广东省深圳市育才第二中学2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

广东省深圳市育才第二中学2023-2024学年数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，该几何体的主视图是（）

A.口1>.△C川D.1

2.抛物线y=-f+4x—4与坐标轴的交点个数为（）

A.（）B.1C.2D.3

3.如图，点B,C,D在。O上，若NBCD=30。，则NBOD的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

5.下列一元二次方程中，有一个实数根为1的一元二次方程是（）

A.x2+2x-4=0B.x2-4X+4=0

C.x2+4x+10=0D.x2+4x-5=0

6.某次数学纠错比赛共有1（）道题目，每道题都答对得1（）分，答错或不答得0分，全班4（）名同学参加了此次竞赛，他

们的得分情况如下表所示：

成绩（分）5()60708090100

人数25131073

则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）

A.75,70B.80,80C.70,70D.75,80

7.对于题目“如图，在中，厶口二第二^7二人次;二二^是厶^边上一动点，尸。丄AC于点。，点E在点

尸的右侧，且PE=1，连接CE,P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点8时，P停止运动，在整个运动过

程中，求阴影部分面积5+$2的大小变化的情况”甲的结果是先增大后减小，乙的结果是先减小后增大，其中（）

A.甲的结果正确B.乙的结果正确

C.甲、乙的结果都不正确，应是一直增大D.甲、乙的结果都不正确，应是一直减小

8.已知。0的直径是8,直线/与。有两个交点，则圆心。到直线/的距离”满足（）

A.0<tZ<4B.0<J<4C.0<iZ<4D.0<J<4

9.如果两个相似三角形的面积比是1：4,那么它们的周长比是（）

A.1：16B.1：6C.1：4D.1：2

10.一个直角三角形的两直角边分别为x,y,其面积为1,则y与x之间的关系用图象表示为（）

11.如图，太阳在A时测得某树（垂直于地面）的影长£。=2米，8时又测得该树的影长CD=8米，若两次日照的

光线PE丄PC交于点P,则树的高度为尸。为（）

O..P/

***

EDC

A.3米B.4米C.4.2米D.4.8米

12.二次函数,丫=0?+灰+，（。。0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1,Ta）,点A（4,y）是该抛物线上一点,

若点。（尤2,%）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①4a-2Z?+c>0；

②若%>X，贝IJ%2>4；

③若04/W4,则04%W5a；

④若方程a（x+l）（x-3）=-l有两个实数根网和乙，且为</，贝！JT<玉<々<3.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每题4分，共24分）

13.计算：|-6|-囱+（1-0）°—（―3）=.

14.点（5,-V7）关于原点对称的点的坐标为.

15.从-3,-2,-1,0,1,2这6个数中任意取出一个数记作A,则既能使函数y=&的图象经过第一、第三象限,

X

又能使关于X的一元二次方程X2-Ax+l=O有实数根的概率为.

16.如图，AO与8c相交于点O,如果也=丄，那么当也的值是时，AB//CD.

DO3CO

17.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=1.则AP=_（结果保留根号）.

18.已知二次函数y=-（x+a）2+2a-l为常数）,当。取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是

当。取四个不同数值时此二次函数的图象.发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是.

19.（8分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“A”，错误的写“B”，小明在做判断题时，每道题都在“A”

或“3”中随机写了一个.

（1）小明做对第1题的概率是;

（2）求小明这3道题全做对的概率.

20.（8分）如图，直线y=-x+5与x轴交于点6,与）'轴交于点。，抛物线,=一/+笈+。与直线y=-x+5交

（2）点"是直线80上方抛物线上的一个动点，其横坐标为加，过点加作x轴的垂线，交直线3。于点P,当线

段PM的长度最大时，求”的值及的最大值.

（3）在抛物线上是否存在异于8、。的点Q,使AB。。中8。边上的高为3五，若存在求出点。的坐标；若不存

在请说明理由.

21.（8分）为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛.比赛设置一等、二等、

三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调査，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据

图中信息解答下列问题:

(1)本次抽样调查学生的人数为.

(2)补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数.

(3)若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数.

22.（10分）如图，△ABC中，DE〃BC,EF//AB.求证：AADE^AEFC.

23.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=V+Zu+c的图象与x轴，轴的交点分别为(1,0)和(0,-3).

r/

-'01/"_**

(1)求此二次函数的表达式；

(2)结合函数图象，直接写出当-3时，x的取值范围.

