福建福州延安中学2023年数学九年级上册期末联考试题含解析

福建福州延安中学2023年数学九上期末联考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.tan60。的值为（）

A.也B.旦C.也D.V2

33

2.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.如图所示，是AA8C的中线，E是AO上一点，AE:ED^1:3,BE的延长线交AC于F,AF:AC（）

A.1:4B.1:5C.1:6D.1:7

4.已知A样本的数据如下：72,73,76,76,77,78,78,78,B样本的数据恰好是A样本数据每个的2倍，则A,

B两个样本的方差关系是（）

A.B是A的0倍B.B是A的2倍C.B是A的4倍D.一样大

5.关于x的方程2/+3%一7=0的根的情况，正确的是（）.

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

6.下列命题中，真命题是（）

A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似

7.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,贝！Jtan/BAC的值为（）

8.在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2y+l,下列说法中错误的是（）

A.y的最小值为1

B.图象顶点坐标为（2,1）,对称轴为直线x=2

C.当x<2时，）'的值随x值的增大而增大，当x22时，丁的值随x值的增大而减小

D.当x<2时，）'的值随x值的增大而减小，当x22时，y的值随x值的增大而增大

9.x=l是关于x的一元二次方程x?+ax-2b=0的解，则2a-4b的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

10.在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别.其中红球若干，白球5个，袋中的

球已搅匀.若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）

A.4个B.5个C.不足4个D.6个或6个以上

11.如图，将。沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心。.如果半径为4,那么Q的弦AB长度为

12.如图，小正方形边长均为1,则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是

二、填空题（每题4分，共24分）

13.若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线.如图,

自左至右的一组二次函数的图象Ti,Ti,Ti……是标准抛物线，且顶点都在直线尸走x上，八与x轴交于点4（2,

3

0）,4:（42在4右侧），乃与X轴交于点42,Ai,八与X轴交于点A3,A4,....则抛物线7“的函数表达式为

14.已知v上5=己，则x+一y-=___________.

x7x-y

15.如图，OO与直线4相离，圆心。到直线4的距离08=26,Q4=4,将直线4绕点

A逆时针旋转30°后得到的直线刚好与。。相切于点C,则。O的半径=.

16.如图，在平面直角坐标系X。）中，点A3的坐标分别为（2,0）、（2,1）,以原点。为位似中心，把线段A3放大，点

A的对应点A'的坐标为（4,0）,则点8的对应点B'的坐标为.

B"

________.

o\44'尸

BE

17.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则工二的值是

18.在AA8c中，NA8C=30。，AB=百，AC=1,则/ACS的度数为.

三、解答题（共78分）

k

19.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=—与直线y=-2x+2交于点A(-1,a).

⑴求女的值；

⑵求该双曲线与直线尸-2x+2另一个交点B的坐标.

20.(8分)如图，直线/：y=x+〃和反比例函数v=七的图象交于A8两点，已知A点的坐标为(L4).

x

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)求出3点关于原点。的对称点C的坐标；

(3)连接AO,CO,AC,求A4OC的面积.

21.(8分)如图，已知抛物线,丫=办2+勿+0(。*0)与％轴交于人(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,

直线y=-2x+3经过点C,与x轴交于点D.

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t(0VtV3).

①求4PCD的面积的最大值；

②是否存在点P,使得4PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，点AB的坐标分别是（0,3）,（-4,0）.

（1）将AAOB绕点A逆时针旋转90°得到点。，B对应点分别是E，F,请在图中画出入4£尸，并写出£,

F的坐标；

2

（2）以。点为位似中心，将AM尸作位似变换且缩小为原来的在网格内画出一个符合条件的的用耳.

23.（10分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点。恰好落在A3边的G处，点。落在点2处，GR交线段AE

于点G.

（1）求证：\BCyFAAGCt；

（2）若G是AB的中点，AB=6,BC=9,求AG的长.

24.（10分）综合与实践

背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结

果.旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质.所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关健.

实践操作：如图1,在RtZVIBC中，ZB=90°,BC=2AB=12,点O,E分别是边8C,4c的中点，连接OE,将AEOC

绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

问题解决：(1)①当a=0。时，---=；②当a=180。时，---=.

