比数列.

IX(1-2”)2X(1-2”)

则Sln==3X2〃-3=3(2"—1).

1-21-2

8.答案:2018

答案解析：•：等差数列｛&｝中，首项国>0,Q\009+010^>0,句009•句OloVO,

.乂(团+aoi7)

2017=

0090,<31o10V0,公差d<0,贝(I£017=Q20174oo9>0,S018

2018(劭+4018)2018(<3ioo94-3\010)2019(a+选019)

=

=2=2>0,£oi9=22019^1010

<0,故前〃项和S>0成立的最大自然数〃是2018.

二能力小题提升篇

1.答案：A

答案解析：因为数列｛a｝是递增的等差数列，所以数列｛8,｝的公差漆0.

/@2=5f+d=-5

由题意得V2即/I/一八六，

[a3=aian[(旬+24=a(4+10制

解得a=2,d=3或a=5,d=0(舍去)・

所以a=2+3(〃-1)=3/2—1.

所以bn=ylan+1—y[afl=,3〃+2—.3〃-1.

所以Sn=b\+&+&++bn—(*\y5—y[2)++…+

(、3〃+2-yj3n_1)=73〃+2—y[2.

故选A.

2.答案：D

答案解析：5=4〃2+刀，

当〃22时，S—i=4(〃-1)?+〃-1=4;/—7〃+3,

a〃=S—21=8〃—3(〃N2),

当〃=1时，国=5,5=5,ai=5,所以&,=8〃-3,

4+38〃-3+3

4=^-=---=2n.

将11=1・]=11)

又力〃6〃+12/7•2(〃+1)4n(z?+l)4\nn+1J'

+

A&

foo

20212021

X2022=8088,故'»

答案解析：由已知得打=1,<31=2,⑤=C3=W—C】一Q=w，等比数列瓜｝的公比q

_1

4

令0=1+2+22+…+2"-'=2"—1,则冕=63,石=127,%=255,

所以数列｛4｝的前200项中含有数列｛aj的前7项，含有数列｛2｝的前193项，故

i-f-V

W7X61

Soo=（A+灰+…+打93）+（a+/+…+a?）=:~+7X2+--X2=w

1/D

172—d•故选卜.

4.答案：D

2222

答案解析：由题意，得他+产色—广）+（4-3）+-­•+［（2/7）-（2/7-1）1-

（2〃+1）'—［―1+2—3+4—5+,,,+2??—（2/?+1）］

=（2-1）X（1+2）+（4-3）X（3+4）+…+［2〃一（2〃-1）］［（2〃-1）+2〃］-

（2/?+1）②一\_n-（2/?+1）］

=l+2+3+4H-----1-2/7—（2/?+1）2+〃+］=2〃。,即）一（2〃+1）2+〃+1=—

2（//+〃），

2023

由£升三一2023,得一2（，+扬〈一2023,即

2

结合〃七N",解得〃232,故〃的最小值为32.故选D.

小士2021

5・口木：丁的

八m方*S〃4〃+2£4+2句+/24+42+d

答案解析:依就意W1,U:

bn刀十151T+T'=31

“…八、n（〃一1）,n（/?+1）

所以d=l,所以Sn=na［+---d-=----2~~，

2=2（宗舟，

所以

9n（/?+1）

所以!H------I-TT-

Ol0202021

201212022）］

=2+,,•+!

2021

=2（1

20221011.

6.答案：1189

答案解析：因为期=2-1,/#=〃一2,

所以期+期+1=〃-1,

48X49

所以（功+&）+（a+%）+…+（如+颔）=0+1+…+48==1176,

由&〃=4—19丽+1=〃-3/19可得己3=1—功=0,

所以&00=a0—1=/5-2=10-3\2=11-a=12-④=12,

所以Soo=a+（4+&）+（a+8）+…+（须|+由9）+5100

=1+1176+12=1189.

三高考小题重现篇

1.答案：A

aa〃,日

n>

答案解析：:a=1,&+1di}'^0,:・Sioo>a=1.由环，付

l+yl~an

1,1,21.+;.由累

=-++1)2,则

为+ian

〃一1刀+1._________a___P+1

加法可得3=，n

/1+W-=~T~''吁(〃+1)2•-3n+\；/-=

7&]+北2~«+3

/?+7

an,/.—《空!.由累乘法可得aW工、67工一.因此，Soo<1+J+

at,〃+3(z?+l)(〃+2)2

(\111,,11、1,3

6弓与+3飞+…+而一福<1+5+2=3，

口「1

即5VSooV3.

