江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高一强基班上学期阶段检测数学试题

江苏省前黄高级中学2025届高一强基班阶段检测

（数学卷）

一、单选题

1.已知直线4的斜率为石，直线4的倾斜角是直线4的倾斜角的2倍，则直线、的斜率为（）

A.YB.—C.--D.A/3

33

2.已知数列｛q｝满足为=sin2.（“eN*）,则｛为｝的前10项的和为（）

1311

A.—B.6C.5D.—

22

3.已知数列｛6,｝是等比数列，且。2=2，a3-a5=16,则a；+a；+…+a；=（）

A.2"-2B.2,,+1-2C.2n-lD.2,,+1-l

4.已知函数/（x）=x3—4D.lnx+3,则曲线y=/（x）在（ej（e））处的切线斜率为（）

5.数列｛4｝是等比数列，首项为q,公比为q,则—1）<0是“数列｛4｝递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知点P（2,3）和圆C：（x+3y+（y—10）2=25,一束光线从点P出发，经过直线y=%反射后到达圆C

上一点的最短路程是（）

A.4B.5C.6D.7

7.已知。=©。。2,b=1.012,c=In2.59,贝!J（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

8.已知实数X1,x2,y｝,当满足不；+才=4,x；+y；=4,X1X2+^y2=0,则,+y—4|+上+%一4

的最大值是（）

A.3&B.6C.672D.12

二、多选题

9.过点P（l,3）的直线与x轴，y轴正半轴分别交于点A,B,贝“。4|+|O@的可能值是（）

A.7B.7.4C.4+26D.8

10.设等比数列｛叫的公比为g,其前〃项和为S”，前〃项积为雹，且满足条件4>1,。2022/2023>1，

（%022-1）.（4023一1）<。，则下列选项正确的是（）

A.｛%｝为递减数列B.S2022+1<S2O23

C.（022是数列｛1,｝中的最大项D.小5<1

11.下列四个命题表述正确的是（）

A.横纵截距相等的直线斜率为一1

B.圆d+,2=4上有且仅有3个点到直线/：x—y+0=O的距离等于1

C.曲线G：V+y2+2尤=。与曲线g：x2+y2—4x-8y+m=0恰有三条公切线，则加=4

D.已知圆C：/+9=4,点p为直线二+）=1上一动点，过点p向圆C引两条切线以，PB,A,B为切

44

点，则弦AB长度的最小值为2及

12.对于函数/（力=2/+3/+次+4,c,deR,下列说法正确的是（）

A.函数/（x）的图象关于点（—gJ二2d］中心对称

B.函数“X）有极值的充要条件是c<1

C.若函数/（X）有两个极值点X1,x2,则

D.若c=d=-12,则过点（3,0）做曲线y=/（x）的切线有且仅有2条

三、填空题

13.已知点4（2,2）,5（8,4）,直线/：〃a—y+6—4〃?=0,若直线/与线段AB有交点，则实数机的取值

范围为.

14.已知等差数列｛4｝满足为+%+43>0，4。+/<0，记S“表示数列｛«„｝的前n项和，则当S,S“+1<0

时，〃的取值为.

15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m,0）,B（m+4,0）.若圆C：x?+（^一3根『上存在点p,使

得ZAPB=45°,则实数m的取值范围是.

16.已知不等式e*—21nx>G：2_x+ina对任意的%«0,田）都成立，则实数a的取值范围是.

四、解答题

17.圆O：/+3/2=9内有一点玲（_1,2）,过外的直线交圆于A、8两点.

(1)当弦AB被玲平分时，求直线AB的方程；

(2)若AAOB为直角三角形，求直线A8的方程.

18.在平面直角坐标系X。)，中，己知△ABC的顶点B(T,2),BC边上中线AO所在直线方程为5x-3y-3=0,

AB边上的高CH所在直线方程为2x+y—9=0,求：

(1)顶点A的坐标；

(2)AABC外接圆的一般方程.