BD----BD----

(2)试判断：当0。&<360。时，——的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

问题再探：(3)当△E0C旋转至A,D,E三点共线时，求得线段BO的长为,

25.(12分)某区为创建《国家义务教育优质均衡发展区》，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该区投入

教育经费9000万元，2018年投入教育经费12960万元，假设该区这两年投入教育经费的年平均增长率相同

(1)求这两年该区投入教育经费的年平均增长率

(2)若该区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该区投入教育经费多少万元

26.(1)计算:|72-l|+2sin45°-而+taM60°；

a5^a+b

(2)已知:=­9

b3b

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.

【详解】tan60°=G，

故选C.

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

2、B

【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

详解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形;

B.是轴对称图形，也是中心对称图形；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形.

故选B.

点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形

的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图重合.

3、D

【分析】作DH〃BF交AC于H,根据三角形中位线定理得到FH=HC,根据平行线分线段成比例定理得到

AFAF1

黑=笠=3据此计算得到答案•

HFED3

【详解】解：作DH〃BF交AC于H,

故选：D.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，作出平行辅助线，灵活运用定理、找准比例关系是解题的关键.

4、C

【解析】试题分析：样本的数据恰好是A样本数据每个的2倍，

.".A,B两个样本的方差关系是B是A的4倍

故选C

考点：方差

5、A

【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况.

【详解】解：•••2f+3x—7=0,

二4=32-4x2x(-7)=9+56=65>0,

•••原方程有两个不相等的实数根；

故选择：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.

6、D

【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

【详解】所有正方形都相似，故D符合题意；

故选D.

【点睛】

此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中

的性质定理.

7、B

【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长，利用勾股定理的逆定理得到AABC为等腰直角三角形，即可求出

所求.

【详解】如图，连接BC,

由网格可得AB=BC=6，AC=V10.BPAB2+BC2=AC2,

.•.△ABC为等腰直角三角形，

/.ZBAC=45°,

贝!)tanZBAC=L

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

8、C

【分析】根据y=(x-2y+l,可知该函数的顶点坐标为(2,1),对称轴为x=2,最小值为1,当x<2时，y随x的增

大而减小，当x22时，y随x的增大而增大，进行判断选择即可.

【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y随x的增大而减小，当x22时，y随x的增大而增大，故C错误，所以答

案选C.

【点睛】

本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键.

9、A

【分析】先把x=l代入方程x2+ax-2b=()得a-2b=/，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可.

【详解】将x=l代入原方程可得：1+a-2b=0,

.'.a-2b=-1,

二原式=2(a-2b)=-2,

故选：A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义.一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.

10、D

【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案.

【详解】解：•••袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，

...红球的个数比白球个数多，

...红球个数满足6个或6个以上，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可.

11、D

【分析】如果过O作OC_LAB于D,交折叠前的AB弧于C,根据折叠后劣弧恰好经过圆心O,根据垂径定理及勾股

定理即可求出AD的长，进而求出AB的长.

【详解】解：如图，过O作OC_LAB于D,交折叠前的AB弧于C,

根据折叠后劣弧恰好经过圆心O,那么可得出的是OD=CD=2,

直角三角形OAD中，OA=4,OD=2,

•，.AD=yjo^-OD2=25/3

.\AB=2AD=4百，

故选：D.

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键.

12、B

【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.

【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为0、2、710.

只有选项B的各边为1、区石与它的各边对应成比例.故选B.

【点晴】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、y=—喜(尤―

【分析】设抛物线71,T2,n…的顶点依次为51,B2,1…,连接481,A2B1,A2B2,A3B2,A3B3,A4B3...,过抛物

线各顶点作x轴的垂线，由A4WA2是等边三角形，结合顶点都在直线尸,x上，可以求出当(3,6),42(4,0),

进而得到八的表达式：y=-G(x-3)2+6,同理，依次类推即可得到结果.

