2014-2023年天津高考真题和模拟题：立体几何与空间向量（解答题）（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(天津卷)

专题10立体几何与空间向量(解答题)

真题汇总

1.【2023年天津卷17］三棱台ABC-4$母1中，l^ABC.AB1AC,AB=AC=AAt=2M1G=1，

M,N分别是BC,84中点.

(1)求证：&N〃平面GMA；

⑵求平面GM4与平面4CG4所成夹角的余弦值;

⑶求点C到平面GM4的距离.

【答案】⑴证明见解析

连接MMG4由M,N分别是的中点，根据中位线性质，MNIIAC,且MN=^=1,

由棱台性质，4G〃/1C，于是MN//4G，由MN=4G=1可知，四边形MN4G是平行四边形，则4N//MG，

又4NC平面GM4,MC]U平面GMA,于是&N//平面GM4

(2)过河作“岳14。，垂足为E,过E作EFJ.4Q,垂足为尸，连接MF,GE.

由MEu面4BC,AXA1面ABC,故A4i1ME,又ME1AC,ACAAr=A,AC,AA1u平面贝l」ME1

平面ACC14.

由4Gu平面4CG41，故MEJ.4G，XEF1ACX,MEOEF=E,ME,EFu平面MEF,于是4cl1平面MEF,

由MFu平面MEF,故4cl1MF.于是平面GM4与平面4CGA所成角即zMFE.

又ME=手=Leos"4G=仁，则sin/CAG=煮故EF=1Xsin"4cl=奈在Rt△MEF中,4MEF=90。,

则MF=Jl+[=-4，

于是COSNMFE=——-

MF3

(3)［方法一：几何法］

过Q作QPJ_4C,垂足为P,作GQ1AM,垂足为Q,连接PQ,PM,过P作PR1GQ,垂足为R.

由题干数据可得，QA=QC=V5.CrM=JCF+PM2=V5.根据勾股定理，GQ=1-gj=当,

由QPJ■平面AMC,AMu平面4MC,则GPJ.4M,又CiQ_L4M,CQCIRP=Q,GQ,QPu平面C/Q,

于是4ML平面QPQ.

乂PRu平面GPQ，则PR14M,又PRJLGQ,C^QQAM=Q,GQ,4Mu平面GM4故PR1平面GM4

在Rt中，PR==4J-=I'

又以=2PA,故点C到平面GAM的距离是P到平面GAM的距离的两倍，

即点C到平面GMA的距离是，

设点C到平面GM4的距离为比

111/r\22

VC「AMC=§xCjPxSLAMC=-x2x-x(V2)=

..1.„1.1/773^2h.

Vc-c.MA=gXhXSAAMQ=3X/IX2XV2X—=-.

由忆-4MC=Kr-CjMAQ3=T即/l=g.

2.【2022年天津卷17】直三棱柱ABC—4181cl中，AAr=AB=AC=2,AAt11AB,。为从当的

中点，£为44i的中点，F为CO的中点.

(1)求证：EF〃平面ABC；

(2)求直线BE与平面CG。所成角的正弦值;

(3)求平面41co与平面CCi。夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵(

⑶包

10

【详解】(1)证明：在直三棱柱4BC-AiBiG中，L平面3.AC1AB,则_L必当

以点4为坐标原点，44、&Bi、&G所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则/l(2,0,0)、B(2,2,0)、C(2,0,2)、4i(0,0,0)、Bi(0,2,0)、Ci(0,0,2)、D(0,L0)、E(L0,0)、F(11，l)，则加=(0,^,1),

易知平面ABC的一个法向量为沅=(1,0,0),则加m=0.故前1m,

vEF仁平面ABC,故EF//平面48c.

(2)解：京=(2,0,0)，CYD=(0,1,-2).EB=(1,2,0).

设平面CGD的法向量为%=(x“i，Zi),则2%=°,

取yi=2,可得证=(0,2,1),cos<~EB,u>=温、=，

因此，直线BE与平面CGD夹角的正弦值为:

(3)解：中=(2,0,2)，A^D=(0,1,0),

设平面aCD的法向量为讶=(x2,y2,z2),则忙,竺=2&+2Z2=0

(.V,A］。=y^2=0

取=1，可得方=(L0,—1)，则COSV正5>=署g=一下一=一缪，

|u||v|V5xV210

因此，平面4CD与平面CG。夹角的余弦值为噜.

