2023年河北省中考数学真题（解析版）

2023年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷

一、选择题

1.代数式-7%的意义可以是（）

A.-7与X的和B.-7与X的差C.-7与尤的积D.-7与X的商

【答案】C

【解析】

【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答.

【详解】解：-7x的意义可以是-7与尤的积.

故选C.

【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键.

2.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70。的方向，则淇淇家位于西柏坡

A.南偏西70。方向B.南偏东20。方向

C.北偏西20。方向D.北偏东70。方向

【答案】D

【解析】

【分析】根据方向角的定义可得答案.

【详解】解：如图：•••西柏坡位于淇淇家南偏西70。的方向，

淇淇家位于西柏坡的北偏东70。方向.

西柏坡：

故选D.

【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键.

（3A2

3.化简V匕的结果是（）

A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可.

（36

【详解】解：X3—=丁.==盯6,

3x

故选：A.

【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键.

4.1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取一张，则抽到的花

色可能性最大的是（）

（黑桃）（红心）（梅花）（方块）

【答案】B

【解析】

【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案.

【详解】解：；一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花

牌有1张，方片牌有2张，

，抽到的花色是黑桃的概率为一，抽到的花色是红桃的概率为士，抽到的花色是梅花的概率为一，抽到

777

的花色是方片的概率为楙2，

抽到的花色可能性最大的是红桃，

故选B.

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键.

5.四边形A3CD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当ABC为等腰三角

形时，对角线AC的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角形三边关系求得0<AC<4,再利用等腰三角形的定义即可求解.

【详解】解：在中，AD=CD=2,

：.2-2<AC<2+2,即0<AC<4,

当AC=3C=4时，-ABC为等腰三角形，但不合题意，舍去；

若AC=A3=3时，ABC为等腰三角形，

故选:B.

【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

6.若左为任意整数，则（2左+3y—4左2的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【答案】B

【解析】

【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式.

【详解】解:（2左+3产一4左2

=(2k+3+2k)(2k+3-2k)

-3（4左+3）,

3（4左+3）能被3整除，

（2（+3）2—4:2的值总能被3整除,

故选：B.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为片―〃=3—勿3+份通过因式分解，可以把多

项式分解成若干个整式乘积的形式.

7.若a=6,b=用,则不专=（）

A.2B.4C.不D.41

【答案】A

【解析】

【分析】把a=0,>=J7代入计算即可求解.

=^4=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键.

8.综合实践课上，嘉嘉画出△A5D,利用尺规作图找一点C,使得四边形A3CD为平行四边形.图1~

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断.

【详解】解：根据图1,得出的中点0,图2,得出0C=A0,

可知使得对角线互相平分，从而得出四边形A3CD为平行四边形，

判定四边形ABC。为平行四边形的条件是：对角线互相平分，

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理.

9.如图，点4是。。的八等分点.若，PM舄,四边形巴舄的周长分别为a,b,则下列正确的

是（）

A.a<bB.a—bC.a>bD.a,6大小无法比较

【答案】A

【解析】

【分析】连接《鸟,鸟鸟，依题意得《6=鸟鸟=巴巴=62,P,Pb=Pfi,.看鸟鸟的周长为

a=PXP3+P^Pj+P3P7,四边形巴巴62的周长为6=P3P4+P4P6+P6P-j+P3P7，故）-a=PXP2+P2P3-PlP3,

根据《巴鸟的三边关系即可得解.

【详解】连接《鸟,鸟鸟，

•.•点《是《。的八等分点，即：鸟=鸟鸟=鸟乙=以&=鸟"=纭舄=舄/=及〃

••・PR=P2PLp3PLp6P7，P4P6=P4P5+P5P6=PR+砧=.

••=PR

又・.・《月片的周长为a《片+AA，

四边形P3P4P6&的周长为6=+舄《+《£+4A,

/?一。=（6鸟+与《+乙片+吕写）一（66+66+《片）

=（68+6片+6A+片6）—（66+4片+片A）

=PR+6右-AG

在，片鸟鸟中有《鸟+鸟片〉《巴

：.b-a=P\P?+E4—《A〉0

故选A.

【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的

关键.

10.光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46x1012km.下列正

确的是（）

A.9.46x1012_10=9.46x10"B.9.46xl012-0.46=9xl012

C.9.46义1。12是一个12位数D.9.46义1012是一个13位数

【答案】D

【解析】

【分析】根据科学记数法、同底数易乘法和除法逐项分析即可解答.

