【十年真题】近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编02 不等式（教师版）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编不等式(精解精析)

一、选择题

1.(2019年高考数学课标全国I卷理科)已知a=log20.2,b=2°2,C=0.2°3,则()

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

3

解析：tz=log20.2<log2l=0,人=2°2>2°=1,C=0.2°<0.2°=1,.\CG(0,1),故a<c<b.

2.(2018年高考数学课标III卷(理))设】=logo.20.3,Z?=log20.3,贝！J()

A.a+b<ab<QB.ab<a-\-b<0

C.a+b<Q<abD.ab<0<a+b

【答案】B

解析：一方面a=logo20・3£(。4)，b-log20.3e(-2,-1),所以必<0

L=logo30.2,i=log032,所以1+<=Iogo3(0.2x2)=log030.4e(0,1)

abab

所以0<工+!<1即0<巴心<1,而"<0,所以a+b<0,所以巴心<lna+b>aZ?

ababab

综上可知aZ?<a+/?<0,故选B.

2x+3y-3<Q

3.(2017年高考数学课标II卷理科)设X,y满足约束条件2x-3y+3»0,则z=2x+y的最小值是

y+3>0

()

A.-15B.-9C.1D.9

【答案】A

【解析】解法一：常规解法

2x+3y-3<0

根据约束条件2x-3y+3Z0画出可行域(图中阴影部分)，作直线/:2x+y=0,平移直线/,

j+3>0

将直线平移到点A处Z最小，点A的坐标为(-6,-3),将点A的坐标代到目标函数Z=2x+y,

可得Z=—15,即2勒=-15.

解法二：直接求法

对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的

为最小值即可，点A的坐标为（-6,-3）,点5的坐标为（6,-3）,点C的坐标为（0』），所求值分

别为一15、9、1,故2.=-15,Za=9.

解法三：隔板法

首先看约束条件方程的斜率

约束条件方程的斜率分别为-；、0;

33

其次排序

按照坐标系位置排2序0,42；

再次看目标函数的斜率和y前的系数

看目标函数的斜率和y前的系数分别为-2、1；

最后画初始位置，跳格，找到最小值点

目标函数的斜率在，go］之间，即为初始位置，y前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为

最大值点，即第二个格为最小值点，即m只需解斜率为0和1这两条线的交点

即可，其实就是点A,点A的坐标为（-6,-3）,将点A的坐标代到目标函数Z=2x+y,

可得Z=—15,即2血„=一15.

【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般

变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面

变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条

件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法

即可.

x+y-7<0

4.（2014高考数学课标2理科）设X,y满足约束条件x-3y+l<0，则z=2x—y的最大值为

3%-y-5>0

（）

A.10B.8C.3D.2

【答案】B

解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线y=2x-z,可得最大值为8.

考点：（1）二元一次不等式（组）表示平面区域；（2）求线性目标函数的最值问题。

难度：B

备注：常考题

x+V>1

5.（2014高考数学课标1理科）不等式组,的解集记为D.有下面四个命题：

x-2y<4

Pi:eD,x+2y>-2；p2:3（x,GD,%+>2

y?3:V（x,y）eD,x+2y<3；p4:3（x,y）eZ）,x+2y<-l.

其中真命题是（）

A.P2，P3B.Pi，P4c.Pi，P2D.P3P3

【答案】c

_1z

解析:作出可行域如图:设x+2y=z,即y=-5X+5

当直线过4（2,—1）时，^=-2+2=0,：.z>0,“2真命题，选仁

考点：（1）二元一次不等式组表示平面区域（2）求线性目标函数的最值问题

（3）全（特）称命题真假判断（4）数形结合思想

难度:C

备注:高频考点

x>1

6.（2013高考数学新课标2理科）已知a>Q,x,y满足约束条件\x+y<3若z=2x+y的最小值

y>a{x-3）

为1,贝必等于（）

£1

A.B.C.1D.2

42

【答案】B

X=]J

解析：由<得到x=1,y=-1,代入y=a（x-3）得。=—

2x+y=12

考点：（1）7.4.1二元一次不等式（组）表示平面区域；（2）7.4.2求线性目标函数的最值问题

难度：B

备注：高频考点

二、填空题

2x+y-2<0,

7.（2020年高考数学课标I卷理科）若x,y满足约束条件X-y-120,则z=x+7y最大值为

y+i>0,

【答案】1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数z=x+7y即：y=—xH—z,

"77

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

2%+y—2=0

联立直线方程：\,c，可得点八的坐标为：A（l,0）,

x-y-1=0

据此可知目标函数的最大值为：z111ax=l+7x0=l.