3.【2021年天津17】如图，在棱长为2的正方体4BCD-&B1C1D1中，E为棱BC的中点，尸为棱CD的中

点.

(I)求证：0/〃平面为EC1；

(II)求直线4G与平面4EG所成角的正弦值.

(III)求二面角4一-E的正弦值.

【答案】(I)证明见解析；(H)(III)i

93

【解析】

(I)以4为原点，AB,4D,A4i分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,

则4(0,0,0),4式0,0,2),8(2,0,0),(7(2,2,0),D(0,2,0),6(2,2,2),(0,2,2),

因为E为棱BC的中点，F为棱CO的中点，所以E(2,l,0),F(l,2,0),

所以印=(1,0,-2),=(2,2,0),砧=(2,1,-2),

设平面&ECi的一个法向量为南=Oi，yi，Zi),

则｛―_?11,令%i=2,则记=(2,-2,1),

m-ArE=2/+yi—2zi=0

因为用m=2-2=0.所以印:1in.

因为£>/C平面4EG，所以D/〃平面&ECi；

(II)由⑴得，AC[=(2,2,2)，

设直线ACi与平面々EC1所成角为。，

则sin”|cos(源福〉|==晟=今

(III)由正方体的特征可得，平面力4G的一个法向量为口下=(2,—2,0)，

则8S而同=韶=康=争

所以二面角4-2G-E的正弦值为li-cos2(DB,m)=--

4.【2020年天津卷17]如图，在三棱柱48。一占816中，CQ_L平面4BC,4C1BC.AC=BC=2,CCX=3,

点D,E分别在棱和棱CG上，且4C=1CE=2,M为棱为&的中点.

（I）求证：gM1B1D；

（II）求二面角B-B[E-。的正弦值；

（III）求直线4B与平面所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）等;（III）金

63

【解析】

依题意，以C为原点，分别以巨、CB,西的方向为x轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）,

可得C(0,0,0)、4(2,0,0)、B(0,2,0)、［(0,0,3)、

4(2,0,3)、/(0,2,3)、。(2,0,1)、E(0,0,2)、M(l,l,3).

(I)依题意，C^M=(1,1,0),瓦方=(2,-2,-2),

从而前•瓦方=2-2+0=0,所以GM±BjD；

(II)依题意，CA=(2,0,0)是平面88速的一个法向量，

函=(0,2,1),ID=(2,0,-1).

设元=(x,y,z)为平面的法向量，

则行包=0,即/+z=.

in-ED=0t2x-z=0

不妨设％=1,可得有=(1,-1,2).

,7T7—CAn2y/6

cos<C4n>=同标=麴=工，

:.sin<CA,n>=J1-cos2<^A,n>=詈.

所以，二面角8-815一。的正弦值为等；

(III)依题意，荏=(-2,2,0).

由(II)知元=(1,一1,2)为平面。8述的一个法向量，于是cosVAB,元>=器］=匚4京=_4•

|/lB|-|n|2V2Xv63

所以，直线4B与平面OBiE所成角的正弦值为手.

5.【2019年天津文科17］如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABC。为平行四边形，APCD为等边三角形,

平面以CJ_平面PCD,PALCD,CD=2,AD=3.

(I)设G,”分别为P8,AC的中点，求证：GH〃平面以。；

(II)求证：B4_L平面PCD；

（Ill）求直线40与平面B4C所成角的正弦值.

【答案】证明：（I）连结8。，由题意得ACnB£>=H,BH=DH,

又由BG=PG,得GH//PD,

平面以。，PCu平面用。，

〃平面PAD.

（11）取棱PC中点N,连结DN,

依题意得£W_LPC,

又•.・平面以CL平面PCD,平面以CC平面PCD=PC,

平面PAC,

又以u平面以C,:.DNLPA,

5CPAA.CD,CDCDN=D,

...用_L平面PCD.

解：（Ill）连结AM由（II）中。ML平面aC,

知NDAN是直线AD与平面PAC所成角，

是等边三角形，CD=2,且N为PC中点，

:.DN=W，又DN1AN,

在RtAAND中，sin/D4N=^=亨.

V3

/.直线AD与平面PAC所成角的正弦值为三.