24.(10分)如图，△48C是一块锐角三角形的材料，边8c=12()"〃〃，高4O=8()/nm,要把它加工成正方形零件,

使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在A3、AC上，这个正方形零件的边长是多少

A

25.（12分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m.经测量，得到其它数据如图所示.其

123

中NCAH=37。，NDBH=67。，AB=10m,请你根据以上数据计算GH的长.（参考数据tan67。*一，tan37°«-）

54

26.国庆期间电影《我和我的祖国》上映，在全国范围内掀起了观影狂潮.小王一行5人相约观影，由于票源紧张，

只好选择3人去A影院，余下2人去8影院，已知A影院的票价比8影院的每张便宜5元，5张影票的总价格为310

元.

（1）求4影院《我和我的祖国》的电影票为多少钱一张；

（2）次日，4影院《我和我的祖国》的票价与前一日保持不变，观影人数为4000人.8影院为吸引客源将《我和我

的祖国》票价调整为比A影院的票价低0％但不低于50元，结果8影院当天的观影人数比A影院的观影人数多了2a%,

经统计，当日A、〃两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，求a的值.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【解析】试题分析：根据主视图是从正面看到的图形，因此可知从正面看到一个长方形，但是还得包含看不到的一天

线（虚线表示），因此第四个答案正确.

故选D

考点：三视图

2、C

【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程一V+4x-4=0得抛物线与X轴的

交点坐标，从而可对各选项进行判断.

【详解】当x=()时，y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与)’轴的交点坐标为(0,-4),

当y=0时，一£+4%一4=0,解得%=%2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),

所以抛物线与坐标轴有2个交点.

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+"+c(a,b,c是常数，aH0)与x轴的交点坐标问题转化为

解关于x的一元二次方程.

3、D

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案.

【详解】VZBCD=30°,

:.ZBOD=2ZBCD=2x30°=60°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆的角度问题，掌握圆周角定理是解题的关键.

4、C

【解析】试题分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得NC=90。，又由直角三角

形两锐角互余的关系即可求得NB的度数：

：AB是△ABC外接圆的直径，.•.ZC=90°,

VZA=35°,:.ZB=90°-NA=55°.

故选C.

考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系.

5、D

【分析】由题意，把x=l分别代入方程左边，然后进行判断，即可得到答案.

【详解】解：当x=l时，分别代入方程的左边，则

A、1+2T=-1,故A错误；

B、1-4+4=1,故B错误；

C、1+4+10=15,故C错误；

D、1+4-5=0,故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是分别把x=l代入方程进行解题.

6、A

【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最

多的数即可.

【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是（70+80）+2=75；

则中位数是75；

70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；

故选：A.

【点睛】

本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数

的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个.

7、B

【分析】设PD=x,AB边上的高为h,求出AD、h,构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.

【详解】解：在Rf.ABC中，VZACB=90°,AC=4,fiC=3,

二AB=7AC2+BC2=>/32+42=5，

设尸。=x,AB边上的高为〃，则f"=在.

AB5

VPD!IBC,

:•一ADPs-ACB,

.PDADAP

45

:.AD=—%,PA=—x

339

.cc145、122—242.3。33

1223235353210

3

.•.当0<X<］时，'+§2的值随A-的增大而减小，

当士3WxV上12时,

S1+S2的值随X的增大而增大,

25

，乙的结果正确.

故选B.

【点睛】

本题考査相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函

数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型.

8、B

【分析】先求出圆的半径，再根据直线与圆的位置关系与d和r的大小关系即可得出结论.

【详解】解:•••。的直径是8

二0的半径是4

•.•直线/与。有两个交点

，0Wd<4(注：当直线/过圆心O时，d=0)

故选B.

【点睛】

此题考査的是根据圆与直线的位置关系求圆心。到直线/的距离d的取值范围，掌握直线与圆的位置关系与d和r的

大小关系是解决此题的关键.

9,D

【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

【详解】解：两个相似三角形的面积比是1：4,

...两个相似三角形的相似比是1：2,

二两个相似三角形的周长比是1：2,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解

题的关键.

10、C

【解析】试题分析：根据题意有：xy=2；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据xy实际意义x、y应大于0,

其图象在第一象限，即可判断得出答案.

解：,••xy=l

9

y=—(x>0,y>0).

x

故选C.

考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象.

11、B

PDDF

【分析】根据题意求出APOE和AFDP相似，根据相似三角形对应边成比例可得——=—,然后代入数据进行计算

DCFD

即可得解.