19.己知数列｛4｝的前n项和为S„，满足3s“=2(。”—1)，也｝是以q为首项且公差不为0的等差数列，打，

b3,打成等比数列.

⑴求数列｛为｝,｛a｝的通项公式;

(2)令%=a力”,求数列｛%｝的前〃项和Tn.

20.已知函数=.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)求函数“X)的单调区间；

(3)当xe[2,3]时，如果曲线y=/(x)恒在x轴上方，求a的取值范围.

21.已知数列｛%｝满足q=2,4川=3。“+2”7,〃eN”.

(1)求｛%｝的通项公式和前n项和Sn；

⑵设d=Iogg(a,,+2"T)+l,若不等式151+411+]1+,卜JlOn+15,对于任意〃eN*

都成立，求正数k的最大值.

22.已知awR,函数〃x)=e*+办2,g@)是“力的导函数.

(1)当a>0时，求证：存在唯一的[-],0)使得g($)=0；

(2)若存在实数a,b,使得恒成立，求。一。的最小值.

参考答案

1.A【详解】直线4的斜率为G，即tana=G，所以倾斜角为a=60°,

所以直线，2的倾斜角为2a=120°,斜率&=tan120。=—JL故选：A.

117r11JI24

2-D【详解】由题可知一〃又"二己n,HEN的周期7=—=4,

4=55<-5,3571

I

且4=g,〃2=1'。3=；，%=0，

故该列数列的前项的和为

102x("+a2+q+%)+4+a2=2x2+g+l=T故选：D.

3.B【详解】•••｛&｝为等比数列，故｛a；卜也为等比数列,

2

由生9=d=16,又；4=2，的公比满足/=勺=4,则d=2,

而的=qq=2,平方得=4,a；=2,

20-2")

.••｛屋｝是以。；=2为首项，2为公比的等比数列，其前〃项和a；+a；++a；

1-2

故选：B.

4.C【详解】依题意，/(X)=3X2_?1,令无=1,

故r⑴=3-Zill,解得(，⑴=2,故/'(x)=3f一L故r(e)=3e2—L故选:C.

2xe

a,>0

5.B【详解】由已知4(q—l)<0,解得<1或Jq<o,a“=%q

q>i

此时数列｛%｝不一定是递减数列，所以4色一1)<0是“数列｛%｝递减”的非充分条件;

4>0v0~/、

若数列｛a,,｝为递减数列，可得，或«I,所以4(q_l)v0,

0<q<\

所以q(q—1)<0是“数列｛a,,｝递减”的必要条件.

所以“q(q-1)<0”是“数列｛a“｝为递减数列”的必要不充分条件.故选：B.

6.B【详解】解：设点P(2,3)关于直线y=x的对称点为P'(a,8)，

二一i

a=3

则《/—Ic，解得._,所以点P(2,3)关于直线y=x的对称点为P(3,2),

b+2。+32

22

由题可知圆C：(x+3f+(y—10)2=25的圆心为c(—3,10),半径r=5,

最短路程即为|PC|—r=J(3+3)2+(2—10『一5=10—5=5.故选：B.

7.C【详解】解：因为0=lnl<ln2.59<lne=l,即0<c<l,

(1V/iniA2

因为a=e°m=el()0>1,^=1.012=—>1,

IJIWOJ

要比较a、6的大小关系只需比较e击与Wl=l+二一的大小关系，

100100

4,/(x)=ex—x—LXG(0,1),则[(x)=e'-1>0,

所以在（0,1）上单调递增，所以/（力＞/（0）=0,即e”＞x+l,当x一时，e1^>—>1,

100100

<_1_\2

又y=f在（o,+8）上单调递增，所以e而即。＞人＞1,所以Q〉b＞C.故选：C.