6.[2019年天津理科17]如图，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=\,AE=BC

=2

(I)求证：B/〃平面AOE；

(II)求直线CE与平面BQE所成角的正弦值；

1

(111)若二面角E-BO-F的余弦值为9求线段CF的长.

【答案】(I)证明：以A为坐标原点，分别以几，AD,我所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

可得4(0,0,0).B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

设CF=h(Q0),则F(l,2,h).

则又=(1,0,0)是平面AQE的法向量，又而=(0,2,h)，可得而•/=().

又•..直线BFC平面ADE,：.8F〃平面ADEx

(II)解：依题意，BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).

设1=(x,y,z)为平面BDE的法向量，

Jn-FD=-x+y=0,令：=],得£=(2,2,1).

n-BE=—x+2z=0

-->T-Q»

\CE\-\n\

4

直线CE与平面BDE所成角的正弦值为g；

(III)解：设U=(x,y,z)为平面8。尸的法向量，

则ES=r+y=°,取产1,可得U=(l,1,-务

m•BF=2y+hz=0

-4->I21

由题意，|cos<m，n>|=呼吆=---=I，解得h=y.

WHM3x卮37

经检验，符合题意.

O

二线段C尸的长为一.

7

7.【2018年天津理科17］如图，AD〃BC且AQ=2BC,ADLCD,EG//ADiLEG=AD,CD〃FG且CD

=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

(II)求二面角E-BC-F的正弦值；

(III)若点P在线段OG上，且直线8P与平面AOGE所成的角为60。，求线段QP的长.

—>—♦—>

【答案】(I)证明：依题意，以。为坐标原点，分别以ZM、DC、DG的方向为x轴,

y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得Q(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,1),N(1,0,2).

2

设3)=(x,y,z)为平面CDE的法向量,

K|Jno-DC=2y=0,不妨令z=-i,可得五=(i,0,一6

,n0-DE=2%+2z=0

TOTt

又MN=(1,嗔,1),可得MN-々)=0.

又♦.•直线MNC平面CDE,

；.MN〃平面CDE-,

(II)解：依题意，可得应'=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).

设蔡=(x,y,z)为平面BCE的法向量，

则时・怨:=一“=°,不妨令z=i,可得£=(0,1,1).

n-BE=%—2y+2z=0

设罚=(x,y,z)为平面BC尸的法向量，

则,叶=一“二°，不妨令z=i,可得益=(o,2,1).

m•CF=-y+2z=0

mN七t、晶73/10工曰•t、710

因此有cosOn,n>=——―=in,十是sinOn,n>=

|m|-|n|1010

二面角E-BC-尸的正弦值为"；

(III)解：设线段OP的长为/7,(/ze[0,2]),则点尸的坐标为(0,0,h),

可得而=(一1,-2,九)，而成1=((),2,0)为平面4OGE的一个法向量，

故IcosV而，DC>\=\^P'^=-2=.

\BP\-\DC\"2+5

由题意，可得=sin60。=坐，解得力=*6[0,2].

V/i2+523

.♦•线段OP的长为号.

8.【2018年天津文科17］如图，在四面体A8CD中，AABC是等边三角形，平面A2CL平面ABO,点M

为棱AB的中点，AB=2,AD=2®ZBAD=90°.

(I)求证：ADLBC-,

(ID求异面直线8c与M£＞所成角的余弦值；

(III)求直线CD与平面ABO所成角的正弦值.

【答案】(I)证明：由平面ABC_L平面A2Z),平面A8CC平面AD1.AB,

得平面A8C,故4D_L8C；

(II)解：取棱AC的中点N,连接MN,ND,

为棱AB的中点，故MN〃5C,

.../OWV(或其补角)为异面直线8c与M力所成角，

在RSD4M中，4M=1,故我M=7AD?+40=旧,

•.,AQ_L平面A8C,故AQ_LAC,

在RSDAN中，AN=1,故DN=yJAD2+AN2=V13,

工MN/TQ

在等腰三角形。MN中，MN=\,可得cos/DWN=《彳=堤.

Divl26

.•.异面直线BC与MD所成角的余弦值为三二：

26

(III)解：连接CM,「△ABC为等边三角形，M为边A8的中点,

故CMA.AB,CM=V3,

又•..平面4BC_L平面ABD,而CMu平面ABC,

故CMJ_平面ABD,则NCDM为直线CD与平面ABD所成角.