【详解】解:设抛物线乃,72,乃…的顶点依次为Bi,Bi,B3...,连接AiBi,AiBx,A2B2,A3B2,A3B3,A4B3...,过

抛物线各顶点作x轴的垂线，如图所示：

•••△48/2是等边三角形,

AZBiAIA2=60°,

•.•顶点都在直线产乎x上，设

OCi=mB,C,=m，

91'3

/.ZBiOG=30°,

:.N。31Al=30。,

:.OAI=A\B\=2=A2BI9

AAiCi=AiBiecos60o=l,

B}C}-44sin60°=V3,

：.OCi=OAi+AiCi=3,

:A2(4,0),

设A的解析式为：y=a(x-3)2+^,

则0=a(2—3)2+G，

a——^/3，

:.Ti：y=-&(x-3)2+6，

同理，乃的解析式为：)=—也(％—6)2+26，

73的解析式为：y=-—(X-12)2+4A/3>

4

贝！I7”的解析式为：y=-£(x—3X2"T)2+2"TVJ,

故答案为：y=-^-(x-3x2,,_,)2+2n-1x/3.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中锐角三角函数值的应用，直线表达式的应用，图形规律中类比归纳思想

的应用，顶点式设二次函数解析式并求解，掌握二次函数解析式的求解是解题的关键.

14、6

【分析】根据等比设k法，设x=7Z,则y=5攵，代入即可求解

【详解】v2=1

x7

・•・设I=7人,贝孙=5女

y7攵+5攵12k/

,-------=------------=------=6

•x-yIk-5k2k

故答案为6

【点睛】

本题考查比例的性质，遇到等比引入新的参数是解题的关键。

15、1.

【解析】试题分析：VOB±AB,OB=2V3>OA=4,二在直角△ABO中，sinZOAB=—=—,则NOAB=60。；

OA2

又,../CAB=30。，...NOAC=NOAB-NCAB=30。，；直线〃刚好与（DO相切于点C,.•.NACOngO。，...在直角AAOC

中，OC=，OA=1.故答案是1.

2

考点：①解直角三角形；②切线的性质；③含30。角直角三角形的性质.

16、（4,2）

【分析】由题意可知：OA=2,AB=1,。4=4,△OABs^QTB',根据相似三角形的性质列出比例式即可求出

AB'=2,从而求出点8'的坐标.

【详解】由题意可知：OA=2,AB=LOA'=4,

.OA_AB

••市一府

解得：A3,=2

二点B的坐标为（4,2）

故答案为：（4,2）.

【点睛】

此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.

17、同

3

【解析】试题分析：VZBAC=ZACD=90",；.AB〃CD.

BEAB

/.△AABE^ADCE.:.—=——.

ECCD

•.•在RtAACB中NB=45。，.,.AB=AC.

AC/-

,在RtACD中，ZD=30°,CD=---------=J3AC.

tan30°

.BEABACV3

,•EC-CD一石AC-3'

18、60°或120°.

【分析】作AD_LBC于D,先在Rtz^ABD中求出AD的长，解直角三角形求出NACD,即可求出答案.

【详解】如图，作ADJLBC于D,

如图l,在Rt△ABD中，NABC=30。，AB=y/j,AC=1,

1八

.,.AD=—AB=—,

22

立

在RSACD中，sinC=AD_2_6,

ACV

.,.ZC=60°,

即NACB=60。，

同理如图2,

同理可得NACD=60。，

.,.ZACB=120°.

此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意分情况作出图形求解.

三、解答题(共78分)

19、(1)k=Y;(2)B(2,-2)

【分析】(1)将A坐标代入一次函数解析式中求得a的值，再将A坐标代入反比例函数解析式中求得m的值;

(2)联立解方程组，即可解答.

【详解】⑴把点A(“,a)代入y=-2x+2得

<z=-2x(-l)+2=4

k

把点A(・l,4)代入y=—得：k=Y

x

4

>二一一

<x

⑵解方程组［y=_2x+2,

J=2,光2=-1,

解得：］弘=-2,*=4

【点睛】

此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握求两函数图象交点的方法是解答的关键，会解方程(组)是

解答的基础.

415

20、(1)>=一；(2)。的坐标为(4,1)；(3)A4OC的面积为一.

x2

【分析】(1)将点A的坐标代入反比例函数的解析式中即可出答案；

(2)将一次函数与反比例函数联立求出B点的坐标，再根据关于原点对称的点的特征写出C的坐标即可；

(3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可求出MOC的面积.

【详解】(1)将点A(l,4)的坐标代入y=月中，得

X

k

一=4

1

解得左=4

4

...反比例函数的解析式为y=—

x

(2)将点A(l,4)的坐标代入y=x+6中，得

1+力=4

解得8=3

...一次函数的解析式为y=X+3

=4

y—r(

＜xx=\x=-A

_'a解得＜，或＜,

.y=x+3[y=4[y=T

...B的坐标为(-4,T)

,:B点关于原点。的对称点是C

••.C的坐标为(4,1)

(3)如图

SAOC=4x4-gxlx4一;xlx4——.^x(4-l)x(4-l)=^

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，数形结合是解题的关键.

