2024届四川省师大一中学九年级上册数学期末统考试题含解析

2024届四川省师大一中学九上数学期末统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在正方形纸片ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点

为N,折痕交CD边于点M,BM与EF交于点P,再展开.则下列结论中：①CM=DM；②NABN=30。；③AB?=

3CM2；④Z∖PMN是等边三角形.

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）

A.正方形B.正五边形

C.正六边形D.正八边形

3.如图，PKP2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是APIAQ、∆P2A2O.

A.S∣<S2<S3

B.S2<S1<S3

C.S3<Sι<S2

D.Sl=S2=S3

4.二次函数y=ax∣+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-4,0）,对称轴为直线X=-1,下列结论:

①abc>O;

②la-b=O;

③一元二次方程ax'+bx+c=0的解是x∣=-4,xι=l;

④当y>0时，-4VXVL

其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.1个D.1个

5.如图，..AOB是直角三角形，NΛOB=90,0B=20A,点A在反比例函数y=’的图象上.若点3在反比例

X

D.-4

6.平移抛物线y=-(X-I)(X+3),下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点()

A.向左平移1个单位B.向上平移3个单位

C.向右平移3个单位D.向下平移3个单位

7.关于X的一元二次方程(A+1)∕-2X+1=0有两个实数根，则Z的取值范围是()

A.k≥0B.k≤0C.Z<0且攵H—1D.k≤OKk≠-l

8.如图，在平面直角坐标系中，P与轴相切，直线y=X被P截得的弦AB长为4√J,若点P的坐标为(4,P),

A.4√2B.4+2√2C.4+4√2D.2+40

9.计算炉子的结果是

A.-3B.3C.-9D.9

10.在正方形网格中，AA6C如图放置，则山〃NCAB=（)

2√13

13

11.关于X的一元二次方程x⅛-10=0的一个根为2,则b的值为（）

A.1B.2C.3D.7

12.在半径为2c〃z的圆中，挖出一个半径为Xcm的圆面,剩下的圆环的面积为ycm∖则y与X的函数关系式为（）

A.y-π（2-x∖B.y=πx2-4C.y~πx1-4-πD.y=-τrx2+4-τr

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60。方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后,

到达位于灯塔C的南偏东45。方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是海里.

14.如图在RtZ∖O48中NAOB=20。，将aQAB绕点。逆时针旋转100。得到a044,则/403=

15.若圆锥的底面圆半径为2cm,圆锥的母线长为5cm,则圆锥的侧面积为Cm

16.若关于X的一元二次方程V+2x—左=0有实数根，则人的取值范围是.

17.若2是方程χ2-2Ax+3=0的一个根，则方程的另一根为.

18.一个盒中装有4个均匀的球，其中2个白球，2个黑球，今从中任取出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可

能性分别记为。、b,则。与〃的大小关系为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图1,AB为。O的直径，点C为。O上一点，CD平分NACB交。O于点D,交AB于点E.

(1)求证：4ABD为等腰直角三角形；

(2)如图2,ED绕点D顺时针旋转90。，得到DE',连接BE，,证明：BE'为。。的切线；

(3)如图3,点F为弧BD的中点，连接AF,交BD于点G,若DF=I,求AG的长.

20.(8分)AABC在平面直角坐标系中如图:

Q)画出将AABC绕点O逆时针旋转90。所得到的"3C,并写出4点的坐标.

(2)画出将AABC关于X轴对称的AAzgC?,并写出A2点的坐标.

(3)求在旋转过程中线段OA扫过的图形的面积.