在RtaCAD中，CD=y/AC2+AD2=4,

在RlACMD中，sin/C£)M=^=亨.

直线CZ)与平面A3。所成角的正弦值为点.

4

9.【2017年天津理科17】如图，在三棱锥P-4BC中，以1■底面ABC,/B4C=90。.点。，E,N分别为

棱以，PC,BC的中点，M是线段AO的中点，PA=AC=4,AB=2.

(I)求证：MN〃平面BDE；

(II)求二面角C-EM-N的正弦值;

(III)已知点，在棱以上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为三，求线段AH的长.

【答案】(I)证明：取AB中点凡连接MF、NF,

,何为AO中点，J.MF//BD,

•.,BQu平面BDE,MFC平面8QE,〃平面

为8c中点，J.NF//AC,

又。、E分别为AP、PC的中点，J.DE//AC,则N尸〃。E.

VDEc5FffiBDE,NFC平面BDE,/〃平面BOE.

又MFC\NF=F.

，平面MFN〃平面BDE,则MN〃平面BDE；

(II)解：底面48C,ZBAC=90°.

...以A为原点，分别以A8、AC.AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

Vm=AC=4,AB=2,

(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),

则疝V=(l,2,-1),ME=(0,2,1),

设平面M£N的一个法向量为蔡=(x,y,z),

由何・9=。，得二°，取z=2,得晶=(4.-1,2).

Im•ME=0i'

由图可得平面CM£的一个法向量为£=(1，0,0).

m-n44721

cos<m，n>=

|m||n|&Txl21

4V21V105

...二面角C--的余弦值为则正弦值为7-；

(III)解：设则H(0,0,t),诵=(-1,-2,t),BE=(-2,2,2).

V7

...直线NH与直线8E所成角的余弦值为五,

NHBEI2520

：.|cos</VW,BE>\=\—~—1=|-

\NH\\BE\21-

解得：或

...线段A”的长为I或|.

y

10.【2017年天津文科17］如图，在四棱锥P-ABC。中，ADmPDC,AD//BC,PD±PB,AD=\,

BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

(II)求证：POJ_平面PBC；

(III)求直线A8与平面P8C所成角的正弦值.

【答案】解：(I)如图，由已知AZ)〃BC,

故/D4P或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

因为4。_1平面POC,所以4£>_LPD

在RSPDA中，由己知，得4P=7AD?+口。2=瓜

iilcosZ.DAP=%=京

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为日.

证明：(II)因为AOL平面PDC,直线PDu平面PDC,

所以AO_LPQ.

又因为BC〃/1。，所以尸DJ_BC,

又PD工PB,所以PD_L平面PBC.

解：(HI)过点。作48的平行线交BC于点F,连结PF,

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PO_L平面PBC,故PF为。尸在平面P8c上的射影，

所以/QFP为直线。尸和平面P8C所成的角.

由于AO〃BC,DF//AB,故BF=AO=1,

由已知，得CF=BC-BF=2.又AO_LOC,i&BClDC,

在RsAPF1中，可得sin/DFP=器=咯.

V5

所以，直线AB与平面P3C所成角的正弦值为］■.

11.(2016年天津理科17】如图，正方形A8C£＞的中心为O,四边形OBEF为矩形，平面OBEF_L平面ABCD,

点G为AB的中点，AB=BE=2.

(1)求证：EG〃平面AOF；

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

(3)设”为线段A尸上的点，且凡求直线和平面CE尸所成角的正弦值.

【答案】(1)证明：取4。的中点/,连接尸/,

:矩.形OBEF,：.EF//OB,EF=OB,

；G,/是中点，

1

:,G1〃BD,G/=^BD.

O是正方形ABCD的中心，

1

・•・OB=^BD.

：.EF//GhEF=GI,

・・・四边形EF/G是平行四边形，

：.EG//Fh

YEGC平面4。凡F/u平面ADR

JEG〃平面AOG

(2)解：建立如图所示的坐标系。-孙z,则8(0,-V2,0),C(V2,0,0),E(0,-V2,2),

F(0,0,2),

设平面CEF的法向量为益=(x,y,z),则,取注=(V2,0,1)

+2z=0

OCL平面OEF,

平面OEF的法向量为1=(1,0,0),

'•*|cos<m,n>|=竽

二面角O-EF-C的正弦值为J1一(苧尸=坐；

._2t2T2V24

(3)解：AH=^HF,.•.4H=-pAF=(---,0,一).