【详解】解:A.9.46X1012-10=9.46X1011.故该选项错误，不符合题意；

B.9.46x1012-0.46^9x1（）12，故该选项错误，不符合题意；

C.9.46x10。是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；

D.9.46x1012是一个13位数,正确，符合题意.

故选D.

【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数毫乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本

题的关键.

11.如图，在RtZkABC中，A3=4，点M是斜边的中点，以40为边作正方形AMEF,若

S正方形AMEF=16,则SABC=（）

A

A.4百B.86C.12D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方形的面积可求得AM的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定

理求得AC的长，根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：；S正方形AMEF=16,

AM=y/16=4，

中，点M是斜边的中点，

/.BC=2AM=S,

；•AC=yjBC2-AB2=A/82-42=4A/3，

S.c=g义A3xAC=gx4x4^3=8A/3,

故选：B.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一

半”是解题的关键.

12.如图1,一个2x2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图

如图2,平台上至还需再放这样的正方体（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案.

【详解】解：由题意画出草图，如图,

平台上至还需再放这样的正方体2个，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握观察角度是解题关键.

13.在ABC和，AB'C'中，ZB=NB'=30。,AB=AB'=6,AC=AC'=4.已知NC=〃°,贝U

ZC=()

A.30°B.n°C.〃。或180°—/°D.30°或150°

【答案】C

【解析】

【分析】过A作AO13C于点。，过A作AO'LB'C'于点。求得AD=AD'=3,分两种情况讨论,

利用全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：过A作ADIBC于点。，过A'作A。'，5'。'于点DC,

；ZB=NB'=30。,AB=AB'=6,

：.AD=AI>=3,

当B、C在点。的两侧，B'、C在点DC的两侧时，如图，

•：AD=AD'=3,AC=AC'=4,

：.RtAACE^RtAA,CD'(HL),

NC'=NC=n。；

当B、C在点。的两侧，B'、C'在点。时勺同侧时，如图,

,：AD=AD'=3,AC=AC'=4,

RtAACE^RtAAzCD'（HL）,

ZA'C'D'=ZC=n°,即ZA'C'B'=180°—ZA'C'D'=180。—〃°；

综上，/C'的值为〃。或180°—八°・

故选：C.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关

键.

14.如图是一种轨道示意图，其中AOC和ABC均为半圆，点M,A,C,N依次在同一直线上，且

AM=CN.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以大小相同速度匀速移

动，其路线分别为fDfN和0.若移动时间为X,两个机器人之

间距离为y,则y与x关系的图象大致是（）

B

二

【答案】D

【解析】

【分析】设圆的半径为R,根据机器人移动时最开始的距离为40+QV+2R,之后同时到达点A,C,

两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿AfOfC和CfBfA移动时，此时两个

机器人之间的距离是直径2R,当机器人分别沿CfN和移动时，此时两个机器人之间的距离越

来越大.

【详解】解：由题意可得：机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发，

设圆的半径为R，

两个机器人最初的距离是AM+CN+2R,

:两个人机器人速度相同，

分别同时到达点A,C,

.•.两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A,C；

当两个机器人分别沿AfOfC和Cf3fA移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持

不变，

当机器人分别沿CfN和AfM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C,

故选：D.

【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键.

15.如图，直线(〃/2,菱形A3CD和等边在4，4之间，点A，歹分别在4，4上，点、B,D,

E,G在同一直线上：若N(z=5O。，ZADE=146°,则/，=()

A.42°B.43°C.44°D.45°

【答案】C

【解析】

【分析】如图,由平角的定义求得？180?2ADE34?,由外角定理求得,

1AHD?tz?ADB16?,根据平行性质，得？GIF?AHD16?,进而求得

?/3?EGF?GIF44?.

【详解】如图，：ZADE=146°

/.?ADB180?1ADE34?

,：?a?ADB?AHD

；.?AHD2a?ADB50?34?16?

4//Z2

/.?GIF?AHD16?

?EGF?4？GIF

A?/??EGF?GIF60?16?44?

【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等

边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键.

16.已知二次函数y=-尤2和y=X22（%是常数）的图象与X轴都有两个交点，且这四个交点

中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）

2

A.2B.mC.4D.2m之

【答案】A

【解析】

【分析】先求得两个抛物线与％轴的交点坐标，据此求解即可.

【详解】解：令>=。，则—和f—祖2=。，

解得X=0或彳=机2或％=一根或x=m,

不妨设加>0,

•.•（帆0）和（-利。）关于原点对称，乂这四个交点中每相邻两点间距离都相等,

（m2,o）与原点关于点（他0）对称,

2m=m2，

・,•根=2或加=0（舍去）,

加2

1/抛物线y=x--nr的对称轴为x=0,抛物线y=-x2+nrx的对称轴为x="=2,

2

...这两个函数图象对称轴之间的距离为2,

故选：A.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

二、填空题

17.如图，已知点A（3,3）,3（3』），反比例函数y=±（左H0）图像的一支与线段A3有交点，写出一个符合

x

条件的左的数值：.