\/

设A(X],yJ,则原题等价于点A,8是圆九2+)1=4上两点，

UUUlUUU1

并且OA=(x，yJ,08=(%,%)，OA-OB=x]x2+y]y2=0,所以Q4_LOB,

小+%-4|民+%~~4|

1%+*一4|+|%2+%-4|=近+\p2,x

#+6

所以所求最大值就是4,8两点到直线x+y-4=0的距离之和［4）|+忸目的Q倍，

设48的中点为M,由上图可知：|阴+忸同=2附目，就是M点到直线x+y—4=0的距离的2及倍,

由于"BO是直角三角形，［0陷=（|4网=；*2夜=夜，

设AB的中点为M,所以M在圆必+）心=2上运动，

所以本题等价于求M到直线x+y-4=0的距离20倍的最大值,

显然，最大值=原点0到直线X+y—4=0的距离与圆炉+y2=2的半径之和的2及倍

2及x+7212；故选：D.

9.CD【详解】设直线方程为2+2=1（4>0,8>0）,由题得工+。=1,

A3ab._

所以|04|+|。耳=.+/?=（4+。）一+一4+—+—>4+2,—--=4+2V3.故选：CD

abba

10.ACD【分析1根据题意，求得q的范围，再根据等比数列的性质，对每个选项进行分析，即可判断和选

择.

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，且4>1,生022・。2023>1，故4>0,该数列为正项等比数列；

若4=1,显然不满足题意，舍去；若q>l,则不满足（%022一1）.（。2023一1）<0,舍去；

若4e（0,1）,则该数列为单调减数列，由（叼022—1）.（g023—1）<0，

故可得生022〉1，0<%023<1或°<。2022<1，。2023〉1，

显然0<a2O22<1,生023〉1不满足题意，故舍去，则出022>1>0<a2O23<1

对A：因为q>l,ae（O,l）,故数列｛4｝为单调减数列，A正确；

对B：々023<1，即1^2023—^2022<1,即^2022+1〉<52023,故B错误；

对C：因为｛。“｝单调递减，且“2022〉1，。2023<1，故]的最大值为4）22，C正确；

对D：看M二々1%〃4045=（%023）〈匕故D正确；故选：ACD.

11.BCD【详解】A.当直线过原点时，直线的横纵截距为0,这时直线的斜率不一定为一1,故A错误；

L围

B.圆f+>2=4的圆心（O,。）到直线％—y+0=O的距离为宁=],而圆的半径为2,

则平行于/且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切，

所以圆/+y2=4上有且仅有3个点到直线x-y+&=0的距离等于1,故B正确;

C.圆C：/+9+2*=0圆心（一1,0）,半径4=1,

圆。2：*2+,2一4%-8^+"2=0的圆心（2,4）,半径弓=J20—,然（4<20）,

依题意两圆外切，则|GG|=4+G，即1+J20-必=5,解得加=4,故C正确；

对于D,圆C：d+y2=4的圆心(0,0),厂=2,点C到直线x+y=4的距离d=2j5,

则|P小拒不7,由切线长定理知，直线尸C垂直平分线段A8,于是得:

当且仅当点P是过圆心C向直线x+y=4作垂直的垂足时取“="，即弦A8长度的最小值为20,故D正

确.故选：BCD.