J，55

-2y[24

设〃(a,b,c),则4H=(6F+V2,b,c)=(---,0,一).

.\a=~。=0，c=[，

.藁/3&64

..BH=(--p—,72,一),

55

打

^l@

，直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cosV前，m>\=5=VZ

,21

2X

12.【2016年天津文科17］如图，四边形A8CO是平行四边形，平面AEDJ_平面A8C£>,EF//AB,AB=2,

DE=3,BC=EF=1,AE=V6,NBAD=60。,G为3c的中点.

(1)求证：FG〃平面BED；

(2)求证：平面8瓦)_1_平面AEA

(3)求直线EF与平面3a所成角的正弦值.

【答案】证明：(1)8。的中点为0,连接0E,0G,在△88中，

•；G是BC的中点，

A0G//DC,且。G=goC=l,

又<EF〃AB,AB//DC,

J.EF//0G,且EF=0G,

即四边形0GEF是平行四边形，

：.FG//OE,

平面BED,OEcT®BED,

；.FG〃平面BED-,

(2)证明：在AABO中，AO=1,AB=2,ZBAD=60°,

由余弦定理可得80=g，仅而NAC8=90。，

即BD±AD,

又・平面4ED_L平面ABCD,

8Ou平面ABCD,平面AEOn平面ABCD=AD,

.•.2。，平面4E£),

：8£>u平面BED,

二平面8E/)_L平面AED.

(Ill),:EF〃AB,

：.直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角,

过点A作AHLDE于点H,连接BH,

又平面BE£)n平面AED=ED,

由(2)知A""L平面BED,

直线AB与平面BED所成的角为乙48",

7

在AAOE,AD=1,DE=3,AE=\/6,由余弦定理得cosNADE=全

AsinZADE=苧，

・V5

：.AH=AD*—,

3

在RSA/73中，sinZAB//=^=^,

...直线EF与平面BE。所成角的正弦值在

6

13.【2015年天津理科17】如图，在四棱柱ABC。-Ai81clz)1中，侧棱AAi_L底面ABC。，ABYAC,A8=

1,AC=A4i=2,AD=CD=炳,且点M和N分别为81c和Oi。的中点.

(I)求证：〃平面ABCD

(II)求二面角D\-AC-B\的正弦值；

(III)设E为棱4劭上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为点求线段A1E的长.

【答案】(I)证明：如图，以A为坐标原点，以AC、42、A41所在直线分别为X、)，、z轴建系,

则4(0,0,0),B(0,1.0),C(2,0,0),D(1,-2,0),

A\(0,0,2),Bi(0,I,2),Cl(2,0,2),D\(I,-2,2),

又,：M、N分别为BiC、。。的中点，(1,1),N(.I,-2,1).

2

由题可知：n=(0,0,1)是平面48。的一个法向量，MN=(0,-1,0),

'：n-MN=0,MNC平面ABCD,〃平面ABCO；

(II)解：由(/)可知:屈1=(1,-2,2),AC=(2,0,0),ABt=(0,1,2),

设茄=(x,y,z)是平面ACDi的法向量，

m•AD1=0，得卷—2y+2z

m•AC=0

取z=l,得薪=(0,1,1),

设蔡=(x,y,z)是平面ACBi的法向量，

由得㈱/，

取z=l,得％=(0,-2,1),

..、m-n710../-、L

.cosOn,n>=_>_>=—77^-,..sinn>=1—

|m||n|107A

3V10

工二面角D\-AC-B\的正弦值为；

10

(III)解：由题意可设=。]1，其中入口0,1],

：.E=(0,X,2),NE=(-1,X+2,1),

又・・♦=(0,0,1)是平面ABC。的一个法向量，

\NE\\n\J(-l)2+(2+2)2+l23

整理，得入2+4入-3=0,解得入=77—2或-2—V7（舍）,

线段A1E的长为夕-2.

14.【2015年天津文科17］如图，己知441J_平面ABC,BB\//AA\,AB=AC=3,BC=2遥,AA\=V7,

BBi=2小，点E和尸分别为8c和AC的中点.