【详解】'：PE±PC,

：.ZE+ZC=9Q°,ZE+ZEPD=90°,

:.NEPD=NC,

又TNPDE=NFDP=90°,

:.△PDEs^FDP,

.PDDE

"DC-FD*

由题意得，DE=2,DC=8,

PD2

•••_,

8PD

解得PD=4,

即这颗树的高度为4米.

故选：B.

【点睛】

本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用.

12、B

【分析】由抛物线对称轴为：直线x=L得x=-2与x=4所对应的函数值相等，即可判断①；由由抛物线的对称性即可

判断②；由抛物线的顶点坐标为(1,-4。)，结合函数的图象，直接可判断③；由方程。(》+1)(》-3)=-1有两个实数根

再和X2,且玉<%，得抛物线、=。5+1)(%-3)与直线.丫=一1的交点的横坐标为王和％2,进而即可判断④.

【详解】•.•抛物线顶点坐标为(1,-4a),

...抛物线对称轴为：直线x=l,

.•.x=-2与x=4所对应的函数值相等，即：y=4a—28+c>0,

.•.①正确；

由抛物线的对称性可知：若为>H，则々>4或％<-2,

...②错误；

•.•抛物线的顶点坐标为(1,-40,

二04%2«4时，-4a<y2<5a,

...③错误；

•方程a(x+l)(x-3)=-l有两个实数根*和%，且为<*2,

抛物线y=a（x+1）（%—3）与直线y=-1的交点的横坐标为花和乙，

•.•抛物线丁=。5+1）。-3）开口向上，与x轴的交点横坐标分别为：-1,3,

/.-1<Xj<Xj<3,

.•.④正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查二次函数图象与系数得的关系，掌握二次函数系数的几何意义，是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、7

【分析】本题先化简绝对值、算术平方根以及零次幕，最后再进行加减运算即可.

【详解】解：|-6|+（1-行）°一（—3）

=6-3+1+3

=7

【点睛】

此题主要考査了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

14、（-5,正）

【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标.

【详解】•••两点关于原点对称，

...横坐标为-5,纵坐标为近，

故点P（5,-近）关于原点对称的点的坐标是：（-5,V7）.

故答案为：（-5,币）.

【点睛】

此题主要考査了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数.

1

15、一・

6

【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的&的值，然后确定使方程有实数根的A值，找到同时满足两个条件的

厶的值即可.

【详解】解：这6个数中能使函数3>=丄的图象经过第一、第三象限的有1,2这2个数，

X

•.•关于X的一元二次方程x2-h+1=0有实数根，

...d-420,

解得AW-2或A22,

能满足这一条件的数是：-3、-2、2这3个数，

...能同时满足这两个条件的只有2这个数，

二此概率为丄，

6

故答案为：7-

6

1

16、-

3

【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第

三边，据此可得结论.

【详解】-

DO3

业BO1戸AOBO

CO3DOCO

ABIICD.

故答案为2.

【点睛】

本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对

应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

17、5石-5

【分析】根据黄金分割比的定义计算即可.

【详解】根据黄金分割比，有

22

故答案为：5石一5.

【点睛】

本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键.

18>y=-lx—1

【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用X、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出X、y的关系式.

【详解】解：二次函数y=—(x+a)2+2a—l中，顶点坐标为：

设顶点坐标为(x,y),

二x=_4①，y=2a-\@,

由①x2+②，得2x+y=-2。+2。-1=一1,

/.y=-2x-l；

故答案为：y=-2x-l.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元的思想解题.

三、解答题(共78分)

,、1,、1

19、(1)-；(2)-

28

【分析】(1)根据概率公式求概率即可；

(2)写出小明做这3道题，所有可能出现的等可能的结果，然后根据概率公式求概率即可.

【详解】解：(1)•••第一题可以写A或B,共2种结果，其中作对的可能只有1种，

••・小明做对第1题的概率是1+2=丄

2

故答案为—；

2

(2)小明做这3道题，所有可能出现的结果有：(A,A,A),(B,A,A),(5,A小),

(8,B,A),共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“这3道题全做对“(记为事件H)

的结果只有1种，

二小明这3道题全做对的概率为1+8=1.

【点睛】

此题考査的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键.