【答案】4（答案不唯一，满足3K左49均可）

【解析】

【分析】先分别求得反比例函数y=A（左片0）图像过A、B时上的值，从而确定上的取值范围，然后确定符

X

合条件左的值即可.

【详解】解：当反比例函数y=上伏/0）图像过A（3,3）时，左=3x3=9；

当反比例函数y=A（左h0）图像过3（3,1）时，左=3x1=3；

x

..4的取值范围为3«左49

可以取4.

故答案为4（答案不唯一，满足34左49均可）.

【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的左的值是解答本题的关键.

18.根据下表中的数据，写出a的值为.6的值为.

X2n

结果

代数式

3%+17b

2x+l

a1

X

【答案】①.-②.-2

2

【解析】

2无+12%+1

【分析】把％=2代入得-----=a可求得〃的值；把不二〃分另U代入3%+1=＞和------=1,据此求解即

x9x

可.

【详解】解：当不二〃时，3x+l=b,即3〃+1=/?,

“,2x+l口口2x2+15

当尤=2时，-----=a,即Q=------------=—

x22

,.2x+l12n+l1

当不=〃时，------=I,即nn------=I,

xn

解得〃=—1,

经检验，〃=-1是分式方程的解,

/?=3x(-1)+1=-2,

故答案为：一；—2

2

【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键.

19.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在

直线，上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2,其中，中间正六边形的一边

与直线/平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中

(1)4a=______度.

(2)中间正六边形的中心到直线/的距离为(结果保留根号).

000r000

图I图2

【答案】①.30②.2A/3

【解析】

【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；

（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线/的距离转化为求

ON=OM+BE,再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解.

【详解】解：（1）作图如下：

图2

根据中间正六边形的一边与直线/平行及多边形外角和，得NABC=60。，

ZA=Za=90°-60°=30°,

故答案为：30；

（2）取中间正六边形的中心为O,作如下图形，

PEN

图2

由题意得：AG//BF,AB//GF.BF±AB,

，四边形ABFG为矩形，

:.AB=GF,

ABAC=ZFGH,ZABC=Z.GFH=90°,

RtABC^RtGM(SAS),

:.BC=FH,

在中，DE=l,PE=j3，

由图1知AG=BF=2PE=273，

由正六边形的结构特征知：OM=-x243=^3,

2

BC=1(BF-CH)=73-1,

BC

AB==金=3-6

tanABAC

3

:.BD=2-AB=6-1，

又・DE=-x2=l,

2

:.BE=BD+DE=s/3>

ON=OM+BE=2y/3

故答案为：2.

【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质,

解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征.

三、解答题

20.某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新

投，计分规则如下:

投中位置A区8区脱靶

一次计分(分)31-2

在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.

(2)第二局，珍珍投中A区七次，8区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求左的

值.

【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；

(2)k=6.

【解析】

【分析】(1)根据题意列式计算即可求解;

(2)根据题意列一元一次方程即可求解.

【小问1详解】

解：由题意得4x3+2xl+4x(—2)=6(分)，

答：珍珍第一局的得分为6分；

【小问2详解】

解：由题意得3左+3x1+00—左一3)x(—2)=6+13,

解得：k=6.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系，列出方程，再求解.

21.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示某同学分别用6张卡片拼出

了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3,其面积分别为Si.S2.

乙乙乙乙乙丙

图2图3

(1)请用含。的式子分别表示HS；当。=2时，求4+02的值;

(2)比较M与S?的大小，并说明理由.

=

【答案】(1)S]=+3a+2,S25a+1,当a=2时，5)+S2=23

(2)，＞邑，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意求出三种矩形卡片的面积,从而得到5,S2,，+$2,将a=2代入用=/.表示5+S,

的等式中求值即可；

(2)利用(1)的结果，使用作差比较法比较即可.

【小问1详解】

解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲=/,S乙=a,S丙=1,

S]=S甲+3s乙+2s丙—ci"+3a+2,S?=5s乙+S丙=5a+1,

S]+=(。-+3a+2)+(5a+1)=+8a+3,

2

.,.当。=2时，Sj+S2=2+8x2+3=23；

【小问2详解】

4〉邑，理由如下：

'/S]=ci+3a+2,S?=5a+1

S[—S,=(q-+3ci+2)-(5a+1)=a~—2a+1=(a-1)一

,：a>1,

：.s.-s,=(«-i)2>0,

>s2.