21.(8分)某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬

衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价X元，回答下列问题：

(1)该商场每天售出衬衫件(用含X的代数式表示)；

（2）求X的值为多少时，商场平均每天获利1050元？

（3）该商场平均每天获利（填“能”或“不能”）达到1250元？

2

22.（10分）已知关于X的一元二次方程χ2-（2m+3）x+m+2=0o

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x∣,x2,且满足X；+X；=31+X32,求实数m的值。

23.（10分）某校网络学习平台开通以后，王老师在平台上创建了教育工作室和同学们交流学习.随机抽查了20天通

过访问王老师工作室学习的学生人数记录，统计如下：（单位：人次）

20202815202530201213

30251520101020172426

“希望腾飞”学习小组根据以上数据绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如图:

频数分布表

分组频数（单位：天）

10≤x<154

15≤x<203

20≤x<25a

25≤x<30b

30≤x<352

合计20

请根据以上信息回答下列问题：

（D在频数分布表中，α的值为,〜的值为,并将频数分布直方图补充完整;

（2）求这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数.

24.（10分）尺规作图：如图,已知正方形ABCD,E在BC边上，求作AE上一点P,使^ABES^DPA（不写过程,

保留作图痕迹）.

AD

C

25.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=S,点A在直线/上，AD与直线/相交所得的锐角为60。.点尸在

直线/上，AF=8,所，直线/,垂足为点F且Eb=6,以EF为直径，在EE的左侧作半圆。，点M是半圆。

上任一点.

发现：AM的最小值为，AM的最大值为，OB与直线/的位置关系.

思考：矩形ABc。保持不动，半圆。沿直线/向左平移，当点E落在AO边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面

积.

A

26.如图，在AABC中，BD平分NABC,交AC于点D,点E是AB上一点，连接DE,BD2=BCBE.

证明：∙∆BCDS∕∖BDE.

P

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

［解析】•：ABMN是由ABMC翻折得到的，

.∙.BN=BC,又点F为BC的中点，

“士，BF1

在RtABNF中，SinZBNF=——=一，

BN2

ΛZBNF=30o,NFBN=60。，

.∙.NABN=9（Γ-NFBN=30。，故②正确；

在RtABCM中，NCBM=LNFBN=30。，

2

ΛtanZCBM=tan30°=,

BC3

ΛBC=√3CM,AB2=3CM2故③正确；

NNPM=NBPF=90°-NMBC=60°,NNMP=90°-NMBN=60°,

...△PMN是等边三角形，故④正确；

由题给条件，证不出CM=DM,故①错误.

故正确的有②③④，共3个.

故选C.

2、B

【解析】选项A,正方形的最小旋转角度为90°,绕其中心旋转90°后，能和自身重合；

选项B,正五边形的最小旋转角度为72。，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；

选项C,正六边形的最小旋转角度为60°,绕其中心旋转60°后，能和自身重合；

选项D,正八边形的最小旋转角度为45。，绕其中心旋转45。后，能和自身重合.

故选B.

3、D

【分析】由于Pi、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为

【详解】根据反比例函数的k的几何意义，4P∣AQ'∆P2A2O.4P3A3θ的面积相同，均为所以S1=S2=S3,

2

故选D.

【点睛】

本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形

面积就等于∣k∣,而围成的三角形的面积为:I氏|,本知识点是中考的重要考点，应高度关注.

4、B

【分析】根据抛物线的图象与性质(对称性、与X轴、y轴的交点)逐个判断即可.

【详解】V抛物线开口向下

「・Q<0

b

:对称轴X=----=—1<0

2a

「.q、6同号，EP⅛<0

V抛物线与y轴的交点在X轴的上方

.∖c>0

.∙.abc>0,则①正确

∙.∙对称轴X=_2=_i

2a

.∙.2a=b9即2α-/?=(),则②正确

∙.∙抛物线的对称轴x=-1,抛物线与X轴的一个交点是(T,0)

.∙.由抛物线的对称性得，抛物线与X轴的另一个交点坐标为(2,0),从而一元二次方程以2+反+c=0的解是

xl=-4,X2=2,则③错误

由图象和③的分析可知：当y>0时，-4<x<2,则④正确

综上，正确的结论有①②④这3个

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象与性质是解题关键.