(I)求证：EF〃平面4B1BA；

(II)求证：平面AE4_L平面BCBi；

(III)求直线与平面8cBi所成角的大小.

•.,E和/分别是BC和A1C的中点，.'.E/〃48,

又；AiBu平面AiBiBA,E"：平面AiB\BA,

.♦.EF〃平面AiBiBA；

(II)证明：'：AB^AC,E为BC中点、,：.AELBC,

「AAiJ_平面ABC,BB\//AA\,，88iJ_平面ABC,

：.BBi±AE,又•：BSBBi=B,Z.AElT®BCB\,

又：AEu平面AEAi,平面AE4i_L平面8c81；

(Ill)取B81中点M和BiC中点N,连接4例，AlN,NE,

和E分别为81c和BC的中点，平行且等于(8出，

.•.NE平行且等于4A,.•.四边形4AEN是平行四边形，

.••4N平行且等于AE,

又•.•AE_L平面8cBi,.,.4%_1平面8(731,

:.NA1B1N即为直线A\B\与平面BCB\所成角,

在AA6c中，可得AE=2,：.AiN=AE=2,

'：BM//AA\,BM=^AA\,且AiM=A8,

又由48J_88i,：.A\MLBB\,

22

在RTLA\MB\中，A\B\=yjBrM+ArM=4,

在RTA4N81中，sin/A向N=A-=K

/I]]L

J.NA出W=30°,即直线481与平面BCB\所成角的大小为30°

C

15.【2014年天津理科17】如图，在四棱锥P-ABCO中，布，底面ABC。，ADLAB,AB//DC,AD=DC

=AP=2,4B=1,点E为棱PC的中点.

(I)证明：BELDC；

(II)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(III)若尸为棱PC上一点，满足B凡LAC,求二面角尸-AB-P的余弦值.

【答案】证明：(/):用，底面A3CZ),AD1AB,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

•：AD=DC=AP=2,48=1,点E为棱PC的中点.

：.B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)

：.BE=(0,1,1),DC=(2,0,0)

'CBE-DC=0,

BE±DC；

(II)'：BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2),

设平面尸3。的法向量/=(x,y,z),

m-BD=0得厂x+2y=0

由-m-PB=0,^-2z=0

令y=l,则m=(2,1,1),

则直线BE与平面尸8。所成角0满足:

.八m-BE243

仙3丽丽=.=丁

故直线8E与平面PBD所成角的正弦值为日

(Ill),:BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),

由尸点在棱PC上，设&=乂%=(-23-2X,2九)(0<X<l),

故而=BC+CF=(1-2X,2-2X,2X)(0<X<l),

由BFLAC,得标•品=2(I-2X)+2(2-2X)=0,

解得九=

-113

即8/=(-4，-),

222

设平面FBA的法向量为］=(a,b,c),

由g*=o,得在:工九

^n-BF=0(2+2O+2c-U

令c=l,则|=(0,-3,1),

取平面A8P的法向量7=(0,1,()),

则二面角F-AB-P的平面角a满足:

|7-n|_3_3710

cosa=

|7|-|n|回10

故二面角尸-A8T的余弦值为：—

16.【2014年天津文科17］如图，四棱锥P-ABC。的底面ABCO是平行四边形，BA=BD=&,AD=2,

PA=PD=底E,尸分别是棱A。，PC的中点.

(I)证明EF〃平面PAB-.

(II)若二面角P-AD-B为60°,

(/)证明平面P8C_L平面A8C。；

(»)求直线EF与平面P8C所成角的正弦值.

【答案】解：(I)证明：连结AC,ACQBD^H,

•.•底面4BCD是平行四边形，为8。中点,

:E是棱AD的中点.二在△A8。中，EH//AB,

又平面必8,EHC平面以。，...《以〃平面必8.

同理可证，尸”〃平面办员

又；EHCFH=H,；.平面EF”〃平面PAB,

,/EFu平面EFH,：.EF//平面以B；

(II)(/)如图,连结PE,BE.

"：BA=BD=V2,AD=2,PA=PD=V5,：.BE=\,PE=2.

又为AO的中点，ABEA.AD,PELAD,

...NPEB即为二面角尸-A£>-8的平面角,即NPEB=60°,：.PB=V3.