【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解

题的关键.

22.某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度

从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档.公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5

分，则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份

问卷中的客户所评分数绘制的统计图.

(1)求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；

(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评

分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与(1)相比，中位数是否发生变

化？

【答案】(1)中位数为3.5分，平均数为3.5分，不需要整改

(2)监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由3.5分变成4分

【解析】

【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；

（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的

问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解.

【小问1详解】

解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；

3+4

，客户所评分数的中位数为：——=3.5（分）

2

由统计图可知，客户所评分数的平均数为：-------土上’——土上^=3.5（分）

20

，客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，

该部门不需要整改.

【小问2详解】

设监督人员抽取的问卷所评分数为无分，则有：

3.5x20+%>355

―20+1--

解得：x>4.55

•••调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，

•••监督人员抽取的问卷所评分数为5分，

：4<5,

...加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，

即加入这个数据之后，中位数是4分.

...与（1）相比，中位数发生了变化，由3.5分变成4分.

【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加

权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键.

23.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1机长.嘉嘉在点A（6,l）处将沙包（看成点）抛出，并运

动路线为抛物线。1：y=。0-3）2+2的一部分，淇淇恰在点8（0,c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运

1H

动路线为抛物线。2：y=——炉+—x+c+i的一部分.

88

（1）写出G的最高点坐标，并求a，c的值；

（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件

的”的整数值.

【答案】（1）G的最高点坐标为（3,2）,a=c=l；

（2）符合条件的w的整数值为4和5.

【解析】

【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点A（6,l）在抛物线上，利用待定系数法即可求得。的值;

令x=0,即可求得c的值；

（2）求得点A的坐标范围为（5,1）（7,1）,求得w的取值范围，即可求解.

【小问1详解】

解：：抛物线G：〉=a（x—3f+2,

•••G的最高点坐标为（3,2）,

•・•点A（6,l）在抛物线C:y=a（x-3）2+2上，

1

1=tz（6—3）9~+2,解得：a=——,

11

抛物线G的解析式为y=—§（X—3户9+2,令x=o,则c=—§（0—3）29+2=1；

【小问2详解】

解：：到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，

...点A的坐标范围为（5,1）（7,1）,

1”

当经过（5,1）时，1=——X52+-X5+1+1,

88

解…得71=—17;

1M

当经过（7,1）时，1=——x7?+—义7+1+1,

88

解得n=—；

7

1741

—<n<—

57

，符合条件的n的整数值为4和5.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解

题的关键.

24.装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆。，AB=50cm,如图1和图2所

示，为水面截线，G"为台面截线，MN//GH.

计算：在图1中，已知MN=48cm,作OCLMN于点C.

（1）求OC的长.

操作：将图1中的水面沿G"向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当NAW=30°时停止滚动，如

图2.其中，半圆的中点为Q,G”与半圆的切点为E,连接OE交于点£».

图2

探究：在图2中

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）连接。。并延长交G8于点R求线段EF与的长度，并比较大小.

【答案】（1）7cm；（2）=cm；（3）EFEQ=.cm,EF>EQ-

236

【解析】

【分析】（1）连接ON,利用垂径定理计算即可；

(2)由切线的性质证明OE，GH进而得到OE，MN,利用锐角三角函数求OD,再与(1)中OC相减

即可；

(3)由半圆的中点为。得到NQO3=90。，得到NQOE=30°分别求出线段所与的长度，再相减比

较即可.

【详解】解：(1)连接，

为圆心，ACV=48cm,

：.MC=-MN=24cm,

2

;AB=50cm,

OM=—AB=25cm,

2

・••在RLOMC中，

OC=yjOM2-MC1=V252-242=7cm-

GH

图1

(2)与半圆的切点为E，

OELGH

•：MN//GH

OEL儿W于点。，

•：ZANM=30°,ON=25cm,

125

OD=-ON=—cm,

22

，操作后水面高度下降高度为：

-2-5---7r=——11cm.

22

(3)；OE工MN于点、D,ZANM=30°

：.NDQ3=60°,

•••半圆的中点为Q,

4。=。5,

ZQOB=90°,

ZQOE=30°,

/.EF=tanZQOEOE=,

L八30x7rx2525兀

EQ=-------------=------cm,

1806

•・25425兀5073-257125（26—兀）

3666

EF>EQ.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性

质构造直角三角形是解题关键.

25.在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(无》)移动到点(x+2,y+l)称为一次甲方式：

从点(x，y)移动到点(x+Ly+2)称为一次乙方式.