5、D

【分析】要求函数的解析式只要求出8点的坐标就可以，过点A、3作AC_LX轴，BD_LX轴，分别于C、D,根

据条件得到ACO-.ODB,得到：丝=丝="=2,然后用待定系数法即可.

OCACOA

【详解】过点A、8作ACJ_x轴，轴，分别于C、D,

设点A的坐标是(根,〃)，则AC=〃，OC=m,

ZAQB=90°,

ZAoC+NBOD=90。,

ZDBO+ZBOD=90°,

.∙.ZDBO=ZAOC,

ZBDO=ZACO=90°,

_BDO~二004>

.BDODOB

~0C~~AC~~δλ,

OB=204,

∙"∙BD-Im,OD-2n)

因为点A在反比例函数y=’的图象上，贝。加=1,

X

点8在反比例函数y=七的图象上，8点的坐标是(一2〃,2〃?),

X

k—-2n-2m=-Am/t=-4.

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点

的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.

6、B

【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.

【详解】解：y=-(.χ-D(χ+3)=-(x+l)2+4

A、向左平移1个单位后的解析式为：j=-(x+2)2+4,当χ=0时，y=0,即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意;

B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-(x+l)2+7,当x=0时，y=3,即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意;

C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-(x-2)2+4,当X=O时，y=0,即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；

D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-(X+1)2+1,当χ=0时，y=0,即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.

【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.

7、D

【解析】分析：根据一元二次方程⑪区+c=0(ɑ。())根的判别式△=b2一4ɑc≥0,

进行计算即可.

详解：根据一元二次方程一元二次方程化+1)/-2x+l=0有两个实数根，Δ=⅛2-4αc=4-4(Ar+l)>0,

解得：k<Q,

根据二次项系数％+1工0,可得：k≠-l.

故选D.

点睛：考查一元二次方程以2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=〃一4αc，

当△=。2-4”0>0时，方程有两个不相等的实数根.

当△=/一4αc=0时，方程有两个相等的实数根.

当4=〃一4αc<0时，方程没有实数根.

8、B

【分析】过点P作PH_LAB于H,PD_LX轴于D,交直线y=x于E,连结PA,根据切线的性质得PC_Ly轴，贝IjP点

的横坐标为4,所以E点坐标为(4,4),易得AEOD和aPEH都是等腰直角三角形，根据垂径定理由PH_LAB得

AH=∣AB=2√3,根据勾股定理可得PH=2,于是根据等腰直角三角形的性质得PE=λ^PH=20，则PD=4+2√2,

然后利用第一象限点的坐标特征写出P点坐标.

【详解】解：过点P作PH_LAB于H,PD_LX轴于D,交直线y=x于E,连结PA,

∙.∙0P与y轴相切于点C,

•••PCJ_y轴，

.∙∙P点的横坐标为4,

.∙.E点坐标为(4,4),

.∙.∆EOD和4PEH都是等腰直角三角形,

TPHJLAB,

在aPAH中，PH=VPA2-AH2=√42-(2ΛΛ)2=2，

ΛPE=√2PH=2√2>

∙*∙PD=4+2-V2，

...P点坐标为(4,4+2√2).

故选：B

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接

圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了垂径定理.

9、B

【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.

【详解】M7=∣-3∣=3.

故选B.

10、B

【分析】依据正切函数的定义：正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值叫做正切.由用ABe中AB=3,BC=2,

求解可得.

【详解】解：在RJABC中，AB=3,BC=2,

贝!∣“NC48=器=∙∣,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握正切函数的定义.

11、C

【解析】根据一元二次方程的解的定义，把X=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可.

【详解】解：把x=2代入程x2+bx-10=0得4+2⅛-10=0

解得b=l.

故选C.

点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

12、D

【分析】根据圆环的面积=大圆的面积一小圆的面积，即可得出结论.

【详解】解：根据题意：y=2?万一%f=一；TX2+4〃

故选D.