12.ABC【详解】由题意得r(x)=6d+6x+c,则一一—=J-c+2”,

2x62V2J2

对于A,/(x)+/(-l-x)=l-c+2J,则/(x)的图象关于点匕号”)中心对称，故A正确，

对于B,若/(x)有极值，则A=36-24。>0,得c<；,故B正确，

对于C,若/(X)有两个极值点X],x2,则%+工2=-1，玉/=£,

d+无；=卜；+考)2-2小；=(1一£|暇喊一±+1/(。_6)2_1，

31

而c<2,故x：+£>—,故C正确，

对于D,c=d=-T2,则/(x)=2d+3x2—12x—12,/'(x)=6%2+6x—12,

/(3)*0,设过点(3,0)的直线与y=/(x)相切于点，

力3.a产_1。

则/'（，）=6/+6,—12=----=--------------,整理得4/—15/―187+48=0,

令g(x)=4/-15x2-i8x+48,/(X)=12X2-30X-18=6(X-3)(2X+1),

令g'(x)>0,得x<3或%>-；，令g'(x)<0,得一;<x<3,

故g(x)有极大值g(-j>°，极小值g⑶<。，

由三次函数性质得g(1)=0有三个解加小％，且/'(4)*/'&)吟/«3)，

则过点(3,0)做曲线y=/(x)的切线有3条，故D错误，故选：ABC.

13.[2,+oo)【详解】•・•〃比―y+6—4m=0,即n?(x-4)-(y—6)=0,

x—4=0|x=4

令《，则《，即直线/过定点尸（4,6）,且斜率％=机,

y-6=0[y=6V1

6-26-4_1

则G2,

4-2一2,

即mN2或/故答案为：f—oo,——、,[2,+oo）.

根据题意结合图形可得Z22或

2

14.23【详解】4]+。[2+。13=3〃]2>°，故。12>0，4()+卬5=42+43<0，故63<0，故d<0,

%=如+%)>23=23出a

>0,SM~~{\+。24卜24=12(42+/)<0.

SnSn+}<0,故〃=23.故答案为：23.

2+V19°

15.—,2

/2\,

16.0,—【详解】不等式e“-21nx>G?-x+]na可变形为e'+xAo^+lnor2=0"""+lnox2.

、44

令/(〃)=e"+M,则r(〃)=e"+l>0.所以函数/(“)在R上单调递增.

不等式e'+x〉ehl-+lnox2等价于/(x)>/0nac2),所以尤>lno?,gpe>ax2,

e*,、e*/、，/、e'(x-2)

因为X>0,所以a<-y.设g(x)=-y(x>o),则g(x)=―一-.

当XG(O,2)时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,2)上单调递减；

当xe(2,+oo)时，g'(x)>0,函数g(x)在(2,+o。)上单调递增.

22,2、

所以g(x)min=g(2)=J，又Ina有意义知a>0.所以0<〃<彳.故答案为：0,—.

44I4；

17.(1)x-2y+5=0；(2)冗一y+3=0或尢-7y+15=0.

【详解】⑴因弓(一1,2)在圆O：》2+y2=9内，过外的弦AB被外平分,

则ABLOP0,而直线。4的斜率为kOPo=-2,

因此直线AB斜率为:，方程为y—2=g(x+l),即x—2y+5=0,

所以直线AB的方程为x-2y+5=O.

(2)因直线4B过圆。内的点发(一1,2),则A4OB为等腰三角形，

又AAOB为直角三角形，必有NA08=90°,

而圆。：V+>2=9半径为3,因此圆心0到直线A3的距离”=孚，显然直线AB的斜率存在,

设直线AB的方程为：y—2=左(％+1),即依一y+Z+2=0,由仪生=九2解得左=1或女=',

\lk2+]27

于是得直线A&x—y+3=0或3%-丁+5=0,

所以直线AB的方程为x-y+3=0或x—7y+15=0.

18.(1)A(3,4)；(2)7f+7y—-22x—26y—5=0.

【详解】(1)因为A8边上的高CH所在直线方程2x+y-9=0,

所以心《x(—2)=—1,解得：

所以直线AB的方程为y—2=；(x+l),即x—2y+5=0.

5x-3y-3=0八,x=3

解得：,即A(3,4).

x-2y+5=0y=4

ft-\11-2-

因为点在直线上，所以可设(则中点为

(2)C2x+y-9=0Cf,9—2f),BC2)

把[〒，一^―J代入直线AO：5x-3y-3=0,

有“(F「"I与‘卜3=d解得：t=4,所以。(4,1).