S25

20、⑴〉=一/+妬+5：⑵当m=1时，PM有最大值亍；(3)存在，理由见解析；。。,9),Q2(3,8),。3(一1，°)，

Q(4,-5)

【分析】(1)先求得点3、。的坐标，再代入二次函数表达式即可求得答案；

(2)设加点横坐标为(m>0),则P(m,一m+5),M(m,-nr+4m+5),求得PM关于心的表达式，即可求解;

(3)设Q(x,—f+4x+5),则G(x,—x+5),求得QG+/+5耳，根据等腰直角三角形的性质，求得QG=6,

即可求得答案.

【详解】(1)y=-x+5,令％=0,则y=5,令y=0,则x=5,

故点B、Q的坐标分别为(5,0)、(0,5),

将(5,0)、(0,5)代入二次函数表达式为-5+5〉+，=

c=5

解得：b=4,c=5,

故抛物线的表达式为：)，=-/+4尤+5.

(2)设M点横坐标为，〃(〃?>0)，贝!IP(〃2,-〃Z+5),+4利+5),

5丫25

PM=-nr+4m+5-(-m+5)=-m2+5mm——H----,

24

525

二当机=7时，PM有最大值二;

24

(3)如图，过。作QG//)，轴交30于点G,交x轴于点E,作QH丄BD于H,

设Q(x,-d+4x+5),则G(x,—x+5),

QG=卜%2+4x+5—(―x+5)|=卜厂+5x|,

AfiO。是等腰直角三角形，

:.ZDBO=45°,

：.NHGQ=NBGE=45。,

当ABOQ中边上的高为3行时，即Q"="G=3五，

QG=>/2x3V2=6»

|-X?+5JV|-6,

当—f+5x=6时，解得*=2或犬=3,二。(2,9)或(3,8),

当一f+5x=-6时，解得x=-l或x=6,，。(一1,0)或(6,-7),

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为2(2,9),。2(3,8),23(-1,0),Q(4,-5).

【点睛】

本题主要考査的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和

性质；第(2)问中，利用二次函数求最值是解题的关键；最后一问利用两点之间的距离公式和等腰直角三角形的性质

构建等式是解题的关键.

21、(1)40；(2)见解析，18°：(3)获得三等奖的有210人.

【分析】(1)根据B的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查学生人数；

(2)根据统计图中的数据和(1)中的结果可以将统计图中所缺的数据补充完整并计算出扇形统计图中A所对应扇形

圆心角的度数；

(3)根据统计图中的数据可以计算出获得三等奖的人数.

【详解】解：(1)本次抽样调査学生的人数为：8・20%=40,

故答案为：40；

2

(2)A所占的百分比为：一X100%=5%,

40

20

D所占的百分比为：—X100%=50%,

40

C所占的百分比为：1-5%-20%-50%=25%,

获得三等奖的人数为：40X25%=10,

补全的统计图如图所示，

扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°X5%=18°；

（3）840X25%=210（人），

答：获得三等奖的有210人.

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22、证明见解析

【解析】试题分析：根据平行线的性质得到NADE=NC,NDFC=NB,ZAED=ZB,等量代换得到NAED=NDFC,

于是得到结论.

试题解析：,••ED〃BC,DF〃AB,

.,.NADE=NC,ZDFC=ZB,

/.ZAED=ZB,

:.ZAED=ZDFC

AAADE^ADCF

23、(1)y-x2+2x-3；(2)x<-2或x〉0.

【分析】（1）把已知的两点代入解析式即可求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的对称性与图形即可得出y>-3时

x的取值范围.

【详解】解：（1）•••抛物线ynJ+bx+c与x轴、>轴的交点分别为（1,0）和（0，-3）,

l+Z?+c=0

：.<.

c=-3

b=2

解得:

，抛物线的表达式为：y=x2+2x-3.

(2)二次函数图像如下，由图像可知，当夕>一3时，x的取值范围是x<—2或x>0.

\:

\![/

【点睛】

此题主要考察二次函数的应用.

24、48"””

【分析】设正方形的边长为X,表示出41的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行

计算即可得解.

【详解】设正方形的边长为工，"〃，

贝!IAI=AD-x=80-x,

•.,EfWG是正方形，

J.EF//GH,

:.XNEFSMBC,

•EFA/

,・瓦一而‘

x80-x

即an一=-----,

12080

解得x=48mm,

这个正方形零件的边长是48/n/n.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

25、GH的长为10”?.

CE

【分析】延长CD交AH于点E,则CE±AH,设DE=xm,则CE=(x+2)m,通过解直角三角形可得出AE=----------,