【点睛】

此题考查的是圆环的面积公式，掌握圆环的面积=大圆的面积一小圆的面积是解决此题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、(30+30√3)

【分析】过点C作CD_LAB,则在RtZkACD中易得AD的长，再在RtABCD中求出BD,相加可得AB的长.

【详解】解：过C作CD，AB于D点，由题意可得，

ZACD=30o，ZBCD=45o,AC=I.

*CD

⅛Rt∆ACDΦ,COSNACD=—,

AC

：.AD=—AC=30,CD=AC∙cosNACD=IX—=30√3，

22

在RtzXDCB中，；NBCD=NB=45°,

ΛCD=BD=30√3,

ΛAB=AD+BD=30+30√3.

答：此时轮船所在的B处与小岛A的距离是(30+30√3)海里.

故答案为：(30+30√3).

北

C及£d

：45、

B

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解

决的方法就是作高线.

14、80°.

【分析】由将AOlB绕点。逆时针旋转Io0°得到a04Bι,可求得N4Q4的度数，继而求得答案.

【详解】Y将4Q45绕点。逆时针旋转100。得到

/.ZAIOA=IOOO,

∙.,ZAOB=20o,

a

：.ZAiOB=ZA1OA-ZAOB=SO.

故答案为：80°.

【点睛】

此题考查了旋转的性质.注意找到旋转角是解此题的关键.

15、10〃

【分析】根据圆锥的侧面积公式：Sel=1”代入数据计算即可.

【详解】解：圆锥的侧面积=〃仓∣25=1如cπ√.

故答案为：10%

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题型，熟练掌握计算公式是解题关键.

16、k≥-l

【分析】一元二次方程/+2%-左=0有实数根，即A=。？—4αc≥0

【详解】解：一元二次方程V+2x—攵=0有实数根

.∙.Δ=Z?2-4αc=4+4左≥0

解得Z≥-1

【点睛】

本题考查∖=b1-Aac与系数的关系.

3

17、一.

2

【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.

【详解】解：设方程的另一根为为，

又∙.∙χ2=2,

工2xι=3,

3

解得XI=不，

2

3

故答案是：

2

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，应该熟练掌握两根之和，两根之积.

18、a<b

【分析】分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性，然后比较大小即可.

【详解】根据盒子中有2个白球，2个黑球

可得从中取出2个球，一共有6种可能：2白、2黑、1白1黑(4种)

21

.∙.“两球同色”的可能性为a=：=；

63

42

“两球异色”的可能性为b=彳

63

••一

・一〈一

33

•∙a<b

故答案为：a<b.

【点睛】

本题考查了概率的问题，掌握“两球同色”与“两球异色”的可能性是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)见解析；(1)见解析；(3)1.

【分析】(1)由AB是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得NADB=90。，又由CD平分NACB,根据

圆周角定理，可得AD=BD,继而可得aABD是等腰直角三角形；

(1)证明aADEgZ∖BDE∙,可得NDAE=NDBE)则NOBE，=/ABD+NDBE'=90。，结论得证；

(3)取AG的中点H,连结DH,贝(JDH=AH=GH,求出DH=DF=1,则答案可求出.

【详解】(1)：AB是。O的直径，

ΛZADB=ZACB=90o,

VCD平分NACB,

ΛZACD=ZDCB,

∙'∙AD=BD»

二AD=BD,

.∙∙∆ABD是等腰直角三角形.

(1)由旋转的性质得，ZEDE'=90o,DE=DE',

C

D

VZADB=90o,

ΛZADE=ZBDE,,

VAD=BD,

/.∆ADE^∆BDE,(SAS),

ΛZDAE=ZDBE',

VZEAD=ZDCB=45o,ZABD=ZDCA=45o,

ΛZOBE,=ZABD+ZDBE,=90o,

JBE，为。O的切线；

(3)解：V点F为30的中点,

/.ZFAD=ɪZDAB=Il.5°,

2

取AG的中点H,连结DH,

VZADB=90o,

ADH=AH=GH,

JNADH=NFAD=IL5°,

ΛNDHF=ZADH+ZFAD=45o,

TNAFD=NACD=45。，

ΛZDHF=ZAFD,

ΛDH=DF=I,

/.AG=IDH=I.