中，BD2+PB2^PD2,：.PBLBD,同理P8_LR4,

.”81.平面A8D,

P8u平面PBC,，平面附8_L平面ABCD；

(ii)由(i)知，PBLBD,PB工BA,

'：BA=BD=V2,AZ)=2,：.BD1BA,

：.BD,BA,8。两两垂直,

以8为坐标原点，分别以BO,BA,BP为X,Y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系8-D4P,

则有A(0,V2,0),B(0,0,0),C(V2,-V2,0),D(V2,0,0),P(0,0,V3),

：.BC=(V2,-V2,0),BP=(0,0,V3),

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

..[5.8C=0.(V2x—V2y=0

1/而=0tV3z=0,令x=1.则y=1,z=0,

故71=(1»1,0),

,:E,F分别是棱AC,PC的中点,

y/2\[2

(—,—,0),F当,

22(T一72

.T/L用

..EF=(0,—V2,—),

2

TTTl'PF

.".sinG=cos<n,EF>=:;-422711

11

\n\\EF\任等一

即直线)与平面作所成角的正弦值为誓.

模技好题/

1.【天津市新华中学2023届高三下学期统练7】如图，四边形48C。是边长为2的菱形，^ABC=60°,四

边形P4CQ为矩形，PA=1,且平面PACQ_L平面ABCD.

(1)求BP与平面4CQP所成角的正弦值；

(2)求平面BPQ与平面PQC夹角大小；

(3)若在线段BP上存在点M,使得CM||平面PQD,求点M到平面4CQP的距离.

【答案】(1).

(2斤

【详解】(I)由题意，

\•平面PACQ_L平面4BCD,平面P4CQC平面ABC。=AC,PA1AC

：.PA1平面4BCD,

•..底面4BCD为菱形，

：.AC1BD,

以。为原点，OB,OC所在直线为％y轴，过点。作P4平行线为z轴建立如图所示空间宜角坐标系:

则8(低0,0),P(0,。(一6,0,0),(?(0,1,1),

:.丽=(-V3,-l,l)>

平面4CQP的一个法向量是f=(1,0,0),

设BP与平面ACQP所成的角为仇所以sin。=霹।=福=

\Dr11^1V3X1.O

.•.BP与平面4CQP所成的角的正弦值为?

(2)由题意及(1)得,

BQ=(-V3,1,1),PQ=(V3,1,1),DP=(V3,-l,l),

设平面BPQ的一个法向量为沆=(x"i,z】)，则归黑=，，即「管-乃+zi=,

令=V5，则yi=0,Zi=3,所以沅=(75,0,3),

设平面DPQ的一个法向量为记=(次,及*2)，则归MU，即I管-旷2+22=,,

(n-DQ=0[V3X2+丫2+名2=0

令％2=V3»则y?=。*2=—3,所以记=(V3,0,-3),

所以皿依㈤=繇6_1

2V3X2V3-2

因为保，希>£［。图,

平面BPQ与平面PQ。的夹角为去

(3)由题意，(1)及(2)得，

B(V3,0,0),P(0,-1,1),C(0,l,0),CB=(V3,-l,0),BP=(-V3,-l,l).

设询=/I肝，丽=(-V3A,-A,A).CM=(V3-V3A,-1-A,A)>

：。河|「平面「(2。，所以元.而=0，即8(百一84)-34=0,

解得：2=i

...点M为BP中点，M(y,-i,i)(

.•.点M到平面4CQP的距离为：d=爷=f吟

2.【天津市实验中学2023届高三考前热身训练】如图，PD1平面ABC。，AD1CD,AB“CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点E,F,M分别为AP,CD,8Q的中点.

(1)求证：EF〃平面CPM：

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；

(3)若N为线段C。上的点，且直线ON与平面QPM所成的角为三，求N到平面CPM的距离.

O

【答案】(1)证明见解析

喈

喈

【详解】(1)证明：连接EM,因为AB〃CD,PQ//CD,

所以附/PQ,

又因为4B=PQ,所以四边形以BQ为平行四边形，

因为点E和M分别为AP和8。的中点，所以且EM=AB,

因为AB〃CD,CD=2AB,尸为CO的中点，所以CF〃/1B且CF=4B,

可得EM〃CF且EM=CF,即四边形EFCM为平行四边形，

所以EF〃MC,又EFC平面MPC,CMu平面MPC,

所以EF〃平面MPC.