故答案为：L

【点睛】求线性目标函数2=6^+以9加0）的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,

z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，

在y轴上截距最小时，z值最大.

x+y>0,

8.（2020年高考数学课标III卷理科）若x,y满足约束条件｛2x-y>0,,则z=3x+2y的最大值为________.

x<1,

【答案】7

解析：不等式组所表示的可行域如图

3Yzz

因为z=3x+2y,所以y=----1—,易知截距一越大，贝1|z越大，

222

3T3x7

平移直线y=-万，当y=-昼+万经过4点时截距最大，此时z最大，

y=2xX=1

由<得c，A(l,2),

X=1卜=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案为：7.

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的

思想，是一道容易题.

x+2y-520,

9.（2018年高考数学课标II卷（理））若尤,y满足约束条件x-2y+320,则z=x+y的最大值为.

x-5W0,

【答案】9

解析：作出可行域，则直线z=x+y过点A（5,4）时z取得最大值9.

x-2y-2<0

10.（2018年高考数学课标卷I（理））若无,y满足约束条件｛x-y+120,则z=3x+2y最大值

y<0

为.

【答案】6

解析：作出不等式组对应的平面区域如图

由z=3x+2y得y=—'3x+1—z,平移直线y=—32x+1—z,由图象知当直线y=—3'x+1—z经过点

222222

A（2,0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3x2=6,故答案为6.

x+2y<l

11.（2017年高考数学新课标I卷理科）设苍y满足约束条件则z=3x—2y的最小值为

x-y<0

【答案】-5

x+2y<l

【解析】不等式«2x+y2-1组表示的可行域为如图所示

x-y<0

易求得A（—1』）,项—丁―丁§）

3z

直线z=3x-2y得y=—G在y轴上的截距越大，z就越小

所以，当直线z=3x—2y过点A时，z取得最小值

所以Z取得最小值为3x（-1）—2xl=-5.

【考点】线性规则

【点评】本题是常规的线性规划问题,线性规划问题常出现的形式有:①直线型:转化成斜截式比较截距,

要注意z前系数为负时，截距越大，z值越小;②分式型:其几何意义是已知点与未知点的斜率;③平方

型:其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方;④绝对值型:转化后其几何意义是

点到直线的距离.

x-y>0

12.（2017年高考数学课标ni卷理科）若X,y满足约束条件（x+y-2<0,则Z=3x—4y的最小值为

y>0

【答案】-1

【解析】绘制不等式组表示的可行域，

3131

目标函数即：y=-x-：z,其中z表示斜率为左=7的直线系与可行域有交点时直线的截距值的--

4444

倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A（l,l）处取得最小值

z=3x-4y=-l.

【考点】应用线性规划求最值

【点评】求线性目标函数2=0*+的（。匕/0）的最值,当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值

最大,在y轴截距最小时,z值最小；当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上

截距最小时,z值最大.

x-y+1，0

13.（2016高考数学课标III卷理科）若羽y满足约束条件，则z=x+y的最大值为

x+2y—2W0

3

【答案】-

2

【解析】作出不等式组满足的平面区域，可知当目标函数经过点A（l,1）时取得最大值，即

,13

Z—1H..-'—.

max22

14.（2016高考数学课标I卷理科）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件

产品A需要甲材料1.5依，乙材料1依，用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5依，乙材料0.3奴,

用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料

150奴,乙材料90版,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为

元.

【答案】216000.

【解析】设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线

性规则约束为

1.5x+0.5yW150

x+0.3yW90

5x+3yW600

目标函数z=2100x+900y

y20

XGN*

yeN

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)

在(60,100)处取得最大值，z=2100x60+900x100=216000

x-y+120,

15.(2015高考数学新课标2理科)若龙,y满足约束条件<x-2yVO,，则z=x+y的最大值为

x+2y-2<0,

3

【答案】-

2

解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y=—x+z,当z取到最大时，直线y=—x+z的纵

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