【点睛】

此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、切线的判定、全等三角形的

判定与性质以及直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键.

13

20、(I)AlG3,2)；(2)A(2,-3)(3)S=-

2i4

【分析】(1)根据题意利用旋转作图的方法画出将AABC绕点O逆时针旋转90。所得到的04C以及写出Al点的坐

标即可；

(2)根据题意利用作轴对称图形的方法画出将AABC关于X轴对称的AA2BzG并写出&点的坐标即可；

(3)由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，求出这个四分之一的圆即可求出线段OA扫

过的图形的面积.

【详解】解：(1)如图：

由图像可得4的坐标为(-3,2)；

(2)如图:

由图像可得人的坐标为(2,-3)；

(3)由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，

已知A(2,3),利用勾股定理求得OA=√22+32=713»

所以线段OA扫过的图形的面积为：

44

【点睛】

本题考查旋转作图和作轴对称图形，熟练掌握并利用旋转作图和作轴对称图形的方法和技巧是解题的关键.

21、(1)60-2%;(2)当x=15时，商场平均每天获利1050元；(3)能

【分析】(1)根据题意写出答案即可.

(2)根据题意列出方程,解出答案即可.

(3)令利润代数式为1250,解出即可判断.

【详解】(1)根据题意：每天可售出60件，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，则商场每天售出

衬衫：60—2X

(2)(40+x—20)(60—2x)=1050

解得玉=15,X2=-5(不符合题意，舍去).

答:当x=15时，商场平均每天获利1050元.

(3)根据题意可得：(40+x-20)(60-2x)=1250

解得：x=5

所以，商场平均每天获利能达到1250元

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系.

22、(1)m>---(1)1

12i

【分析】(1)根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；

1

(1)利用根与系数的关系可得出xr⅛=lm+3,xι.χ1=m+l,结合xj+xj=31+x]xi即可得出关于m的一元二次方程，

解之即可得出m的值.

【详解】解：(1)•••方程XL(Im+3)x+m∣+l=0有实数根，

ΛΔ=[-(lm+3)]1-4(m1+l)=llm+l>O,

解得：m≥——.

12

(1);方程χi-(lm+3)x+mi+l=O的两个根分别为xi、xι,

Λxι+xι=lm+3,xι∙xι=m'+l,

Vx∣1+xι1=31+xιxι,

（xι+x∣）*-lxι∙x∣=31+x∣x∣,

即m'+llm-18=0,

解得：mι=l,m∣=-14（舍去），

.∙.实数m的值为1.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式A≥O是解题的关键.

23、（1）7、1,直方图见解析；（2）20人次.

【分析】（1）根据题目所给数据即可得出a、b的值，从而补全直方图；

（2）根据平均数的概念列式求解可得.

【详解】解：（1）由题意知20WxV25的天数α=7,25≤rV30的天数6=1,

补全直方图如下：

故答案为：7、1.

（2）这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数为：

-10×2+12+13+15×2+17+20×6+24+25×2+26+28+30×2CC

X---------------------------------------------------------------------------------=20

20

答：这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数为20人次.

【点睛】

此题考查了频数（率）分布直方图，平均数，正确识别统计图及统计表中的数据是解本题的关键.

24、详见解析

【分析】过D点作DP±AE交AE于点P,利用相似三角形的判定解答即可.

【详解】作图如下：

解：∙.∙DP,AE交AE于点P,四边形ABCD是正方形

：.NAPD=NABE=NBAD=90°,

ΛZBAE+ZPAD=90o,ZPAD+ZADP=90o,

：.ZBAE=ZADP,

XVZAPD=ZABE

.∙.∆DPA<^∆ABE.

【点睛】

此题考查作图-相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答.

25、√73-3,io,OBIIlx2万+36,3乃一迪.