2.答案：C

答案解析：。(1)=!(&/+己28+&d+&a+金/)=三(&己2+全全+&&+出85+选&),

0D

C(2)=7(句次+我国+条m+品注+&5a力=~(4条+生包+义355+5同1+己5d2),

55

C(3)=7(功功+功然+&!,+&&+%&)=7(3ia+&&+a.\a\+功功+&&),

□□

C(4)=7(囱a+改%+&&+&a+主敌)=7(a&+a2ax+)

5□

193

对于A,C(1)=~,C(2)=7,故A不正确；对于B,。(1)=-,故B不正确；

555

21

对于D,C(l)=7,故D不正确；对于C,(7(1)=T,C(2)=0,。(3)=0,C(4)

55

=~,I.C正确.

5

3.答案：A

答案解析：方法一排除法

记$为数列的前N项和，由题意得，数列的前110项为2°,2°,21,2°,21,2°,21,

213,2°,21,22,23,21,所以Su)=2°+(2°+21)+・・・+(20+2,+-+213)+(2°+2!+22

+23+24)=(21-1)+(22-1)+•••+(2I4-1)+(25-1)=(21+22+-+214)-14

+31=2,5+15,这是一个奇数，不可能是2的整数幕，故选项D不正确.同理，£2。=2°+

(2°+21)+・・・+(2°+21+-+219)+(20+21+22+23+-+29)=22,+210-23,这是一个

奇数，不可能是2的整数嘉，故选项C不正确.同理，&o=2°+(2°+2')+…+(2°+21

+-+224)+(2°+21+22+23+24)=226+4,不是2的整数得,故选项B不正确.所以,

正确的选项为A.

方法二不妨设1+(1+2)+…+(1+2+…+2”f)+(1+2+…+2')=2而(其中

加、力、力eN,OWzW)).

则有N="(〒)+1+1,因为A>100,所以〃213.

由等比数列的前〃项和公式可得2什|一〃一2+2田一1=2：

因为〃213,所以2”>〃+2,

所以2”|>2〃+〃+2,即2"1一刀一2>2”，

因为2"|—1>0,

所以所》2小一〃一2>2”,故加2〃+1,

因为2"1一1〈2小一1,所以2"<2-2一〃一3,故辰〃+1.

所以加=〃+1,从而有/?=2”-3,因为〃213,

所以年3.

当1=3时，M=95,不合题意；

当「=4时，2440,满足题意，故所求力的最小值为440.

4.答案：10

答案解析：方法一因为a=〃（；1~，所以£=&+4+念=1+3+6=10.

e、.〃（2+1）n,n"、、，-n(z?+l)(2〃+1)n(z?+l)

万法二因为a~---------=~2+2，所以S=

n124-

n(〃+l)(〃+2)”,3X4X5

'所以s=-g-=10.

6

小4121

5.答案：—

答案解析：通解设等比数列｛4｝的公比为q,因为a；=a,所以（&/）2=aH,所

以&q=l,又ai=1,

所以。=3,所以&=史?二•"'”=-

O

1

优解设等比数列｛a｝的公比为Q,因此为2=条，所以生a=%,所以我=1,又2=鼻,

O

1x(1-35)

&(1一")O121

所以4=3,所以£=

1—(71-33

15(〃+3)

6.答案：5720

答案解析：（1）由对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,20dmX3dm三种

3

规格的图形，所以对折三次的结果有：-X12,5X6,10X3,20X-,共4种不同规格(单

位dm2）；

5533

故对折4次可得到如下规格：-X12,-X6,5X3,10丐,20X-,共5种不同规

格；

（2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论

规格如何，其面积成公比为g的等比数列，首项为120（dm?）,第〃次对折后的图形面积为

120Xe]e,对于第〃次对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为

…工,,/曰x*八120（〃+1）

刀+1种，故皆猜想SR=，

设s=产号^120X3,120X4..120(/7+1)

£s-1-----n----I--4---------；----

k—\

120X2,120X3,,120/7,120(〃+1)

则।Hr„,,-i+

5S—2'7

两式作差得：

\S=240+120&4+…+旬120(〃+1)

2"

(1)

以，2斤120(/?+1)

=240+——

2”

1-2

120120（77+l）120G+3）

=360-^7=360

2n