,〜/315、13+质-3+南］

21、(1)y=-x2+2x+3；(2)①3；②|「，丁|或-------,---------

(2I48J

【分析】(D根据直线解析式求出点C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；

(2)①过点P作PE_L)，轴于点F,交DC于点E,用,表示出点P和点E的坐标，PCD的面积用，PE-C。表示,

2

求出最大值；

②分两种情况进行讨论，/尸8=90°或々。。=90。，都是去构造相似三角形，利用对应边成比例列式求出f的值,

得到点P的坐标.

【详解】解：(1)令x=0,则y=3,求出C(0,3),

。一b+c=O(a=-1

将A、B、C的坐标代入抛物线解析式，得9Q+3/?+C=0,解得卜二2,

c=3c=3

••y=—+2x+3;

(2)①如图，过点P作PE，)，轴于点F,交DC于点E,

设点P的坐标是(r,—产+2f+3),则点E的纵坐标为_/+2/+3,

将>=一产+2，+3代入直线解析式，得x=上『，

(户_2t、

...点E坐标是——,-r2+2r+3,

I2J

：.PE=t-^==^,

22

2

**,SPCD=^PE-C(9=^x-^-y^£x3=-1(r-4/)=-1(r-2)-+3»

二_PCD面积的最大值是3；

②..PC。是以CD为直角边的直角三角形分两种情况，

第一种，ZPC£>=90°,如图，过点P作PG_Ly轴于点G,

则PGCCOD,

.•.生=生，即

CODO31.5

3

整理得2/一3f=0,解得4=5，4=0(舍去)，

第二种，ZPDC=90°,如图，过点P作轴于点H,

则PHDDOC,

.PHDH—r+2z+3f—1.5

..——=----,即------------=-------,

DOCO1.53

整理得4/一6/-15=0,解得A=3士糜,/3二病（舍去）,

1424

3+769-3+V69

48

【点睛】

本题考查二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法，三角形面积的表示方法以及构造相似三角

形利用数形结合的思想求点坐标的方法.

22、（1）见解析，£（3,3）,尸（3,0）；（2）见解析

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点O,B对应点E,F,从而得到aAEF,然后写出E、F的坐标;

（2）分别连接OE、OF,然后分别去OA、OE、OF的三等份点得到Ai、Ei、Fi,从而得到△A1E1F1.

【详解】解：（1）如图，尸为所作，E（3,3）,F（3,0）

本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的

关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.也

考查了旋转变换.

9

23、（1）证明见解析；（2）AG=~.

4

【分析】（D利用有两组对应角相等的两个三角形相似证明即可；

（2）先利用勾股定理求出B尸的长，再利用（1）中相似，列比例式即可.

【详解】（1）证明：由题意可知NA=NB=NGC1F=90。，

NBFC]+ZBC,F=90°,ZAC,G+NBC/=90°,

NBFC[=ZAC.G.

ABC.FA4GC1.

（2）是AB的中点，A3=6,

AC〕=BCt-3.

在RMBCF中

由勾股定理得BF2+32=（9-BF）2,

解得：BF=4.

由（1）得MGFMGC,,

..BG即，即3

:.AG——.

4

【点睛】

此题考查的是相似三角形的判定和勾股定理，掌握用两组对应角相等证两个三角形相似、及折叠问题中相等的边和勾

股定理求边是解决此题的关键.

24、(1)①立，②且；(2)无变化，证明见解析；(2)66或曳叵.

225

IIAI7

【分析】问题解决：(1)①根据三角形中位线定理可得：BD=CD=-BC=6,AE=CE=-AC=2^),即可求出一的

22BD

值；

4/7

②先求出3。，AE的长，即可求出丁的值；

BD

(2)证明△EC4s△OC8,可得恒=里=叵;

BDCD2

问题再探：(2)分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求80的长.

【详解】问题解决：

(1)①当a=0°时.

,：BC=2AB=3,

：.AB=6,

AC=J+BC。=不6+12?=6石>

•.,点O、E分别是边3C、AC的中点，

：.BD=CD=-BC=f>,AE=CE=-AC=2J5,DE^-AB,

222

.AE3也y/5

••---=-----=---.

BD62

故答案为：好