经过A(3,4),B(-l,2),C(4,l)可设为：x2+y2+Dx+Ey+F^O,

22

D=——

32+42+3D+4£+F=07

-26

所以＜(—1)?+22—£＞+2E+E=0,解得：＜E=——

7

42+l2+4D+E+F=0

广5

F——

7

所以ZV3C外接圆的方程为71+7/―22%—26y—5=0.

,v,,.「8—(3〃一4)(一2)"

19.(1)«„=(-2),4=3〃-5；⑵Tn=———J~

【详解】⑴由3S“=2(%—1),取〃=1可得3sl=2(q—1),又£=q,

所以3q=2(q—1),则q=-2.

3S,=2(4—1)

当〃之2时，由条件可得《"'、，两式相减可得，a“=—2a,i，乂%=—2,

3s,1=2(%-1)

所以2-=-2,所以数列｛4｝是首项为-2,公比为一2的等比数列，故％=

an-\

因为々=q=—2,设等差数列也｝的公差为"，则仇=—2+d,4=—2+2d,，—2+6d，

由打，瓦,打成等比数列，所以（—2+21）2=（—2+d）（—2+6。），

又d芋0,所以解得4=3,故"=3〃-5.

⑵C”=。也,=(3〃-5)(-2)"，

2?，

Tn=(-2)x(-2)'+1x(-2)+4x(-2)++(3/j-5)x(-2y,

-27；,=(-2)x(-2)2+1x(-2)'+4x(—21++(3/2-8)x(-2)M+(3/2-5)x(-2y

相减得37；=4+3〔(—2)2+(-2丫+(—2)4++(-2)"]-(3n-5)x(-2)n+l,

所以37；=4+34一(；2)-—(3n-5)x(-2)，，+l,所以37；=8-(3〃-4)(一2)"，

1-(-2)

8-(3n-4)(-2)，，+l

所以7；=―----△~.

"3

20.(1)y=-\(2)见解析(3)I-00,—|

【详解】(I)a=l时，/(x)=lnx—尤，/,(x)=--1=-~

故/(1)=—1,/'(1)=0,故切线方程是：y+l=O,即y=—l；

(2)f'(x\=——a=^~>x>0>

xx

①当aWO时，由于x>0,故1-办>0,二/'(x)>0,

/./(x)的单调递增区间为(0,”)，无单调减区间；

②当a〉0时，令/'(x)=0,得彳=,，

在区间(0,5)上，/'(x)>0；在区间+oo)上，:(力<0；

.••/(X)的单调递增区间为(o,J,单调递减区间为(J+00)

综上，当aWO时，/(X)的单调递增区间为(0,+8),无单调减区间；

当“>0时，外力的单调递增区间为(0,单调递减区间为+00)

(3)由题意知/(x)>0在［2,3］上恒成立，即"皿在［2,3］上恒成立,

令/?(尤)=处，XG［2,3］,则〃(司=上坐，

XX

令〃'(x)>0,解得：0<%<e；令〃'(x)<0,解得：x>e；

故〃(x)在［2,e)递增，在(e,3］递减，而刈2)=三=ln25<〃(3)=肾=ln33,

.•.在［2,3］上〃(力强=%(2)=(,故4<，，即〃的范围为18,

3”+11

21.(1)a„=3n-2n~l；S=-----2"——(2)4

"n"22

【详解】⑴%=2,an+］=3an+2"-',neN\可得。,用+2"=3(。"+2”1，q+2°=2+2°=3,

所以｛a,,+2"。是以3为首项、3为公比的等比数列，所以a“+2"T=3",则4=3"-2"。neN*；

S„=3'-2°+32-2+33-22+L+3H-2,,_|

=(3l+32+33+---+3,,)-(2°+2'+22+---+2n-1

nW+I

_3x(l-3)l-r_32„1

一—1^31^2~2,

(2)4=3"-2"T,〃eN*,

石

bn=log^(a“+2"-')+1=log(3"-2"-'+2"T)+1=log63"+1=