例、点P从原点。出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点”(4,2)；若都按乙方式，最终移动

到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点£(3,3).

36912151»2124273033*r

(1)设直线4经过上例中的点求4的解析式；并享谈写出将4向上平移9个单位长度得到的直线

4的解析式；

(2)点P从原点。出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点。(xy).其中，按甲

方式移动了机次.

①用含m的式子分别表示羽V；

②请说明：无论相怎样变化，点。都在一条确定的直线上.设这条直线为4,在图中直接画出4的图象；

（3）在（1）和（2）中的直线乙，，上分别有一个动点A5C，横坐标依次为。，仇c,若A,B,C三点

始终在一条直线上，直接写出此时a,b,c之间的关系式.

【答案】（1）4的解析式为y=—x+6；4的解析式为y=-％+15；

（2）②4的解析式为，=一％+30,图象见解析;

（3）5a+3c=8b

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法即可求出4的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线4的

解析式；

（2）①根据题意可得：点尸按照甲方式移动机次后得到的点的坐标为（2加,加），再得出点（2加,加）按照乙

方式移动（10-加）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；

②由①的结果可得直线。的解析式，进而可画出函数图象；

（3）先根据题意得出点A,B,C的坐标，然后利用待定系数法求出直线A3的解析式，再把点C的坐标代

入整理即可得出结果.

【小问1详解】

设4的解析式为、=履+6,把M（4,2）、N（2,4）代入，得

4k+b=2k=-1

c,,J解得：1

2k+b=4b=6

，4的解析式为y=-x+6；

将4向上平移9个单位长度得到的直线12的解析式为y=-x+15；

【小问2详解】

①：点尸按照甲方式移动了机次，点尸从原点。出发连续移动10次，

点尸按照乙方式移动了（10—加）次，

点尸按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2加,加）；

点（2m,m）按照乙方式移动（10-m）次后得到的点的横坐标为2加+10—m=加+10,纵坐标为

m+2（10—m）=20—m,

x=m+10,y=20-m；

②由于％+，=m+1。+20-机=30,

...直线k的解析式为y=—X+30；

函数图象如图所示：

A（a,—a+6）,_8（仇—Z?+15）,C（c,—c+30）,

设直线AB的解析式为y=mx+n,

把A、8两点坐标代入，得

19

m=-Id--------

ma+n=—a+6b-a

，汕+〃=-"15'解得:

「9a

n=o---------

b-a

（QA9a

・・・直线A5的解析式为-1+^-x+6---,

Ib-a）b-a

YA,B,。三点始终在一条直线上，

J—1+—]+6--=-c+30,

Ib-a）b-a

整理得：5a+3c=8b；

即〃，b,c之间的关系式为：5a+3c=8b.

【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、

熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键.

26.如图1和图2,平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=2^/u,CD=12,DA=6,ZA=90°,M

在A。边上，且£>M=2.将线段MA绕点加顺时针旋转"°(0<”4180)到MA,NA'MA的平分线"尸

所在直线交折线AB—BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接A'P.

图I图2箸用图

(1)若点尸在AB上，求证：AP=AP；

(2)如图2.连接30.

①求NCfiD的度数，并直接写出当“=180时，x的值；

②若点尸到5。的距离为2,求tan/A'MP的值；

(3)当0〈龙K8时，请享谈写出点A'到直线A3距离.(用含x的式子表示).

723

【答案】(1)见解析(2)①NCBD=90。，x=13；②一或一

66

【解析】

【分析】(1)根据旋转的性质和角平分线的概念得到A"=40，ZAMP=ZAMP,然后证明出

NAMP^AMP(SAS),即可得到AP=AP；

(2)①首先根据勾股定理得到BD=y/AB、A3=I。,然后利用勾股定理的逆定理即可求出

ZCBD=90°；首先画出图形，然后证明出VOM0SVO5A,利用相似三角形的性质求出DN=3，

3

Q

MN=-,然后证明出VPBNsVDWN,利用相似三角形的性质得到P3=5,进而求解即可；

3

②当尸点在A3上时，PQ=2,ZAMP=ZAMP,分别求得3RAP,根据正切的定义即可求解；②

当尸在上时，则？B=2,过点尸作尸QIAB交AB的延长线于点Q,延长交AB的延长线于

点”，证明4PQ3S,54D,得出PQ=1PB=|,BQ=|pB=g,进而求得AQ,证明

_HPQS_HMA,即可求解；

(3)如图所示，过点A作A'E,AB交AB于点E,过点M作叱，AE于点/，则四边形AMEE是

矩形，