(2)因为PDL平面A8CD,AD1CD,故以。为原点，分别以D4,DC,DP所在的直线为x轴，y轴，z

轴建立空间直角坐标系,

依题意可得0(0,0,0),4(2,0,0),8(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(0,l,2),M(l,l,l),

PM=(1,1,-1).由=(0,1,0)，CM=(1,-1,1)-PC=(0,2,-2).

设元=(x,y,z)为平面PQM的法向量，

则E.丝=x+y-z=0,不妨设z=i,可得元=(LO,D，

设记=(a,b,c)为平面PMC的法向量，

则理•匡=2b-2c=0,不妨设c=i,可得沅=(o,i,i).

(771-CM=Q—Z?+c=0

所以cos(沆，力=高*=%

设平面PQM与平面PA/C夹角为0,

所以sin。=Jl一(丁=争

(3)设丽=4近(0WAW1),即丽=4&=(0,九一2；1)，

则N((M+1,2-2Q.

从而而=(0,A+1,2-2A).

由(2)知平面PM0的法向量为为=(1,0,1),

而直线£W与平面PM。所成的角为士

O

所以sin?=|cos阿利=赢去

Hiji=I2二2川_

72y(A+l)2+(2-2A)2-\/2,

整理得3M-10A+3=0,解得4=［或；I=3,

因为0WAV1，

由(2)知：由=(0,1,1)为平面CPM的法向量,

故点N到平面CPM的距离为d国国1(畴g)(°，i，i)l.近

阿V23

3.【天津市和平区2023届高三下学期一模】在如图所示的几何体中，EA1平面1平面ABC；AC1

BC.AC=BC=BD=2AE=2,M是的中点.

(1)求证：CM1EM；

(2)求直线EM与平面CDE所成角的正弦值;

(3)求平面CME与平面CDE的夹角的余弦值.

【答案】(1)详见解析:

【详解】(1)因为4C1BC,以C为原点，分别以C4,CB所在直线为x,y轴，过点C且与平面4BC垂直的直

线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,

则M(1,1,O)，F(2,0,l),

所以由=(1,1,0),'EM=

所以国•丽=-1+1+0=0.

所以由JL前，即CM1EM；

(2)因为在=(2,0,1),而=(0,2,2)，设平面CDE的法向量为沆=(x,y,z),

贝胆.熏令3I,可得沆=Q2,-2),又前=(一1,1,一1),

设EM与平面CDE所成角为。，则sin。=禽兽=2=手，

\EM\\m\3V33

晶直线EM与平面CDE所成的角的正弦值为四；

3

(3)由题由=(1,1,0),谓=(2,0,1)，

设平面CME的法向量元=(a,h,c),

由产.生=2a+c=0,令a=l，则记=(1,一1,一2),

又平面CDE的法向量沅=(1,2,-2),

所以Icos依㈤|=磊=益意1=日

所以平面CME与平面CDE的夹角的余弦值为今

4.【天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(二)】如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABC。

是矩形，AB=2AD=2,PAL平面A3CQ,E为PD中点.

B

⑴若PA=1.

(i)求证：AEPCD-,

(ii)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；

(2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为?，求PA.

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)|

(2)2

【详解】(1)(i)方法一

VPAJ_平面ABCD,CDu平面ABCD,：.PA1CD,

:四边形ABCQ为矩形，：.CD1AD,又=PA,4。u平面以£),.•.(70_1面以£),

•.工丘面处。，：.CDLAE,

在△PAD中，PA=AD=1,E为PD中点,：.AE1PD

'：PDCCD=D,PDcjgj-PCD,CDcjg]'PCD,：.AE±V®PCD.

方法二：以A为原点，AB,AD,A尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),£)(0,1,0),P(0,0,l),

AE=PC=(2,1,-1).•.-ZE.pC=0+1-i=0,：.AE1PC.

在△PAD中，PA=AD=1,E为PO中点，：.AE1PD.

,：PDnPC=E,PDu面PCD,PCu面PCD.J.AE1平面PCD；

方法三:设平面PCD的一个法向量为E=(a,b,c),DC=(1,0,0)»PD=(O,1,-1).荏=(0,；,以，

则g,匹=。，.北=on.

令b=1,则c=1,At=(0,1,1),

•.,荏